内蒙古乌兰察布市集宁区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 16页

‎2019~2020学年高一上学期期末考试数学 第Ⅰ卷 一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】因为,,所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.‎ ‎2.已知直线经过两点，则直线的倾斜角是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线的斜率，根据斜率得倾斜角．‎ ‎【详解】由题意直线的斜率为，∴倾斜角为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角，可先求出斜率根据斜率是倾斜角的正切值求出倾斜角．‎ ‎3.若函数,则( )‎ A. 9 B. ‎6 ‎C. 4 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得对应的值，由此求得函数值.‎ ‎【详解】由，解得，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.‎ ‎4.函数的零点所在的区间是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数单调递增和,得到答案.‎ ‎【详解】是单调递增函数,且,,‎ 所以的零点所在的区间为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.‎ ‎5.已知,,,则的边上的中线所在的直线方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，，再计算直线方程得到答案.‎ ‎【详解】的中点为,,‎ ‎∴边上的中线所在的直线方程为,即.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎6.若直线被圆截得的弦长为,则( )‎ A. B. ‎5 ‎C. 10 D. 25‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆的圆心坐标为,半径，根据弦长得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】圆的圆心坐标为,半径,直线被圆截得的弦长为,‎ 可得圆心到直线的距离为,则.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆,则该圆锥的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算圆锥的半径和母线长分别为2和4，再计算圆锥的高为，得到体积.‎ ‎【详解】因为半圆的弧长为,半圆的弧长为圆锥的底面周长,所以该圆锥的底面半径.‎ 由题意可知该圆锥的母线长为4,则圆锥的高为,‎ 故该圆锥的体积是.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥的体积，抓住扇形和圆锥的线段长度关系是解题的关键.‎ ‎8.已知，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把化为同底数的幂比较大小，再借助于数2与比较．‎ ‎【详解】，又，∴．而，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查比较大小，比较幂的大小尽量化为同底数的幂或化为同指数的幂，同样比较对数大小也尽量化为同底数的对数，如果不能化为同底数（或同指数）或不同类型的数则要借助于中间值比较，如等等．‎ ‎9.某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知，直观图是由半个球与一个圆锥拼接，即可求出表面积．‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体由半个球与一个圆锥拼接而成，所以该几何体的表面积.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查三视图，考查表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎10.已知,,点是圆:上的动点,则的最小值为( )‎ A. 9 B. 14‎ C. 18 D. 26‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设为坐标原点，，化简得到，再计算 得到答案.‎ ‎【详解】设为坐标原点,,‎ 则,‎ 又,所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了圆相关的最值问题，变换是解题的关键.‎ ‎11.如图,在长方体中,,,,点是的中点,点是底面内(不包括边界)一动点,且三棱锥体积为,则的最小值是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，点到的距离为，点在底面内(不包括边界)与平行,且距离为的线段上，得到最值.‎ ‎【详解】因为三棱锥的体积,所以.‎ 设点到的距离为,则,解得,‎ 所以点在底面内(不包括边界)与平行,且距离为的线段上,‎ 要使最小,则点是过作的垂线与线段的交点.‎ 因为点到的距离为,此时.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了立体几何中的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎12.设,,分别是方程,,的实根,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 ‎【详解】由题,对于,由与的图像,如图所示,‎ 可得；‎ 对于,由与的图像,如图所示,‎ 可得；‎ 对于,由与的图像,如图所示,‎ 可得或 故 ‎【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想 第Ⅱ卷 二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.若直线:与直线:互相垂直,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用直线垂直公式计算得到答案.‎ ‎【详解】因为,所以,所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了根据直线垂直求参数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.已知函数,则______.‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代入计算得到答案.‎ ‎【详解】因为,所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的函数值，意在考查学生的计算能力.‎ ‎15.已知长方体的每个顶点都在球的球面上.若,,则球的体积是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，再计算体积得到答案.