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- 2021-06-15 发布
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2019-2020学年贵州省黔东南州凯里一中高三(上)开学数学试卷(文科)(9月份)
一、选择题(本大题共12小题)
1. 已知集合,,则
A. B. C. D.
2. 设复数z满足,则
A. 1 B. C. D. 2
3. 某地区高考改革,实行“”模式,即“3”指语文、数学、外语三门必考科目,“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门,“1”指在物理、历史两门科目中必选一门,则一名学生的不同选科组合有多少种?
A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
4. 已知m,n是空间中两条不同的直线,,是两个不同的平面,有以下结论:
,,,,,
,,,.
其中正确结论的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 已知等差数列的公差为2,若,,成等比数列,则的值为
A. B. C. D.
6. 在棱长为2的正方体内任取一点,则该点到各顶点的距离超过1的概率是
A. B. C. D.
7. 已如非零向量,,满足,则与的夹角为
A. B. C. D.
8. 函数的图象可能是
A. B.
C. D.
9. 将半径为1的圆铁皮剪成一个矩形,则该矩形的面积的最大值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,则
A. 为奇函数,在上单调递减
B. 周期为,图象关于点对称
C. 为偶函数,在上单调递增
D. 最大值为1,图象关于直线对称
1. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作圆的切线,交双曲线右支于点M,若,则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
2. 定义在R上的奇函数满足,且当时,不等式恒成立,则函数的解集为
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题)
3. 曲线在点处的切线方程为______.
4. 已知,则______.
5. 若抛物线上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则的面积为______.
6. 已知函数在时取得最大值,则______.
三、解答题(本大题共7小题)
7. 商品的销售价格与销售量密切相关,为更精准地为商品确定最终售价,商家对商品A按以下单价进行试售,得到部分的数据如下:
单价元
15
16
17
18
19
销量件
60
58
55
53
49
Ⅰ求销量y关于x的线性回归方程;
Ⅱ预计今后的销售中,销量与单价服从中的线性回归方程,已知每件商品A的成本是10元,为了获得最大利润,商品A的单价应定为多少元?结果保留整数
参考数据:,,
参考公式:,
8. 在中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知.
求角C的大小;
Ⅱ若,求周长的取值范围.
9. 如图所示,四棱锥中,底面ABCD;,,,,,.
Ⅰ求证:平面SAD;
Ⅱ求顶点A到平面SCD的距离.
1. 设椭圆,离心率,短轴,抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点为,
求椭圆和抛物线的方程;
设坐标原点为O,A为抛物线上第一象限内的点,B为椭圆一点,且有,当线段AB的中点在y轴上时,求直线AB的方程.
2. 已知函数.
求函数的单调区间;
若恒成立,求a的值.
3. 在直角坐标系xOy中,曲线为参数,以坐标原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
求曲线的极坐标方程;
已知点,直线l的极坐标方程为,它与曲线的交点为O,P,与曲线的交点为Q,求的面积.
4.
已知.
当时,求不等式的解集;
若时不等式成立,求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:,;
.
故选:B.
可求出集合A,B,然后进行交集的运算即可.
考查描述法表示集合的定义,对数函数的单调性,以及交集的运算.
2.【答案】A
【解析】解:,
故,
故选:A.
根据复数的基本运算法则进行化简即可.
本题主要考查复数模长的计算,比较基础.
3.【答案】B
【解析】解:根据题意,分3步进行分析:
,语文、数学、外语三门必考科目,有1种选法;
,在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门,有种选法;
,在物理、历史两门科目中必选一门,有种选法;
则这名学生的不同选科组合有种;
故选:B.
根据题意,分3步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目,由分步计数原理计算可得答案.
本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.
4.【答案】B
【解析】解:对于,,,时,
根据两个平面互相垂直的判定定理,不能得出,错误;
对于,,,,,
根据两个平面互相平行的判定定理,不能得出,错误;
对于,,,,
根据两个平面互相垂直的判定定理,得出,正确;
对于,,,
根据直线与平面平行的判定定理,不能得出,错误.
综上,正确的命题是,只有1个.
故选:B.
根据空间中的直线与平面,平面与平面之间的平行与垂直关系,判定正误即可.
本题考查了几何符号语言以及空间中的平行与垂直关系的应用问题,是基础题.
5.【答案】C
【解析】解:由,,成等比数列,得到,
又公差,得到,即,
解得:,
则
.
故选:C.
由,,成等比数列,根据等比数列的性质及通项公式,由列出关于的方程,求出方程的解即可得到的值,由求出的首项和公差,根据等差数列的通项公式求出和的值,即可求出结果.
此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道基础题.
6.【答案】D
【解析】解:点到各顶点的距离不超过1的几何体是一个半径为1的球,体积为,截面图如下:
所以根据几何概型,点到各顶点的距离超过1的概率为,
故选:D.
根据已知条件,求出满足条件的体积,代入几何概型计算公式,即可求出答案.
几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,本题以体积为度量,考查求概率的方法,基础题.
7.【答案】C
【解析】解:非零向量,,满足,
所以;
又,
所以,
即;
所以,
又,所以,
即与的夹角为.
故选:C.
由平面向量的数量积与夹角公式,结合特殊角的余弦函数,即可求出与的夹角.
本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题,是基础题.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的性质和赋值法的应用,属于中档题.
直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果.
【解答】
解:根据函数的解析式,,
得到函数为奇函数,其图象关于原点对称,
故排除A和B.
当时,函数的值为0,故排除C.
故选D.
9.【答案】B
【解析】解:如图,矩形的长为,宽为,
故矩形面积,,
故当时,最大值为2,
故选:B.
本题是应用题,首先要审题,求出矩形的长和宽,求出面积,利用三角函数求最值.
