数学理（实验班）卷·2019届陕西省西安市长安一中高二上学期第一次月考（2017-10） 11页

长安一中高2016级（高二阶段）‎ ‎ 第一学期第一次月考 数学试题 （理科实验）‎ 总分：150分 时间：120分钟 命题人：任晓龙 审题人：王斌 一.选择题（每小题5分,共60分）‎ ‎1.k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(　　)‎ A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1‎ C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2‎ ‎2.直线与双曲线的交点个数是( ) （　　）‎ ‎ A．0 B．1 C．2 D．视m的值而定 ‎3.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点 .若，则的实轴长为( 　)‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）‎ ‎ A．a≥4 B．a≤‎4 C．a≥5 D．a≤5‎ ‎5.在三棱柱ABCA1B‎1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA‎1C1C所成的角为，则的值是(　　)‎ ‎ A. B． C. D． 高二理科实验班数学试题（第1页 共6页）‎ ‎6.已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝‎1 C.－＝1 D.－＝1‎ ‎7.正三棱柱ABCA1B‎1C1的所有棱长都相等，D是A‎1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎8．直线：与曲线相交于A、B两点，则直线 倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9．观察下列各式:则的末四位数字为 ( )‎ ‎ A.3125 B‎.5625 C.0625 D.8125‎ ‎10．如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是( 　) ‎ A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 ‎11.已知当时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数 的取值范围是( 　)‎ 高二理科实验班数学试题（第2页 共6页）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF‎2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）‎ A．（3，+∞） B．（1，2+） C．（3，2+） D．（1，3）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为__________．‎ ‎14．在直三棱柱ABCA′B′C′中，底面ABC是等腰直角三角形，且AB＝AC＝1，AA′＝2，则A′到直线BC′的距离为________．‎ ‎15.抛物线上的斜率为2的弦的中点的轨迹方程是_________.‎ ‎16.椭圆 ＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．‎ ‎17.若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－‎2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是____________________．‎ 高二理科实验班数学试题（第3页 共6页）‎ ‎18.已知抛物线C：的准线为，过M(1,0)且斜率为的直线与相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则＝________.‎ 三、 解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为. ‎ ‎（1）求sin Bsin C;‎ ‎（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求的周长.‎ ‎20. 如图，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AA‎1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA‎1C1C，AB=3，BC=5.‎ ‎（1）求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；‎ ‎（3）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.‎ ‎21.如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)过点B的直线与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线的方程．‎ 高二理科实验班数学试题（第4页 共6页）‎ ‎22．如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA=2，侧面积为，∠AOP=120°．‎ ‎（1）求证：AG⊥BD；‎ ‎（2）求二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值．‎ ‎23．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线的方程为x=4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．‎ 高二理科实验班数学试题（第5页 共6页）‎ 长安一中高2016级高二阶段 第一次月考理科实验答案 一﹑选择题 ‎1-5 ADCCD 6-10 DABDA 11-12 BC 二﹑填空题 13． ‎4 14． 15． ‎ ‎16．3 17． 18．2 ‎ 三﹑解答题 ‎19. 解　(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.‎ 由正弦定理，得sin Csin B＝，‎ 故sin Bsin C＝.‎ ‎(2)由题设及(1)，得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，‎ 即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.‎ 由题意得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.‎ 由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，‎ 即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.‎ 故△ABC的周长为3＋.‎ ‎20. 解：‎ ‎（1）因为为正方形，所以。 ‎ 因为平面平面，且垂直于这两个平面的交线，‎ 所以平面。‎ ‎（2）由（1）知，。‎ 由题知，，，所以。‎ 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，。‎ 设平面的法向量为，则，即。‎ 令，则，。‎ 同理可得，平面的法向量为，则。‎ ‎（3）设是直线上一点，且，所以。‎ 解得，，。‎ 所以。‎ 由，即，解得。‎ 因为，所以在线段上存在点，使得。‎ 此时，。‎ ‎21. 解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左右顶点．‎ 设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2.‎ ‎∴b＝1.‎ ‎(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)‎ 设点P的坐标为(xP，yP)，‎ ‎∵直线l过点B，‎ ‎∴x＝1是方程(*)的一个根．‎ 由求根公式，得xP＝，从而yP＝，‎ ‎∴点P的坐标为.‎ 同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．‎ ‎∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2)．‎ ‎∵AP⊥AQ，∴·＝0，‎ 即[k－4(k＋2)]＝0.‎ ‎∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，‎ 解得k＝－.‎ 经检验，k＝－符合题意．‎ 故直线l的方程为y＝－(x－1)．‎ ‎22. 解：（1）（解法一）：由题意可知8=2×2π×AD，‎ 解得AD=2，‎ 在△AOP中，AP=，‎ ‎∴AD=AP，‎ 又∵G是DP的中点，‎ ‎∴AG⊥DP．①‎ ‎∵AB为圆O的直径，‎ ‎∴AP⊥BP．‎ 由已知知DA⊥面ABP，‎ ‎∴DA⊥BP，‎ ‎∴BP⊥面DAP．分 ‎∴BP⊥AG．②‎ ‎∴由①②可知：AG⊥面DBP，‎ ‎∴AG⊥BD．‎ ‎（2）由（1）知：AG⊥面DBP，‎ ‎∴AG⊥BG，AG⊥PG，‎ ‎∴∠PGB是二面角P﹣AG﹣B的平面角．‎ PG=PD=×AP=，‎ BP=OP=2，∠BPG=90°，．‎ ‎∴BG==．‎ cos∠PGB===．‎ ‎（解法二）：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知8=2×2π×AD，‎ 解得AD=2，‎ 则A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），P（，3，0），‎ ‎∵G是DP的中点，‎ ‎∴可求得G（，，）．‎ ‎（1）=（，﹣1，0），=（0，﹣4，2），‎ ‎∴=（，，）．‎ ‎∵=（，，）•（0，﹣4，2）=0，‎ ‎∴AG⊥BD ‎（2）由（1）知，）=（，﹣1，0），=（，，）.=（﹣，﹣，）‎ ‎=（，﹣，） ‎ ‎∵，．‎ ‎∴是平面APG的法向量．‎ 设=（x，y，1）是平面ABG的法向量，‎ 由，‎ 解得=（﹣2，0，1）分 cosθ==．‎ 所以二面角二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值 ‎23. 解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得 ‎①‎ 由离心率e=得=，即a=‎2c，则b2=‎3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=‎ 故椭圆的方程为 ‎（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③‎ 代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ x1+x2=，④‎ 在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），‎ 从而，，=k﹣‎ 注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有==k 所以k1+k2=+=+﹣（+）‎ ‎=2k﹣×⑤‎ ‎④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1‎ 又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3‎ 故存在常数λ=2符合题意 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为 令x=4，求得M（4，）‎ 从而直线PM的斜率为k3=，‎ 联立，得A（，），‎ 则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=‎ 所以k1+k2=+=2×=2k3，‎ 故存在常数λ=2符合题意 ‎ ‎ 高二理科实验班数学试题（第6页 共6页）‎