2017-2018学年福建省莆田市第二十四中学高二上学期期中考试文科 数学 解析版 14页

莆田第二十四中学2017-2018学年（上）期中考试卷 高二数学（文）‎ 一、选择题 ‎1．命题p：“∃x 0∈R，x02﹣1≤0”的否定￢p为（　　）‎ A. ∀x∈R，x2﹣1≤0 B. ∀x∈R，x2﹣1＞0‎ C. ∃x0∈R，x02﹣1＞0 D. ∃x0∈R，x02﹣1＜0‎ ‎2．命题“若，则”的逆否命题是（ ）.‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎3．设，则 “” 是“” 的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎4．命题的值不超过，命题是无理数，则（ ）．‎ A. 命题“”是假命题 B. 命题“”是假命题 C. 命题“”是假命题 D. 命题“”是真命题 ‎5．在等比数列中，已知，则 （ ）‎ A.10 B.50 C.25 D.75‎ ‎6．已知，则的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8．在中， ，则等于（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎9．若等差数列的前项和满足， ，则（ ）‎ A. B. 0 C. 1 D. 3‎ ‎10．在中，角对边分别为， 这个三角形的面积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知满足（为常数），若最大值为，则=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．若对任意的x∈[﹣1，2]，都有x2﹣2x+a≤0（a为常数），则a的取值范围是 A．（﹣∞，﹣3] B．（﹣∞，0] C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]‎ 二、填空题 ‎13．不等式的解集为______．‎ ‎14．已知点满足，则的最大值为__________．‎ ‎15.若不等式的解集为，则a+b=__________．‎ ‎16．下表给出一个“三角形数阵”：‎ ‎， ‎ ‎， ， ‎ ‎……‎ 已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第行第列的数为，则________‎ 三、解答题 ‎17．如图，在直三棱柱中，，点是的中点．‎ 求证：平面．‎ ‎18．已知函数.求函数的最小正周期 ‎19．已知实数x，y满足.求ω＝x2＋y2的最大值和最小值 ‎20．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2017年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（l）计算这40名广场舞者中年龄分布在的人数；‎ ‎（2）若从年龄在中的广场舞者任取2名，求这两名广场舞者中恰有一人年龄在的概率.‎ ‎21．在中， ， ， 的对边分别为，若，‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若， ，求的值.‎ ‎22．已知数列是递增的等差数列，且， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ 高二数学（文）‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】命题p：“∃x0∈R，x02﹣1≤0”为特称命题，其否定为全称命题，‎ ‎∴￢p为∀x∈R，x2﹣1＞0．‎ 故选：B．‎ 点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.‎ ‎2．C ‎【解析】命题若“”则“”的逆命题是“”则“”，‎ 所以“若，则”的逆否命题是：“若，则”，‎ 本题选择C选项.‎ ‎3．A ‎【解析】由“”解得或,故“”能使 “”成立；“”成立时，“”不一定成立，所以“” 是“”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎4．B ‎【解析】命题为假，，‎ 命题为真，是无理数，‎ ‎“”为真命题，“”为真命题，‎ ‎“”为假命题，“”为假命题．‎ 故选．‎ 点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.‎ ‎5．C ‎【解析】‎ 试题分析：，选C.‎ 考点：等比数列性质 ‎【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎6．D ‎【解析】，则，当且仅当时等号成立，故选D.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）‎ ‎7．B ‎【解析】不等式即： ‎ 转化为高次不等式：(x−3)(x+2)(x−1)<0‎ 利用数轴穿根法解得，‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．‎ ‎8．D ‎【解析】由正弦定理得，所以，又，所以，所以或。选D。‎ 点睛：已知三角形的两边和一边对角解三角形时，需利用正弦定理求另一边的对角，解题时要注意讨论该角的个数，这是解题的难点，应引起注意．‎ ‎9．B ‎【解析】根据等差数列的性质仍成等差数列，则，则 ‎ ‎， ，选B.‎ ‎10．D ‎【解析】依题意，解得，由余弦定理得.