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- 2021-06-15 发布
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云南省玉溪市一中2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1.已知全集,集合, 集合,那么( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由对数函数的定义域求出A,由函数的值域求出B,由补集和交集的运算求出答案.
【详解】
由题意知,A={x|y=lgx}={x|x>0}=(0,+∞),
又,则B={y|y≥1}=[1,+∞),
即CUB=(﹣∞,1),
所以A∩(CUB)=(0,1),
故选:C.
【点睛】
本题考查交、并、补集的混合运算,以及对数函数的定义域,属于基础题.
2.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列结论正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
【答案】D
【解析】选项不正确,因为是可能;选项不正确,因为,和都有可能;选项不正确,因为,可能;选项正确。故选
3.已知直线平行,则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对x,y的系数分类讨论,利用两条直线平行的充要条件即可判断出.
【详解】
当m=﹣3时,两条直线分别化为:2y=7,x+y=4,此时两条直线不平行;
当m=﹣5时,两条直线分别化为:x﹣2y=10,x=4,此时两条直线不平行;
当m≠﹣3,﹣5时,两条直线分别化为:y=x+,y=+,
∵两条直线平行,∴,≠,解得m=﹣7.
综上可得:m=﹣7.
故选:A.
【点睛】
本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件,属于基础题.
4.一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥,把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可.
详解:由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥,
∵正方体的棱长是1,
∴三棱锥的体积
∴剩余部分体积,
故选D.
点睛:本题考查三视图求几何体的体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.
5.已知数列是公差不为0的等差数列,且,, 为等比数列的连续三项,则 的值为( )
A. B. 4 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
数列{an}是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,可得a32=a1•a7,化简可得a1与d的关系.可得公比q,即可得出所求值
【详解】
数列{an}是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,
∴a32=a1•a7,可得(a1+2d)2=a1(a1+6d),化为:a1=2d≠0.
∴公比q====2.
则===,
故选:A.
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
6.当时,执行如图所示的程序框图,输出的值为( )
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】
执行程序框图,依次写出每次循环得到的k,s的值,当k=5>4,退出循环,输出s的值为30.
【详解】
由程序框图可知:
k=1,s=2
k=2,s=6
k=3,s=14
k=4,s=30
k=5>4,退出循环,输出s的值为30.
故选:D.
【点睛】
本题主要考察了程序框图和算法,正确理解循环结构的功能是解题的关键,属于基本知识的考查.
7.已知且,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件利用同角三角函数的基本关系求得 tanα 的值,再根据tan(α﹣β)=﹣,利用两角差的正切公式求得tanβ的值.
【详解】
∵角α,β均为锐角,且cosα=,∴sinα=,tanα=,
又tan(α﹣β)===﹣,∴tanβ=3,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式的应用,属于基础题.
8.某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示,已知甲得分的极差为32,乙得分的平均值为24,则下列结论错误的是( )
A.
B. 甲得分的方差是736
C. 乙得分的中位数和众数都为26
D. 乙得分的方差小于甲得分的方差
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,依次分析选项,综合即可得答案.
【详解】
根据题意,依次分析选项:
对于A,甲得分的极差为32,30+x﹣6=32,解得:x=8,A正确,
对于B,甲得分的平均值为,
其方差为,B错误;
对于C,乙的数据为:12、25、26、26、31,其中位数、众数都是26,C正确,
对于D,乙得分比较集中,则乙得分的方差小于甲得分的方差,D正确;
故选:B.
【点睛】
本题考查茎叶图的应用,涉及数据极差、平均数、中位数、众数、方差的计算,属于基础题.
9.某学校老师中,型血有36人、型血有24人、型血有12人,现需要从这些老师中抽取一个容量为的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,都不用剔除个体;如果样本容量减少一个,则在采用系统抽样时,需要在总体中剔除2个个体,则样本容量可能为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据系统抽样和分层抽样方法特点确定样本容量需满足条件,再比较选项确定结果.
【详解】
因为采用系统抽样和分层抽样方法抽取,都不用剔除个体;所以样本容量为 的约数,因为 ,所以样本容量为的倍数,因此舍去B,D;
因为如果样本容量减少一个,则在采用系统抽样时,需要在总体中剔除2个个体,所以样本容量为的约数加1,因此选C.
【点睛】
本题考查系统抽样和分层抽样方法,考查基本求解能力.
10.已知实数满足不等式组,则的最大值为( )
A. 5 B. 3 C. 1 D. -4
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.
【详解】
作出实数x,y满足不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
由z=2x﹣y得y=2x﹣z,
平移直线y=2x﹣z,由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A(2,﹣1)时,直线y=2x﹣z的截距最小,此时z最大.
