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- 2021-06-15 发布
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2019高二年级零诊模拟考试
理科数学
一.选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.已知集合,B={–2,0,1,2},则AB=
A.{0,1} B.{0,1,2} C.{1,2} D.{–2,0,1,2}
3.函数的图像大致为
4.已知向量,满足,,则
A.10 B.12 C.14 D.16
5.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为
A. B. C. D.
6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是
A. B. C. D.
7.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则
A. B.0 C.2 D.50
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8.已知,是椭圆的左,右焦点,是的左顶点,点在过且斜率
为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为
A. B. C. D.
9.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=
A.5 B.6 C.7 D.8
10.设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
11.已知正方体的棱长为2,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A. B. C. D.
12.已知函数有唯一零点,则a=
A. B. C. D.
二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若,满足约束条件,则的最小值为__________.
14.(+)(2-)5的展开式中33的系数为__________.
15.已知圆柱的高为,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为______.
16.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +,则+的最大值为__________.
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三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本小题满分12分)
设函数,其中.已知.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的最小值.
18.(本小题满分12分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(Ⅰ)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(Ⅱ)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
- 11 -
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的
余弦值为,求线段AH的长.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
21. (本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若数列的前项和,,求证:数列的前项和.
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请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
21. (本小题满分10分)
选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,直线,曲线上任意一点到极点的距离等于它到直线的距离.
(I)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)若是曲线上两点,且,求的最大值.
23.(本小题满分10分)
选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(I)求的最小值;
(II)若均为正实数,且满足,求证:.
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2019高二年级零诊模拟考试
理科数学答案
一.选择题
1.D 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 7.C 8.D 9.D 10.D 11.A 12.A
二.填空题
13. 14.40 15. 16.
三.解答题
17解:(Ⅰ)因为,
所以
由题设知,所以,.
故,,又,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
所以.
因为,
所以,当,
即时,取得最小值.
18.解:(Ⅰ)由题意知,所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知
.因此的分布列为
0.2
0.4
0.4
- 11 -
(Ⅱ)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑
当时,
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间,则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n
当时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元。
19.解:如图,以A为原点,分别以,,方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得
A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).
(Ⅰ)证明:=(0,2,0),=(2,0,).设,为平面BDE的法向量,
则,即.不妨设,可得.又=(1,2,),可得.
因为平面BDE,所以MN//平面BDE.
(Ⅱ)易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量,则,因为,,所以.不妨设,可得
- 11 -
.
因此有,于是.
所以,二面角C—EM—N的正弦值为.
(Ⅲ)解:依题意,设AH=h(),则H(0,0,h),进而可得,.由已知,得,整理得,解得,或.
所以,线段AH的长为或.
20.解:(Ⅰ)由于,两点关于y轴对称,故由题设知C经过,两点.
又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.
因此,解得.
故C的方程为.
(Ⅱ)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,
如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知,且,可得A,B的坐标分别为(t,),(t,).
则,得,不符合题设.
从而可设l:().将代入得
由题设可知.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
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而
.
由题设,故.
即. 解得.
当且仅当时,,欲使l:,即,
所以l过定点(2,)
21. 解:(Ⅰ)因为,所以,,切点为.
由,所以,所以曲线在处的切线方程为,即
(Ⅱ)由,令,
则(当且仅当取等号).故在上为增函数.
①当时,,故在上为增函数,
所以恒成立,故符合题意;
②当时,由于,,根据零点存在定理,
必存在,使得,由于在上为增函数,
故当时,,故在上为减函数,
所以当时,,故在上不恒成立,所以不符合题意.综上所述,实数的取值范围为
- 11 -
(III)证明:由
由(Ⅱ)知当时,,故当时,,
故,故.下面证明:
因为
而,
所以,,即:
22.解:(Ⅰ)设点是曲线上任意一点,则,即
(II) 设,则.
23.解:(I)当时,
当时,,
当时,
综上,的最小值
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(II) 证明: 均为正实数,且满足,
∵
( 当且仅当时,取“=”)
∴,即
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