四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（理）试题 11页

‎2020年春四川省宜宾市叙州区第一中学高二第四学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.复数，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设函数的定义域，函数的定义域为，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.命题“，使”的否定为 ‎ A. B.‎ C.， D.，‎ ‎4.抛物线的焦点坐标是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，某市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是 ‎ A. 9 B. 12 C. 15 D. 17‎ ‎6.已知函数f(x)=2xf‎′‎(e)+lnx，则fe=‎ ‎ A. ‎-e B. e C. ‎-1‎ D. 1‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，输出的的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.若向量，，则 ‎ A. B. C.3 D.‎ ‎10.函数的图象大致是 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11.在四面体中，，，两两垂直，，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是______．‎ ‎14.函数在点处的切线方程为________．‎ ‎15.设x，y满足约束条件，则的最小值为_______.‎ ‎16.若，为自然数，则下列不等式：①；②；③，其中一定成立的序号是__________．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.（12分）已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）若在内只有一个零点，求的取值范围.‎ ‎18.（12分）如图，在正方体中，点为的中点，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（II）若，求二面角的余弦值.‎ ‎19.（12分）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：‎ 土地使用面积（单位：亩）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 管理时间（单位：月）‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎25‎ ‎24‎ 并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:‎ 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 ‎150‎ ‎50‎ 女性村民 ‎50‎ ‎（Ⅰ）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？‎ ‎（II）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？‎ ‎（III）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望。‎ 参考公式：‎ 其中。临界值表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考数据：‎ ‎20.（12分）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹的方程；‎ ‎（II）若直线与曲线交于两点，为曲线上一动点，求面积的最大值 ‎21.（12分）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求的直角坐标方程与点的直角坐标；‎ ‎（II）求证：.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数，x∈R.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（II）若对x，y∈R，有，，求证：.‎ ‎2020年春四川省宜宾市叙州区第一中学高二第四学月考试 理科数学答案 ‎1.A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D 11.C 12.A ‎13. 14. 15. 16.①③.‎ ‎17.解：（1）,‎ ‎，则，故所求切线方程为；‎ ‎（2），‎ 当时，对恒成立 ，‎ 则在上单调递增，从而，则，‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 则 ，‎ 当时， 对恒成立，则在上单调递减，在（1，2）内没有零点 ，综上，a的取值范围为（0，1）.‎ ‎18.（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，‎ ‎，平面的法向量，‎ ‎∵，平面，∴平面.‎ ‎（2），，，，，‎ ‎，，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取得，得，‎ 设二面角的平面角为，‎ 则二面角的余弦值为.‎ ‎、‎ ‎19.解：依题意：‎ 故 则，‎ 故管理时间与土地使用面积线性相关。‎ ‎（2）依题意，完善表格如下：‎ 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 女性村民 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 总计 ‎200‎ ‎100‎ ‎300‎ 计算得的观测值为 故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性。‎ ‎（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，‎ 故 故的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则数学期望为 ‎（或由，得 ‎20.（1）设，由题意，为线段的中点，‎ 即又在圆上，‎ ‎，即，‎ 所以轨迹为椭圆，且方程为.联立直线和椭圆，‎ 得到，即 即有 设过且与直线平行的直线为，‎ 当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，‎ 将代入椭圆方程得：‎ 由相切的条件得 解得，则所求直线为或，‎ 故与直线的距离为，‎ 则的面积的最大值为.‎ ‎21.（I）． ∴在内单调递减， ‎ ‎∴在内恒成立， 即在内恒成立．‎ 令，则，‎ ‎∴当时，，即在内为增函数；‎ 当时，，即在内为减函数． ∴的最大值为，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，‎ 则在内有两根，，‎ 由（I），知． ‎ 由，两式相减，得．‎ 不妨设， ‎ ‎∴要证明，只需证明． ‎ 即证明，亦即证明． ‎ 令函数．∴，即函数在内单调递减．‎ ‎∴时，有，∴．即不等式成立． ‎ 综上，得．‎ ‎22.（1）曲线的极坐标方程可化为，即，‎ 将代入曲线的方程得，所以，曲线的直角坐标方程为.‎ 将直线的极坐标方程化为普通方程得，‎ 联立，得或，则点、，‎ 因此，线段的中点为；‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 易知的垂直平分线的参数方程为（为参数），‎ 代入的普通方程得，，因此，.‎ ‎23.(1)∵,∴|2x－1|<|x|＋1,即 或或 得或或无解．‎ 故不等式的解集为{x|0