山西省长治市第二中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试卷 22页

‎2018—2019学年第二学期高二期中考试数学试题（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若复数满足，则的虚部为（ ）‎ A. 5 B. C. D. -5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】由（1+i）z＝|3+4i|，‎ 得z，‎ ‎∴z的虚部为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎2.已知命题,，则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，‎ 则，，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的渐近线推出b，a关系，然后求解离心率即可．‎ ‎【详解】由已知双曲线C（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，‎ 可得∴，，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时注意焦点位置，考查计算能力．‎ ‎4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A. y与x具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心（，）‎ C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则 ‎=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；‎ 回归直线过样本点的中心（），B正确；‎ 该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；‎ 该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．‎ 故选：D．‎ ‎5.已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．‎ ‎【详解】条件乙：，即为⇔‎ 若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；‎ 反之，当条件乙成立，则也可以，但是此时不满足条件甲：a＞b＞0，‎ 所以甲是乙成立的充分非必要条件 故选：A．‎ ‎【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎6.执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（ ）‎ A. 0 B. C. 0或 D. 0或1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，转化为条件函数进行计算即可．‎ ‎【详解】程序对应的函数为y，‎ 若x≤0，由y＝1得ex＝1，得x＝0，满足条件．‎ 若x＞0，由y＝2﹣lnx＝1，得lnx＝1，即x＝e，满足条件．‎ 综上x＝0或e，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件转化为分段函数是解决本题的关键．‎ ‎7.函数y=sin2x的图象可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.‎ 详解：令， ‎ 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;‎ 因为时，，所以排除选项C，选D.‎ 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎8.已知且,则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 5 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,得，化简，利用基本不等式，即可求解．‎ ‎【详解】由，且,则，‎ 所以，‎ 当且仅当时，即时取得等号，‎ 所以的最小值为，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，以及合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9.如图所示，在著名汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，则（ ）‎ A. 33 B. 31 C. 17 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由简单的合情推理得：是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2n，所以P（n）＝2n﹣1，得解．‎ ‎【详解】设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n﹣1），‎ 则有P（n）＝2P（n﹣1）+1，‎ 则有P（n）+1＝2[P（n﹣1）+1]，又P（1）＝1，‎ 即是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，‎ 由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2n，所以P（n）＝2n﹣1，‎ 即P（4）＝24﹣1＝15，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了数列的递推公式及等比数列的通项公式，属中档题．‎ ‎10.已知为常数，圆过圆内一点的动直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为，则的值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的方程求出圆心坐标和半径，结合题意，可得过圆心与点的直线与直线垂直，再由斜率的关系，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，圆，可化为，‎ 则圆心坐标为，半径为，‎ 如图所示，可得过圆心与点的直线与直线垂直，‎ 则，解得，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中结合图象，由直线与圆的位置关系，利用斜率的关系式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎11.设椭圆的两焦点分别为,以为圆心,为半径的圆与交于两点.若 为直角三角形,则的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，△PF1F2为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．‎ ‎【详解】如图所示，‎ ‎∵△PF1F2为直角三角形，‎ ‎∴∠PF1F2＝90°，‎ ‎∴|PF1|＝2c，|PF2＝2c，‎ 则2c+2c＝2a，‎ 解得e1．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆与圆的定义及其性质的应用，考查了数形结合思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知函数,且,则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的解析式求出函数的定义域，设g（x）＝f（x）﹣1，分析可得g（x）为奇函数且在（﹣1，1）上为增函数，据此f（a）+f（a+1）＞2⇒，解可得a的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数f（x）＝lnx+1，有0，解可得﹣1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（﹣1，1），‎ 设g（x）＝f（x）﹣1＝lnx，则g（﹣x）＝ln（﹣x）＝﹣[lnx]＝﹣g（x），则函数g（x）为奇函数；‎ 分析易得：g（x）＝lnx在（﹣1，1）上为增函数，‎ f（a）+f（a+1）＞2⇒f（a）﹣1＞﹣[f（a+1）﹣1]⇒g（a）＞﹣g（a+1）⇒g（a）＞g（﹣a﹣1）⇒，‎ 解可得：a＜0，即a的取值范围为（，0）；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键构造新函数g（x）＝f（x）﹣1，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置 ‎13.函数的单调递增区间是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取得函数的导数，令，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数，则，‎ 令，即，解得或，‎ 所以函数的单调递增区间为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，其中解答中熟记函数的导数与函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14.曲线为参数）上的任意一点到直线的最短距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得曲线的普通方程，求得圆心到直线的距离为，进而可求得曲线上点到直线的最短距离，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，曲线为参数），化为普通方程得，‎ 表示圆心为，半径为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 所以圆上点到直线的最短距离为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15.