数学理卷·2019届湖南省衡阳市第八中学高二上学期期末考试（2018-01） 11页

‎2017年下学期衡阳市八中高二期末考试试题 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数的共轭复数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．命题，命题或，则命题是命题的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）‎ A．90 B．100 C．180 D．300‎ ‎4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）‎ A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45‎ ‎5．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设随机变量，则（ ）‎ A．1 B．2 C． D．4‎ ‎8．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．曲线与直线围成的图形的面积为（ ）‎ A． B．4 C． D．5‎ ‎10．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测 的数据算得的线性回归方程可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数有（ ）‎ A．288 B．240 C．144 D．126‎ ‎12．已知在椭圆方程中，参数都通过随机程序在区间上随机选取，其中，则椭圆的离心率在之内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．观察下列等式：，，，……，根据上述规律，第五个等式为 ．‎ ‎14．二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．‎ ‎15．若双曲线的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为 ．‎ ‎16．设函数，若对所有都有，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，……，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）求直方图中的值；‎ ‎（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；‎ ‎（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎19．某校高二年级设计了一个实验的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为.‎ ‎（Ⅰ）分别求考生甲、乙能通过该实验能力考查的概率；‎ ‎（Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为，写出的概率分布列，并求及．‎ ‎20．如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，．‎ ‎（1）求二面角的大小；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎21．已知函数，且，其中.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调增区间．‎ ‎22．已知，曲线上任意一点满足；曲线上的点在轴的右边且到的距离与它到轴的距离的差为1．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过的直线与相交于点，直线分别与相交于点和．求的取值范围．‎ 附加题：（共20分）‎ ‎1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）.‎ A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 ‎2.当时，有如下表达式：‎ ‎，两边同时积分得：‎ ‎，‎ 从而得到如下等式：‎ 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：‎ ‎[.C om]‎ ‎3.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，‎ ‎，．‎ ‎‎ ‎2017年下学期衡阳市八中高二期末考试试题 理科数学 参考答案 一、选择题 ‎1-5:DACAB 6-10:CCDCA 11、12：BB 二、填空题 ‎13． 14．180 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在的频率为.‎ 同理，在，，，，，等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.‎ 由，‎ 解得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为.‎ 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为.‎ ‎（Ⅲ）设中位数为吨.‎ 因为前5组的频率之和为，‎ 而前4组的频率之和为 所以.‎ 由，解得.‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.‎ ‎18．解：（Ⅰ）∵‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴在处的切线方程为 ‎，即．‎ ‎（Ⅱ）令 ‎∵时，‎ ‎∴在上单调递减 ‎∴时，有最大值；‎ 时，有最小值．‎ ‎19．解：（Ⅰ）设甲、乙能过关的事件分别为，则 ‎，‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎20．解：∵正方形和矩形所在平面互相垂直，‎ 分别以为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，．‎ ‎（1）设平面的法向量为，‎ 平面的法向量，‎ 由解得.‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角等于60°．‎ ‎（2）,,‎ ‎，‎ ‎.设点到平面的距离为，‎ 则.‎ ‎∴．‎ 所以点到平面的距离为．‎ ‎21．解：（1）由题设知，函数的定义域为，‎ 由得，解得．‎ ‎（2）由（1）得.‎ ‎①当时，由,得或,‎ 此时的单调增区间为和；‎ ‎②当时，的单调增区间为．‎ ‎③当时，由,得或，‎ 此时的单调增区间为和．‎ ‎④当时，由,得，‎ 此时的单调增区间为．‎ 综上，当时，的单调增区间为和；‎ 当时，的单调增区间为；‎ 当时，的单调增区间为和；‎ 当时，的单调增区间为 ‎22．解：（1）由题意可知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，‎ 故有,，‎ ‎∴的方程为，‎ 设，则有，‎ 化简得，‎ 即的方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 联立方程组，消去得，‎ 设，，则有，‎ 设的斜率分别为，则有 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 直线的方程为，代入 有，‎ 设，则有，‎ ‎∴，‎ 同理.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 附加题：‎ ‎1.选D.‎ ‎2.解：原式 ‎.‎ ‎3.解:（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此 ‎.‎ 的数学期望为.‎ ‎（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程&可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.‎ ‎（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.‎ 剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02.‎ ‎，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，‎ 因此的估计值为.‎