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- 2021-06-15 发布
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核心素养测评五十五 圆锥曲线的范围问题
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知点(1,2)是双曲线-=1 (a>b>0)上一点,则其离心率的取值范围
为 ( )
A.(1, ) B.
C.(,+∞) D.
【解析】选C.由已知得-=1,
所以=b2+4,e===>,所以e>.
2.已知A,B为椭圆+=1上的两个动点,M(-1,0),且满足MA⊥MB,则·的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.A,B为椭圆+=1上的两个动点,M(-1,0)为其左焦点.
MA⊥MB,则有·=0.
·=·(-)=.
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设A(x,y),则y2=3(1-).
=(x+1)2+y2=(x+1)2+3(1-)=x2+2x+4=(x+4)2.
由x∈[-2,2],得=(x+4)2∈[1,9].
3.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.由椭圆上长轴端点向圆作两条切线PA、PB,则两切线形成的角为∠APB,若椭圆C1上存在点P令切线互相垂直,则只需∠APB≤90°,即α=∠APO≤45°,所以sin α=≤sin 45°=,解得a2≤2c2,所以e2≥,即e≥.而04),点
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A(-2,2)是椭圆内一点,B(0,-2),若椭圆上存在一点P,使得|PA|+|PB|=8,则m的范围是________;当m取得最大值时,椭圆的离心率为________.
【解析】显然椭圆的焦点在y轴上,设椭圆的半焦距为c,则c==2,
故B为椭圆的下焦点,设椭圆的上焦点为F(0,2),
则由椭圆定义可知|PF|+|PB|=2a,
因为|PA|+|PB|=8,所以|PA|=8-|PB|,
于是||PA|-|PF||=|8-|PB|-|PF||=|8-2a|,
又||PA|-|PF||≤|AF|=2,
所以|8-2a|≤2,解得:3≤a≤5,即3≤≤5,
所以9≤m≤25.
又A(-2,2)在椭圆内部,所以+<1,
又m>4,
解得m>6+2.
综上可得:6+20)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.
(1)求抛物线C的方程.
(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x
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轴于P,Q两点,求|AP|·|BQ|的取值范围.
【解析】(1)已知M(m,9)到焦点F的距离为10,则点M到准线的距离为10.
因为抛物线的准线为y=-,所以9+=10,
解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.
(2)由已知可判断直线l的斜率存在,设斜率为k,
因为F(0,1),则l:y=kx+1.
设A,B,
由消去y得,x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.
由于抛物线C也是函数y=x2的图象,且y′=x,则PA:y-=x1(x-x1).
令y=0,解得x=x1,所以P,
从而|AP|=.
同理可得|BQ|=,
所以|AP|·|BQ|=
=
=2.因为k2≥0,所以|AP|·|BQ|的取值范围为[2,+∞).
8.已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,
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从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是(3,-2),(-2,0),(4,-4),.
(1)求C1,C2的标准方程.
(2)过点M(0,2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点A,B,且∠AOB为钝角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
【解析】(1)由题意,抛物线的顶点为原点,设椭圆方程为+=1(a>b>0),
所以点(-2,0)一定在椭圆上,且a=2,则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于2,
所以也在椭圆上,+=1,b2=1,故椭圆标准方程为+y2=1,
所以点(3,-2)、(4,-4)在抛物线上,且抛物线开口向右,设其方程为y2=2px(p>0),12=6p,p=2,
所以方程为y2=4x.
(2)①当直线l斜率不存在时,易知A,O,B三点共线,不符合题意.
②当l斜率存在时,设l:y=kx+2,A(x1,x2),
B(x2,y2),x2+4(kx+2)2-4=0,(4k2+1)x2+16kx+12=0,
令Δ=(16k)2-48(4k2+1)>0,
256k2-192k2-48>0,64k2>48,k<-或k>,
=(x1,y1),=(x2,y2),x1+x2=,x1x2=,
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)
=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
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=-+=,
令·=x1x2+y1y2=<0,
即4k2>16,k<-2或k>2.
综上:k<-2或k>2.
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