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出边的长，再用余弦定理即可求得边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.‎ ‎11．B ‎【解析】画出满足条件的平面区域，如图所示：‎ 由，解得，将转化为，显然直线过时， 最大， 的最大值为，解得，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎12．A ‎【解析】‎ 试题分析：不等式变形为，函数在上的最小值为 则a的取值范围是（﹣∞，﹣3] ‎ 考点：二次函数性质及不等式与函数的转化 ‎13．（－2,1）‎ ‎【解析】．‎ 点睛：解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．‎ ‎14．3‎ ‎【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：由表示过平面区域的点与的直线的斜率，‎ 由，得，‎ 显然直线过时，取得最大值，，‎ 故答案为：3.‎ 点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.‎ ‎15．‎ ‎【解析】 略 ‎16． 4‎ ‎【解析】观察“三角形数阵”，根据等差数列的通项公式可得第行第 个数为 ，再由等比数列的通项公式可得第行第列的数为 ，所以 ，当 时，共有 个位置出现，即前20行中这个数共出现了 次，故答案为， .‎ ‎17．（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由直棱柱性质得，再由已知条件 根据线面垂直判定定理得（2）设与相交于点，则根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论 ‎（）证明：在直三棱柱中，‎ 平面，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ 点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴．‎ ‎（）设与相交于点，‎ 连接，‎ ‎∵、分别是、中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面．‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎18．(1) ,单调增区间（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由降幂公式与倍角公式，及辅助角公式，化简函数.再由，解得单调递增区间。（2）由，及解，再由和角A余弦定理和均值不等式，可得，要注意三角形两边之和大于第三边，即，所以。‎ 试题解析：（1）函数变形，即，令，解得，所以单调增区间 ‎（2）， 所以 ‎ 解得，又，在△中， ，等边三角形时等号成立，所以，又因为是三角形所以，所以。‎ ‎19．（1）13,0.8；（2）3，.‎ ‎【解析】试题分析：首先画出不等式组表示的平面区域，关键目标函数的几何意义求最值．（1）目标函数看作区域内的点到原点距离平方的最值；（2）表示过(−1,−1)以及区域内的点的直线的斜率.‎ 试题解析：‎ 由已知不等式组表示的平面区域如图 ‎ (1) ω＝x2＋y2表示区域内的点到原点距离平方的最值,所以最大值为B的原点距离的平方,为；最小值是A的原点距离的平方，为1.‎ ‎(2) t＝表示过(−1,−1)以及区域内的点的直线的斜率,所以最大值为与C连线的斜率为,最小值为与A连线的斜率为；‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎20．(1)30；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可知，样本容量为40，由条形图可求得的频率和为，所以n=频率样本容量。（2）由直方图可知，年龄在有2人，分别记为，在有4人，分别记为.采用枚举法，可知总共情况是15种，满足条件的是8种，所以概率为。‎ 试题解析：（1）由表中数据知，这40名广场舞者中年龄分布在的人数为.‎ ‎（2）由直方图可知，年龄在有2人，分别记为，在有4人，分别记为.‎ 现从这6人中任选两人，共有如下15种选法：，，，，，，，，，，，，，，，，‎ 其中恰有1人在有8种，‎ 故这两名广场舞者恰有一人年龄在的概率为.‎ ‎21．（1）（2）， 或， ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角范围求的大小（2）由余弦定理得，代入得，解方程组可得的值.‎ 试题解析：解：（1）由已知得 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴， ‎ ‎（2）∵‎ 即 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴， 或， ‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎22．（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由等差数列通项公式得，即可求得， ；（2）由（1）得 ，则可得 .‎ 试题解析：‎ ‎（1）设 ‎ ‎ ‎（2）的前项和为 ‎ ‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎ ‎【点睛】‎ 解决本题的关键之处有：‎ 利用方程思想建立方程组求得首项与公差 利用错位相减法求和.‎