甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考数学（理）试题 19页

‎2018-2019学年甘肃省兰州市西北师大附中高三（上）第一月考数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定集合A,B，然后进行交集运算即可.‎ ‎【详解】求解函数的值域可知：，‎ 求解一元二次不等式可知：，‎ 结合交集的定义有：，表示为区间形式即.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转能力和计算求解能力.‎ ‎2.在实数范围内，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式，再根据解集与选项之间包含关系确定选择.‎ ‎【详解】 ‎ 因为 所以为不等式成立的一个充分而不必要的条件，选D.‎ ‎【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎3.下列说法正确的是 （ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“”的否定是“”‎ D. 命题“若，则”逆否命题是真命题．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据否命题的概念可知选项A不正确;再由特称命题的否定为全称命题知选项C不正确;对于选项B，∵，∴x=-1或6，故“”是“”的充分不必要条件，B不正确;选项D由原命题正确可得其逆否命题正确，故选D 考点：本题考查了简易逻辑知识 点评：近年全国和各省市高考对这部分内容的考查主要有：充分条件和必要条件的判断，四种命题的判断、全称命题、特称命题的否定等方面 ‎4.已知函数则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以对分段函数进行分开讨论，时，函数是一个周期函数，时，函数是对数函数．‎ ‎【详解】当时，，即有，‎ 两式合并，可得是周期为4的函数，‎ 既，‎ 当时，，既 综上所述，．‎ ‎【点睛】若函数满足，则函数为周期函数，周期为．‎ ‎5.已知函数，则的大致图象为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以排除法，利用奇偶性可排除选项；利用，可排除选项，从而可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；‎ 又因为，可排除选项.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．‎ ‎(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象 ‎6.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断，即可得到结论.‎ ‎【详解】选项：，奇函数，在是增函数，‎ 不满足条件；‎ 选项：不奇函数，不满足条件；‎ 选项：是偶函数，不满足条件；‎ 选项：定义域为，‎ ‎，是奇函数，‎ 在是减函数；‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题.‎ ‎7.若，，，则a，b，c大小关系是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用中间量“‎0”‎，“‎1”‎判断三个数的大小即可．‎ ‎【详解】解：‎ ‎，， ‎ ‎，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查数的大小比较，一般来讲要转化为函数问题，利用函数的图象分布和单调性比较，有时也用到0，1作为比较的桥梁．‎ ‎8.函数 的图像在点处的切线斜率的最小值是（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值.‎ ‎【详解】 ,当且仅当时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.‎ ‎【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.‎ 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎9.曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数解析式作出函数简图，由图像可知封闭图形的面积为曲线与x轴围成的曲边三角形OCB的面积与的面积之差，由积分与三角形面积的公式求出面积即可.‎ ‎【详解】由解析式作出如图所示简图：‎ 由图像可知封闭图形面积为曲线与x轴围成曲边三角形OCB的面积与的面积之差.‎ 联立两函数解析式，求出交点C的坐标为：，则点B的坐标为：，‎ 求出直线与x轴交点A坐标为：，‎ 则曲边三角形的面积为：，‎ 的面积为：，‎ 所以两线与x轴围成图形的面积为：.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查利用定积分求面积，若图形不是由两曲线所围成的，需将图形进行割补，求出面积，求面积时注意有的规则图形可不用积分求面积.‎ ‎10.设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：函数在上单调递增，所以的值域为，‎ 对分类讨论，求出在的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a的范围．‎ 详解：函数在上单调递增，所以的值域为，‎ 当 时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得 ‎ 当 时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得 ‎ 当时，为常数函数，值域为 ，不符合题意；‎ 综上，实数的取值范围为.‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．‎ ‎11.已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则　　‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算前几项，利用归纳推理，可得的函数值以为周期，利用周期计算可得其和.‎ ‎【详解】定义域为的奇函数，可得，‎ 当时，满足，‎ 可得时，，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳推理、函数的奇偶性、周期性的应用，属于难题. 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；‎ ‎（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．‎ ‎（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；‎ ‎（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.‎ ‎12.设函数，若存在，使，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，通过讨论的范围，确定函数的单调性，求出的最大值，得到关于的不等式，解出即可.‎ ‎【详解】的定义域是，‎ ‎，‎ 当时，，则在上单调递增，且，‎ 故存在，使；‎ 当时，令，解得，‎ 令，解得，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，解得.‎ 综上，的取值范围是.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.集合A＝{0，ex}，B＝{－1,0,1}，若A∪B＝B，则x＝________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为A∪B＝B，所以，再根据函数的值域可以得出，从而可以求出的取值.