‎ ‎【详解】在长方体中,,,‎ 设长方体的外接球的半径为,所以,所以,‎ 则球的体积.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了长方体的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎16.设函数，若对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明函数为奇函数，根据，结合对数运算法则可得，根据复合函数的单调性，可判断在上为减函数，再结合奇偶性和在处连续，可得在R上为减函数，‎ 于是等价转化为，得，即对任意的，， 从而有，即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以为奇函数，且定义域为R.‎ 又因为函数在上为增函数 所以在上为减函数，‎ 从而在R上为减函数.‎ 于等价于 ‎，‎ 所以，即.‎ 因为，所以，所以，‎ 解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性，将不等式等价转化，化归为函数的单调性和奇偶性是解题的难点，属于较难题.‎ 三､解答题:本大题共6小题,共70‎ 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.‎ ‎17.已知集合或,.‎ ‎(1)当时,求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算，或，再计算得到答案.‎ ‎（2）根据得到，故或，计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)因为,所以,即,‎ 当时,或,所以或.‎ ‎(2)因为,所以, ,‎ 则或,即或,‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.‎ ‎18.计算或化简:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对数指数运算法则计算得到答案.‎ ‎（2）根据对数运算法则计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)原式.‎ ‎(2)原式.‎ ‎【点睛】本题考查了指数对数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19.已知直线经过点.‎ ‎（1）若与直线平行，求的方程（结果用一般式表示）；‎ ‎（2）若在轴上的截距与在轴上的截距相等，求的方程（结果用一般式表示）.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平行得到的斜率为2，得到点斜式为，化简得到答案.‎ ‎（2）根据直线是否过原点两种情况分别计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为与直线平行，所以的斜率为2，‎ 由点斜式可得，的方程为，即.‎ ‎（2）当直线过原点时，的斜率为，所以的方程为.‎ 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入，得，‎ 所以的方程为.‎ 综上所述：的方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查了直线方程，讨论直线是否过原点是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ ‎20.已知二次函数,且.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)若在上的最大值为-1,求的值以及的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数代入等式化简得到答案.‎ ‎（2），讨论和两种情况分别计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)由,得,‎ 所以,所以,‎ 故.‎ ‎(2).‎ ‎①当,即时,,得,‎ 此时的图象的对称轴为,.‎ ‎②当,即时,,得,无解.‎ 综上所述：,的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的解析式，函数的最值，意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ ‎21.已知圆C经过A（5，3），B（4，4）两点，且圆心在x轴上.‎ ‎（1）求圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l过点（5，2），且被圆C所截得的弦长为6，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可设圆的方程为，根据点在圆上可得关于的方程组，解出方程组即可得到圆的方程.‎ ‎（2）由直线截圆所得弦长结合垂径定理可得圆心到直线的距离为4，当直线斜率不存在时显然成立，当直线斜率存在时，可设为点斜式，根据点到直线的距离公式求出斜率即可.‎ ‎【详解】（1）因为圆心在x轴上，所以可设圆的方程为. ‎ 因为圆C经过A（5，3），B（4，4）两点，所以 解得，. ‎ 故圆C的标准方程是. ‎ ‎（2）因为直线l被圆C所截得的弦长为6，所以圆C的圆心到直线l的距离.‎ ‎①当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点，所以直线l的方程为，所以圆C的圆心到直线l的距离，符合题意； ‎ ‎②当直线l的斜率存在时，可设出直线l的方程为，‎ 即，‎ 则圆C的圆心到直线l的距离，解得， ‎ 故直线l的方程为. ‎ 综上，直线l的方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查了用待定系数法求圆的方程，通常用一般式计算要简单；另外圆与直线相交时，半径、弦长的一半和弦心距的关系，注意用到斜率考虑是否存在问题，属于中档题．‎ ‎22.已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎(1)证明:在上单调递增；‎ ‎(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用增函数定义证明；‎ ‎（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．‎ ‎【详解】（1）设，‎ 则 ‎，‎ ‎∵，∴，，∴，即，‎ ‎∴在上单调递增；‎ ‎（2）总存在，对任意都成立，即，‎ 最大值为，‎ 是偶函数，在是增函数，∴当时，，‎ ‎∴，整理得，，‎ ‎∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，‎ 如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，‎ 如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，‎ 如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于 ‎.（的范围均由题设确定）．‎