代入目标函数z=2x﹣y,
得z=5.即z=2x﹣y的最大值为5.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
11.已知满足 (其中是常数),则的形状一定是( )
A. 正三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形,利用共线定理求出||=||,判断△ABC是等腰三角形.
【详解】
△ABC中,﹣=k×(其中k是非零常数),
如图所示;
∴﹣=k×(﹣),
∴+k=k+,
∴(+k)=(k+),
又、不共线,
∴+k=k+=0,
∴||=||,
∴△ABC是等腰三角形.
故选:C.
【点睛】
本题考查了利用平面向量知识判断三角形的形状,解题关键利用好平面向量基本定理,属于中档题.
12.已知函数,若,使 成立,则称为函数的一个“生成点”,则函数的“生成点”共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】
由f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63,得(2x0+1)+[2(x0+1)+1]+…+[2(x0+n)+1]
=63,化简可得(n+1)(2x0+n+1)=63,由,得或,解出即可.
【详解】
由f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63,
得(2x0+1)+[2(x0+1)+1]+…+[2(x0+n)+1]=63
所以2(n+1)x0+2(1+2+…n)+(n+1)=63,即(n+1)(2x0+n+1)=63,
由,得或,解得或,
所以函数f(x)的“生成点”为(1,6),(9,2).
故选:B.
【点睛】
本题考查数列求和及函数求值,考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力,属于中档题.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13.若,,,则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用数量积运算和夹角公式即可得出.
【详解】
∵=,,,
∴=0,解得=.
∴的夹角为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了数量积运算性质和夹角公式,属于基础题.
14.数列 的前49项和为______
【答案】
【解析】
【分析】
令,分母为等差数列的前n项和,用列项法可求得 ,从而可求得数列的前49项和.
【详解】
令, ,
∴,
∴
即答案为.
【点睛】
本题考查数列的求和,着重考查等差数列的求和与裂项法求和,属于中档题.
15.若定义在上的函数满足,且是奇函数,现给出下列4个结论:①是周期为4的周期函数;
②的图象关于点对称;
③是偶函数;
④的图象经过点,其中正确结论的序号是__________(请填上所有正确的序号).
【答案】①②③
【解析】
【分析】
求出函数f(x)的周期,判断出函数的奇偶性,从而求出答案即可.
【详解】
由f(x+2)=﹣f(x)可知函数周期为4,
由f(x+1)是奇函数关于原点对称,
可知f(x)关于(1,0)对称,即f(1+x)=﹣f(1﹣x),
f(﹣x)=﹣f(﹣x+2)=﹣f(1+1﹣x)=f(1﹣(1﹣x))=f(x),
所以函数为偶函数,f(﹣2)=﹣f(﹣2+2)=﹣f(0),无法判断其值.
综上,正确的序号是:①②③.
故答案为:①②③.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与周期性,考查函数平移变换等知识.在阅读题目的时候,采用逐句转化的方法,即读到“f(x+2)=﹣f(x)”时,将其转化为函数的周期为4,这个要记住小结论,即若,f(x+a)=﹣f(x),则函数f(x)为周期函数,且周期为2a.f(x)向左平移1个单位后得到f(x+1),这是函数变换的知识.
16.已知正实数,满足,若不等式有解则实数的取值范围是_____;
【答案】
【解析】分析:不等式有解即巧用均值不等式求最值即可.
详解:由已知得:
由题意:,解得:
故答案为:
点睛:在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.
评卷人
得分
三、解答题
17.设的内角的对边分别为已知
(I)求;
(II)若求的面积.
【答案】(1) (2) .
【解析】试题分析:(1)由正弦定理将边a,b,c化成角的正弦值,用两角和与差的正弦公式化简,可求出角B;(2)由余弦定理求出边a,根据三角形的面积公式求解即可.
试题解析:
(I)由已知以及正弦定理可得
(II)由(I)以及余弦定理可得 .
.
18.已知函数.
(1)求函数的单调增区间;
(2)若,求函数的值域.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)由三角函数中的恒等变换应用可得,令,可得单调增区间;
(2)由,可得,利用正弦函数的性质从而可求函数f(x)的值域.
【详解】
(1).
由,
所以函数的单调增区间是
(2)由,可得,,从而,
所以函数的值域为.
【点睛】
本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.
19.设,数列满足且.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)根据等比数列的定义,只需判断是否为定值即可;(2)因为,且已知,考虑用累加法求数列的通项公式.
试题解析:(1)由题知:
,
(2)由(1)可得,故
,
累加得:,
,即
20.如图,已知平面, 是正三角形,.