本题是应用题,考查三角函数求最值,基础题.
10.【答案】D
【解析】解:将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,
故为偶函数,,,函数单调递减,故A不正确;
再根据的周期为,最大值为1,当时,,故B错误;
,,函数没有单调性,故C错误;
当时,函数,为最小值,故的图象关于直线对称,故D正确,
故选:D.
由题意利用函数的图象变换规律,再根据余弦函数的单调性以及图象的对称性,得出结论.
本题主要考查函数的图象变换规律,余弦函数的单调性以及图象的对称性,属于基础题.
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的渐近线方程,考查双曲线的定义和三角形的中位线定理,考查运算能力,属于中档题.
设切点为N,连接ON,作作,垂足为A,运用中位线定理和勾股定理,结合双曲线的定义,即可得到a,b的关系,进而得到所求渐近线方程.
【解答】
解:设切点为N,连接ON,作作,垂足为A,
由,且ON为的中位线,可得
,,
即有,
在直角三角形中,可得,
即有,
由双曲线的定义可得,
可得,
则双曲线的渐近线方程为
故选A.
12.【答案】D
【解析】解:构造,
,
当时,不等式恒成立,
当时,,单调递增,
又是奇函数,
,
,
是偶函数,
当时,单调递减,
,
,,
当时,,,
当时,,,
当时,,,
当时,,,
函数的解集为.
故选:D.
构造,结合条件分析单调性,奇偶性,零点,再解不等式即可.
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,并由函数的奇偶性和单调性解不等式,属于综合题.
13.【答案】
【解析】解:依题解:依题意得,
因此曲线在处的切线的斜率等于1,
所以函数在点处的切线方程为
故答案为:.
利用导数求出在处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而问题解决.
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
14.【答案】
【解析】解:,
,
故答案为:.
利用二倍角公式即可算出结果.
本题主要考查了二倍角公式,是基础题.
15.【答案】
【解析】解:由抛物线定义,,所以,,
所以,的面积.
故答案为:.
利用抛物线的定义,求出P的坐标,然后求出三角形的面积.
本题考查抛物线的简单性质的应用,三角形的面积的求法,考查计算能力.
16.【答案】
【解析】解:,最大值为5,
所以,
又因为,
联立解之得,
故答案为:.
先用公式求出最值,再联立方程解.
本题考查三角函数的最值,属于基础题.
17.【答案】解:Ⅰ,,
,
.
销量y关于x的线性回归方程为;
Ⅱ设商品A的单价应定为x元,
则利润,
当时,获得的利润最大.
【解析】Ⅰ由已知求得与的值,则线性回归方程可求;
Ⅱ设商品A的单价应定为x元,则利润,再由二次函数求最值.
本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是中档题.
18.【答案】解:,
,
,
,
,
又,.
Ⅱ,,,
则的周长,
,,
,
周长的取值范围是.
【解析】由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出;
利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出.
熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键.
19.【答案】解:Ⅰ证明:,,,,,.
是等边三角形,,
,,
平面SAD,平面SAD,
平面SAD.
Ⅱ解:四棱锥中,底面ABCD,,,
,
以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AS为z轴,建立空间直角坐标系,
0,,0,,1,,2,,
0,,,2,,
设平面SCD的法向量y,,
则,取,得1,,
顶点A到平面SCD的距离为:
.
【解析】Ⅰ推导出是等边三角形,,从而,进而,由此能证明平面SAD.
Ⅱ推导出,以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AS为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出顶点A到平面SCD的距离.
本题考查线面平行的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
20.
【答案】解:由得,又有,代入,解得,
所以椭圆方程为,
由抛物线的焦点为得抛物线的方程为:.
由题意点A位于第一象限,可知直线OA的斜率一定存在且大于0,
设直线OA方程为:,
得:,可知点A的横坐标,即,
因为,可设直线OB方程为:
联立可得得:,从而得,
若线段AB的中点在y轴上,可知,即,
且有,且,解得,
从而得,,
直线AB的方程:.
【解析】通过离心率以及短轴长,求出b,a得到椭圆方程,通过抛物线的焦点坐标求解抛物线方程即可.
可知直线OA的斜率一定存在且大于0,设直线OA方程为:,,联立得,求出点A的坐标x,然后求解B的坐标,即可求解直线AB的方程.
本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用,方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力.
21.【答案】解:的定义域是,
,
令,解得:,
令,解得:,
故在递减,在递增;
恒成立,即恒成立,
时,即在恒成立,
令,,
,
令,则,
故在递增,
故,
故,
故在递增,
由,
故,
时,显然成立,
时,即在恒成立,
令,,
,
故在递增,
由,
故,
综上,.
【解析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
通过讨论x的范围,得到在恒成立或在恒成立,根据函数的单调性求出a的值即可.
本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道中档题.
22.
【答案】解:,
其普通方程为,化为极坐标方程为:.
联立与l的极坐标方程:,解得P点极坐标为
联立与l的极坐标方程:,解得Q点极坐标为,所以,
又点M到直线l的距离,
故的面积.
【解析】先利用平方关系式消去参数t可得普通方程,再利用互化公式可得曲线的极坐标方程;
将直线l的极坐标方程分别代入曲线和的极坐标方程,得到P、Q的极坐标,利用极坐标的几何意义可得PQ,再求出M到l的距离,代入面积公式可得.
本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.
23.【答案】解:当时,,
由,
或,
解得,
故不等式的解集为,
当时不等式成立,
,
即,
即,
,
,
,
,
,
,
,
故a的取值范围为.
【解析】去绝对值,化为分段函数,即可求出不等式的解集,
当时不等式成立,转化为即,即,转化为,且,即可求出a的范围.
本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围,考查了运算能力和转化能力,属于中档题.