‎ ‎【详解】解：集合A＝{0，ex}，B＝{－1,0,1}，因为A∪B＝B，所以，又，所以，即.‎ 故答案为0.‎ ‎【点睛】本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题.‎ ‎14.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题是假命题进行转化即可 ‎【详解】命题“”是假命题，‎ 则命题“”是真命题，‎ 则，解得 则实数的取值范围是 故答案为 ‎【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用，‎ 熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题．‎ ‎15.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值又有极小值，则a的范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解的取值范围即可.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程有两个不同的实数根，‎ 即：，整理可得：整理可得：，‎ 据此可知的取值范围是或.‎ ‎【点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．‎ ‎(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．‎ ‎16.函数满足，，当，时，，（过点且斜率为的直线与在区间，上的图象恰好有3个交点，则的取值范围为__.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性及函数的图象的对称性，可求出函数在，上的解析式，作出函数图象，由数形结合可知直线的斜率满足时，直线与函数有3个交点，利用导数及斜率公式可求出，即可求解.‎ ‎【详解】由，时，，以及可知，‎ 当时，，‎ 又由，可知函数图象关于直线对称，‎ 故当时，，‎ 则，，‎ 即时，，‎ 同理可知，当时，，‎ 又直线恒过点，‎ 故其方程为，即，‎ 做出函数当时的函数图象和，‎ 由图象可知，适合题意的的范围是，‎ 设直线和函数在，上相切于点，，‎ 则 将②代入③，得到 ④‎ 再将①代入④得到，‎ 解得，故，舍去负值.‎ 将代入①，得到，‎ 又由题可知点，代入直线，‎ 得到，‎ 故适合题意的的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性，利用导数求切线的斜率，数形结合，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知集合，.‎ ‎（1）若，，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合和集合；‎ ‎（1）由交集定义得到，分别在和两种情况下构造不等式求得结果；‎ ‎（2）由并集定义得到，根据交集结果可构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，，解得：，满足 当时，，解得：‎ 综上所述：实数的取值范围为 ‎（2）‎ ‎ ，解得：‎ 实数的取值范围为 ‎【点睛】本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.‎ ‎18.已知给出下列两个命题：‎ 函数小于零恒成立；‎ 关于的方程一根在上，另一根在上．‎ 若为真命题， 为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由恒成立，采用分离参数法求得的取值范围，再由方程根的存在定理求出的范围，而为真命题， 为假命题，则一真一假，结合集合的运算，由此可得的范围．‎ ‎【详解】由已知得恒成立，即恒成立，即 在恒成立；函数在上的最大值为；即；‎ 设则由命题，解得： 即 若为真命题， 为假命题，则一真一假．‎ ‎①若真假，则： 或或 ‎②若假真，则： ‎ 实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】由“p或q”为真，“p且q”为假判断出p和q一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．‎ ‎19.已知函数 .‎ ‎（1）当时，计算定积分 ；‎ ‎（2）求的单调区间和极值.‎ ‎【答案】(1) 当时，;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用微积分基本定理求解定积分即可；‎ ‎（2）函数求导得，讨论时和时时的导数正负从而得单调区间和极值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时， ‎ ‎（2），‎ 当时，令得；令得且，‎ 所以的增区间为，减区间为，‎ 所以的极小值为无极大值，‎ 当时，令得且，令得，‎ 所以的减区间为，增区间为，‎ 所以的极大值为无极小值.‎ 点睛：定积分的计算一般有三个方法：‎ ‎（1）利用微积分基本定理求原函数；‎ ‎（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；‎ ‎（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.‎ ‎20.已知函数f（x）=2x3+3mx2+3nx﹣6在x=1及x=2处取得极值．‎ ‎（1）求m、n的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知在及 处取得极值，即 列方程组即可求得的值； （2）由题意可知： ，令 ，求得函数单调递增区间，令，求得函数的单调递减区间．‎ ‎【详解】（1）函数f（x）=2x3+3mx2+3nx﹣6，求导，f′（x）=6x2+6mx+3n f（x）在x=1及x=2处取得极值，‎ ‎∴‎ ‎，整理得：，‎ 解得：，‎ m、n的值分别为﹣3，4；‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 令，解得：x＞2或x＜1，‎ 令，解得：1＜x＜2，‎ 的单调递增区间单调递减区间（‎ ‎【点睛】本题考查导数的求法，考查函数的单调性与极值的综合应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道 恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，所以.‎ 又因为，所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，则.‎ 当时，，‎ 所以在区间上单调递减.‎ 所以对任意有，即.‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.‎ ‎22.已知函数，‎ ‎(Ⅰ) 设函数，讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，对分情况讨论函数的单调性，即可得证 构造，求导后讨论其单调性，然后证得结果 ‎【详解】(Ⅰ)由题得， ‎ ‎①当时，，此时在上单调递减， ‎ ‎②当时，令，得，令，得，‎ ‎∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ‎ ‎③当时，令，得，令，得，‎ ‎∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ‎ ‎（Ⅱ）要证，即证，令， ‎ 当时，，∴成立； ‎ 当时，， ‎ 当时，；当时，，‎ ‎∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎∴． ‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴，即成立，故原不等式成立．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性和证明不等式成立，导数题目中含有参量较为常见，那么就要进行分类讨论，如何分类，为何这样分类一定要理清楚