高中数学第三章 1_2 函数的极值 课件 16页

第三章 导数应用 1.2 函数的极值 复习 : 利用函数的导数来研究 函数的单调性其基本的步骤为 : ① 求函数的定义域 ; ② 求函数的导数 ; ③ 解不等式 >0 得 f(x) 的单调递增区间 ; 解不等式 <0 得 f(x) 的单调递减区间 . 在上节课中 , 我们是利用函数的导数来研究 函数的单调性的 . 下面 我们利用函数的导数来研究 函数的 极 值问题 . 新课探析 　 1 ．函数的极值 : 一般地 , 设函数 y=f(x) 在 x 0 及其附近有定义 , 如果 f(x 0 ) 的值比 x 0 附近所有各点 的函数值都大 , 我们说 f(x 0 ) 是函数 y=f(x) 的一个 极大值 ; 如果 f(x 0 ) 的值比 x 0 附近所有各点的函数值都小 , 我们说 f(x 0 ) 是函数 y=f(x) 的一个 极小值 . 极大值与极小值统称 极值 . o a X 1 X 2 X 3 X 4 b a x y 请注意以下几点 : (1) 极值是一个局部概念 . 由定义 , 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 . 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 . 也就是说极值与最值是两个不同的概念 . (2) 函数的极值不是唯一的 . 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 . o a X 1 X 2 X 3 X 4 b a x y (3) 极大值与极小值之间无确定的大小关系 . 即一个函数的极大值未必大于极小值 , 如 f(x 4 )>f(x 1 ). o a X 1 X 2 X 3 X 4 b a x y (4) 函数的极值点一定出现在区间的内部 , 区间的端点不能成为极值点 . 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部 , 也可能在区间的端点 . o a X 0 0 b x y o a X 0 b x y ２．求可导函数 f(x) 的极值 一般地 , 当 函数 f(x) 在 x 0 处连续 时 , 判别 f(x 0 ) 是极大 ( 小 ) 值的方法是 : (1): 如果在 x 0 附近的左侧 右侧 那么 , f(x 0 ) 是极大值 ; (2): 如果在 x 0 附近的左侧 右侧 那么 , f(x 0 ) 是极小值 . 要注意以下两点 : (2) 不可导点也可能是极值点 . 例如函数 y=|x|, 它在点 x=0 处不可导 , 但 x=0 是函数的极 小值点 . (1) 可导函数 的 极值点 一定是导数为 零 的点 , 导数为 零 的点 , 不 一定是该函数的 极值点 . 例如 , 函数 y=x 3 , 在点 x=0 处的导数为零 , 但它不是极值点 , 例 1: 求 y=x 3 /3 － 4x+4 的极值 . 解 : 令 , 解得 x 1 =-2,x 2 =2. 当 x 变化时 , ,y 的变化情况如下表 : x (- ∞ ,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+ ∞ ) y’ + 0 － 0 + y ↗ 极大值 28/3 ↘ 极小值 -4/3 ↗ 因此 , 当 x=-2 时有极大值 , 并且 ,y 极大值 =28/3; 而 , 当 x=2 时有极小值 , 并且 ,y 极小值 =- 4/3. 总结 : 求 可导函数 f(x) 的极值的步骤如下 : (2). 求导数 (3). 求方程 的根 . (4) 检查 在方程根左右的值的符号 , 　如果 左正右负 , 那么 f(x) 在这个根处取得极 大 值 ; 如果 左负右正 , 那么 f(x) 在这个根处取得极 小 值 . (1) 求函数的定义域 例２、 (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) f / (x) f(x) 0 0 0 - - + + 减 减 增 增 1 0 1 导数为零的点不一定是极值点！ x=-1, x=0,x=1; x=0 是函数极小值点 y=0. 练习１ : 求函数 的极值 . 解 : 函数的定义域为 令 , 解得 x 1 =-a,x 2 =a(a>0). 当 x 变化时 , ,f(x) 的变化情况如下表 : x (- ∞ ,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+ ∞ ) f’(x) + 0 - - 0 + f(x) ↗ 极大值 -2a ↘ ↘ 极小值 2a ↗ 　　故当 x=-a 时 ,f(x) 有极大值 f(-a)=-2a; 当 x=a 时 ,f(x) 有极小值 f(a)=2a. 　　说明 : 本题中的极大值是小于极小值的 , 这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念 . 练习２ : 求函数 的极值 . 解 : 令 =0, 解得 x 1 =-1,x 2 =1. 当 x 变化时 , ,y 的变化情况如下表 : x (- ∞ ,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞ ) y’ - 0 + 0 - y ↘ 极小值 -3 ↗ 极大值 3 ↘ 　　 因此 , 当 x=-1 时有极大值 , 并且 ,y 极大值 =3; 而 , 当 x=1 时有极小值 , 并且 ,y 极小值 =- 3. 1. 用导数来确定函数的极值步骤： （ 1 ） 先求函数的导数 f / (x) ； （ 2 ） 再求方程 f / (x) = 0 的根； （ 3 ） 列出导函数值符号变化规律表； （ 4 ）利用从 + 、 0 、 - 判断函数极大值； 利用从 - 、 0 、 + 判断函数极小值； (-∞,a) a （ a,b ） b (b, +∞) f’(x) 符号 f (x) 增函数 + + - 0 0 增函数 减函数 极大值 极小值 总结 : 2. 函数的极值注意事项： (4) 函数的不可导点也可能是极值点 ; (5) 可导函数的极值点一定是使导函数为 0 的点 ; (2) 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的 , 在函数的整个定义域可能有多个极大值或极小值 , 不唯一 ! (3) 极大值不一定比极小值大 ! (1) 导数为零的点不一定是极值点！