设抛物线（）的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的普通方程为，，，‎ 又，则，由抛物线的定义得，所以，则，‎ 由得，即，‎ 所以，，‎ 所以，解得．‎ ‎【考点】抛物线定义 ‎【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理．‎ ‎2．若P（x0，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎16.已知，则的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设点，则点在，点在上，分别画出和的图象，利用切点平行线，结合抛物线的定义，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】设点，则点在，点在上，‎ 分别画出和的图象，如图所示，‎ 函数的切线方程为，切点为，‎ 又由表示 由抛物线的定义，可得 又由焦点到直线的距离为，‎ 所以最小值为，‎ 即的最小值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的最值问题，其中解答中把函数的最值问题转化为函数和图象上两点间的距离的最小值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ 三、解答题:本大题共70分 ‎17.已知函数.‎ ‎(1)若，解关于的不等式；‎ ‎(2)若的最大值为3，求.‎ ‎【答案】(1)；(2)1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把原不等式，根据绝对值的定义，得出等价不等式组，即可求解，得到答案．‎ ‎(2)利用绝对值的三角不等式，得到的最大值，即可求解．‎ ‎【详解】(1)由题意，原不等式等价于 ‎ 或 或，‎ 解得或或，‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎(2)由绝对值的三角不等式，可得，‎ 又由的最大值为3，即，解得．‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含有绝对值不等式的解法，以及合理使用绝对值的三角不等式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18.选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线与直线交点的极坐标（，）.‎ ‎【答案】（1），（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．‎ ‎（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立二元二次方程组，进一步求出极坐标系下的 结果．‎ ‎【详解】（1）曲线化为普通方程为：，‎ 由，得，‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）的普通方程为，联立，‎ 解得或，‎ 所以交点的极坐标为，.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎19.2018年我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：‎ 年龄段 人数（单位：人）‎ ‎180‎ ‎180‎ ‎160‎ ‎80‎ 约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.‎ ‎（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？‎ ‎（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列列联表，并回答能否有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？‎ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 ‎12‎ 中年 ‎5‎ 总计 ‎30‎ ‎（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎【答案】（1） ；（2）列联表见解析，没有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）第（1）问，直接利用分层抽样的定义求解.（2）第（2）问，利用随机变量的公式计算得到它的值，再查表下结论. （3）第（3）问，利用古典概型的概率公式解答.‎ 试题解析：‎ ‎ (1)抽出的青年观众为18人，中年观众12人 ‎（2）列联表如下：‎ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ 中年 ‎7‎ ‎5‎ ‎12‎ 总计 ‎13‎ ‎17‎ ‎30‎ ‎，‎ ‎∴没有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关.‎ ‎（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为，其余两人记为，则从中选两人，一共有如下15种情况：‎ 抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，‎ 所以.‎ ‎20.椭圆的离心率为，其右焦点到点的距离为，过点的直线与椭圆交于两点 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意，得到方程组，求得的值，根据，即可得到椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线的参数方程为为参数），联立方程组，利用直线参数方程的几何意义，即可求解．‎ ‎【详解】(1)由题意，椭圆的离心率为，右焦点到点的距离为，‎ 则，解得，又由，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎ (2)设直线的参数方程为为参数），‎ 代入椭圆方程，‎ 由，解得，‎ 所以，‎ 即最大值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程及其几何性质，合理应用直线的参数方程的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎21.“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段，某从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁~35岁（2009年~2018年）之间各月的月平均收入(单位：千元)的散点图：‎ ‎（1）由散点图知，可用回归模型拟合与的关系，试根据有关数据建立关于的回归方程；‎ ‎（2）如果该从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴交的个人所得税.‎ 附注：‎ 参考数据，，，，，,，其中；取，‎ 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为,‎ 新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：‎ 旧个税税率表（个税起征点3500元）‎ 新个税税率表（个税起征点5000元）‎ 税缴级数 每月应纳税所得额（含税）‎ ‎=收入-个税起征点 税率 ‎（%）‎ 每月应纳税所得额（含税）‎ ‎=收入一个税起征点-专项附加扣除 税率 ‎（%）‎ ‎1‎ 不超过1500元的部分 ‎3‎ 不超过3000元的部分 ‎3‎ ‎2‎ 超过1500元至4500元的部分 ‎10‎ 超过3000元至12000元的部分 ‎10‎ ‎3‎ 超过4500元至9000元的部分 ‎20‎ 超过12000元至25000元的部分 ‎20‎ ‎4‎ 超过9000元至35000元的部分 ‎25‎ 超过25000元至35000元的部分 ‎25‎ ‎5‎ 超过35000元155000元的部分 ‎30‎ 超过35000元至55000元的部分 ‎30‎ ‎【答案】（1）；（2）2130元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，令，根据最小二乘法的计算公式，分别求得的值，即可得到回归直线的方程；‎ ‎(2)由(1)得该IT从业人员36岁时月平均收入，再利用表格中的数据和个税的计算方法，求得新旧个税政策下缴交的个人所得税，即可得到答案．‎ ‎【详解】（1）由题意，令，则 由最小二乘法的公式，可得，‎ 又由，‎ 所以，‎ 所以关于的回归方程为，‎ 因为，从而关于的回归方程为．‎ ‎(2)由(1)得该IT从业人员36岁时月平均收入为： (千元)，‎ 旧个税政策下缴交的个人所得税为：‎ ‎(元)，‎ 新个税政策下缴交的个人所得税为：‎ ‎(元)，‎ 故根据新旧个税政策，‎ 则该IT从业人员36岁时每个月少缴交的个人所得税为 (元).‎ ‎【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，正确理解表格的意义，利用最小二乘法的公式准确计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数图象在点处的切线方程：‎ ‎（2）若函数有两个极值点高，，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；‎ ‎(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数问题，然后利用导函数求解其取值范围即可.‎ ‎【详解】当时，，其导数，‎ 所以，即切线斜率为2，‎ 又切点为，所以切线方程为 函数的定义域为，，‎ 因为，为函数的两个极值点，‎ 所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，‎ 又已知，所以，，‎ 将式代入得，‎ 令，，‎ ‎，令，解得，‎ 当时，，在递减；‎ 当时， ，在递增；‎ 所以，，，‎ 即的取值范围是 ‎【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎ ‎