(1)求证:平面平面;
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:
(I)取 的中点 的中点 ,连接 ,由,△BCE是正三角形, ,结合三角形中位线性质,我们可得四边形 是平行四边形,则 ,根据线面平行的判定定理,即可得到结论.
(II)由 根据线面垂直判定定理可得 ,结合(I)中 ,可得 平面 ,结合面面垂直的判定定理,可得平面 平面 ;
(III)过作 ,连接BM,我们可以得到 为二面角 的平面角,解三角形 即可求出二面角的正切值.
试题解析:
(Ⅰ)当F为BE的中点时,CF∥平面ADE…(1分)
证明:取BE的中点F. AE的中点G,连接GD,GD,CF
∴GF=12AB,GF∥AB
又∵DC=12AB,CD∥AB
∴CD∥GF,CD=GF
∴CFGD是平行四边形…(3分)
∴CF∥GD
∴CF∥平面ADE…(4分)
(Ⅱ)∵CF⊥BF,CF⊥AB
∴CF⊥平面ABE
∵CF∥DG
∴DG⊥平面ABE…(6分)
∵DG⊂平面ABE
∴平面ABE⊥平面ADE…(7分)
(Ⅲ)∵AB=BE
∴AE⊥BG
∴BG⊥平面ADE
过G作GM⊥DE,连接BM,则BM⊥DE
则∠BMG为二面角A−DE−B的平面角…(9分)
设AB=BC=2CD=2,则
BG=2√,GE=2√
在Rt△DCE中,CD=1,CE=2
∴DE=5√
又DG=CF=3√
由DE⋅GM=DG⋅EG得GM=30−−√5…(11分)
∴tan∠BMG=BGGM=15−−√3
∴面角的正切值15−−√3…(12分)
21.设圆的圆心在轴上,并且过两点.
(1)求圆的方程;
(2)设直线与圆交于两点,那么以为直径的圆能否经过原点,若能,请求出直线的方程;若不能,请说明理由.
【答案】(1) (2) 或.
【解析】试题分析:(1)圆的圆心在的垂直平分线上,又的中点为, ,∴的中垂线为.∵圆的圆心在轴上,∴圆的圆心为,因此,圆的半径,(2)设M,N的中点为H,假如以为直径的圆能过原点,则.,设是直线与圆的交点,将代入圆的方程得: .∴.∴的中点为.代入即可求得,解得.再检验即可
试题解析:
(1)∵圆的圆心在的垂直平分线上,
又的中点为, ,∴的中垂线为.
∵圆的圆心在轴上,∴圆的圆心为,
因此,圆的半径,
∴圆的方程为.
(2)设是直线与圆的交点,
将代入圆的方程得: .
∴.
∴的中点为.
假如以为直径的圆能过原点,则.
∵圆心到直线的距离为,
∴.
∴,解得.
经检验时,直线与圆均相交,
∴的方程为或.
点睛:直线和圆的方程的应用,直线和圆的位置关系,务必牢记d与r的大小关系对应的位置关系结论的理解.
22.已知函数,.
(1)若函数是奇函数,求实数的值;
(2)在在(1)的条件下,判断函数与函数的图像公共点个数,并说明理由;
(3)当时,函数的图象始终在函数的图象上方,求实数的取值范围.
【答案】(1)1;(2)答案见解析;(3).
【解析】分析:(1)因为为奇函数,所以对于定义域内任意,都有,结合等式成立的条件整理计算可得.
(2)由(1)知,则,函数的定义域,原问题等价于在定义域上的解的个数.结合函数的单调性和函数零点存在定理可知函数与函数的图象有2个公共点.
(3)原问题等价于在上恒成立,利用换元法,令,则在恒成立.令,.结合二次函数的性质分类讨论可得的取值范围是.
详解:(1)因为为奇函数,所以对于定义域内任意,都有,
即,
∴,
显然,由于奇函数定义域关于原点对称,所以必有.
上面等式左右两边同时乘以得:
,
化简得:,
上式对定义域内任意恒成立,所以必有,
解得.
(2)由(1)知,所以,即,
由得或,
所以函数定义域,
由题意,要求方程解的个数,即求方程:
在定义域上的解的个数.
令,显然在区间和均单调递增,
又,,
且,,
所以函数在区间和上各有一个零点,
即方程在定义域上有2个解,
所以函数与函数的图象有2个公共点.
(3)要使时,函数的图象始终在函数的图象的上方,
必须使在上恒成立,
令,则,上式整理得在恒成立.
令,.
① 当,即时,在上单调递增,
所以,恒成立;
②当,即时,在上单调递减,
只需,解得与矛盾;
③当,即时,
在上单调递减,在上单调递增,
所以由,解得,
又,所以.
综合①②③得的取值范围是.
点睛:函数零点的求解与判断方法:
(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.