2019-2020学年甘肃省张掖市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年甘肃省张掖市第二中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ ‎ A．{0，1} B．{0，1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意．故选D．‎ ‎【考点】集合的运算．‎ ‎2．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 由题意得，‎ 所以 故选：A.‎ ‎3．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于A，B，C三个选项中函数定义域不同，只有D中定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，即可得到所求结论．‎ ‎【详解】‎ 对于A，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故不为同一函数；‎ 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不为同一函数；‎ 对于C，定义域为，的定义域为R，定义域不同，故不为同一函数；‎ 对于D，与定义域和对应法则完全相同，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同一函数的判断，注意运用只有定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，考查判断和运算能力，属于基础题．‎ ‎4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）‎ A．y=x﹣1 B．y=（）x C．y=x+ D．y=ln（x+1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据函数解析式得出判断单调区间，即可判断即可．‎ 解：①y=x﹣1在区间（0，+∞）上为减函数，‎ ‎②y=（）x是减函数，‎ ‎③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，‎ ‎④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，‎ ‎∴A，B，C不正确，D正确，‎ 故选：D ‎【考点】函数单调性的判断与证明；函数的单调性及单调区间．‎ ‎5．定义在上的函数，满足，则（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 故选A ‎6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.‎ ‎【详解】‎ 是奇函数， 时，．‎ 当时，，，得．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．‎ ‎7．已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求得时，的表达式，进而求解出不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 当时，．‎ 由得或，‎ 解得或，即．所以不等式的解集为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查分段函数不等式的解法，属于基础题.‎ ‎8．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据为幂函数，且在上是减函数列式，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于为幂函数且在区间上为减函数，故，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数为幂函数求参数，考查幂函数的单调性，属于基础题.‎ ‎9．函数的图象大致是（）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 因为2、4是函数的零点，所以排除B、C；‎ 因为时，所以排除D,故选A ‎10．设函数f （x）＝x－lnx （x＞0），则y＝f （x）（ ）‎ A．在区间（，1）、（1，e）内均有零点 B．在区间（，1）、（1，e）内均无零点 C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点 D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为，所以在区间（，1）内无零点，因为，所以在区间（1，e）内有零点，故选择D ‎【考点】函数零点存在性定理 ‎11．函数满足条件：‎ ‎①定义域为R，且对任意，;‎ ‎②对任意小于1的正实数，存在，使则可能是(    )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，对选项中的四个函数进行判断，得出符合条件的函数即可．‎ ‎【详解】‎ 对于A，y＝f（x）（x≠±1）不满足定义域为R，∴是不可能的函数；‎ 对于B，y＝f（x）（x∈R），对任意x∈R，f（x）＜1；‎ 且对任意小于1的正实数a，存在x0，使f（x0）＝f（﹣x0）＞a，∴是可能的函数；‎ 对于C，y＝f（x），不满足f（x）＝f（﹣x），∴是不可能的函数；‎ 对于D，y＝f（x），当x＝0时，f（0）＝1，不满足x∈R时f（x）＜1，∴是不可能的函数．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义与性质的应用问题，属于新定义的函数的应用问题，是易错题目．‎ ‎12．函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程有两个零点的实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据为奇函数判断出函数的图像关于点对称.求得时的表达式，根据二次函数的图像与性质画出的图像，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为为奇函数，可得，即，‎ 故函数的图像关于点对称，所以，当时，有，‎ 又当时，，函数的最小值为；‎ 所以当时，，函数的最大值为2；‎ 由题意知函数与的图像有两个交点，‎ 所以或.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性和对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．设集合，，则满足的实数的值所组成的集合为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先化简集合，因为，对和分别讨论，得到的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ 当时，，，符合题意.‎ 当时，，因为，‎ 所以或，解得：，或.‎ 综上：，或，或.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合间的子集关系，解本题时，容易忽略对空集的讨论，属于简单题.‎ ‎14．（2015秋•凉山州期末）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：利用函数的定义域是自变量的取值范围，同一法则f对括号的范围要求一致；先求出f（x）的定义域；再求出f（2x﹣1）的定义域．‎ 解：∵y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，‎ ‎∴﹣1≤x+1≤4，‎ ‎∴f（x）的定义域是[﹣1，4]，‎ 令﹣1≤2x﹣1≤4，‎ 解得0≤x≤，‎ 故答案为：．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎15．函数的单调增区间是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得函数的定义域，根据复合函数单调性同增异减，求得函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 解得或．定义域为．‎ 外层函数单调递减，由复合函数“同增异减”知当内层函数单调递减时复合函数单调递增．即单增区间为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数定义域的求法，考查复合函数单调区间的求法，属于基础题.‎ ‎16．已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】试题分析：由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：‎ ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，，，全集为实数集．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）如果，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），或 ‎ （2）‎ ‎【解析】（1）根据并集、交集和补集的概念和运算，求得，.‎ ‎（2）利用图像，结合，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 ，，‎ 所以，‎ 或．‎ 或 ‎（2）如图，‎ 由图知，当时，‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查集合交集、并集和补集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎18．计算下列各式的值 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）1 （2） -45‎ ‎【解析】（1）利用对数运算公式化简所求表达式.‎ ‎（2）利用指数运算公式化简所求表达式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数运算、对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19．已知,函数.‎ ‎(1)当时,写出函数的单调递增区间；‎ ‎(2)当时,求函数在区间上的最小值.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎(1)把函数解析式写成分段函数解析式的形式,画出函数图象,然后根据图象写出函数的单调递增区间；‎ ‎(2) 把函数解析式写成分段函数解析式的形式, 然后写出函数的单调区间,再根据这一条件,分类讨论求出函数在区间上的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 当时,,图象如下图所示：‎ 由图象可知：函数的单调递增区间是：‎ ‎(2) ,因为,所以根据(1)可以画出函数的大致图象,如下图所示：‎ 通过图象可知：当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,‎ ‎.‎ 当时,即时, ；‎ 当时,即时,.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的单调性,考查了分段函数的最值,考查了数学运算能力和数形结合思想.‎ ‎20．（本小题满分15分）已知函数，.‎ ‎（1）用定义证明：不论为何实数在上为增函数；‎ ‎（2）若为奇函数，求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求在区间[1，5]上的最小值.‎ ‎【答案】解: (1)的定义域为R, 任取,‎ 则=.‎ ‎,∴.‎ ‎∴，即.‎ 所以不论为何实数总为增函数.‎ ‎(2).‎ ‎(3)在区间上的最小值为.‎ ‎【解析】解: (1)的定义域为R, 任取,‎ 则=.‎ ‎,∴.‎ ‎∴，即.‎ 所以不论为何实数总为增函数. ———————————4分 ‎(2)在上为奇函数,‎ ‎∴,即.‎ 解得. —————————————————————8分 ‎(3)由(2)知，,‎ 由(1) 知，为增函数,‎ ‎∴在区间上的最小值为.‎ ‎∵，‎ ‎∴在区间上的最小值为. —————————————12分 ‎21．已知函数 若，求的单调区间；‎ 是否存在实数a，使的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（I）单调增区间为，单调减区间为；（II）存在实数，使的最小值为0.‎ ‎【解析】根据代入函数表达式，解出，再代入原函数得，求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数的单调区间；先假设存在实数a，使 的最小值为0，根据函数表达式可得真数恒成立，且真数t的最小值恰好是1，再结合二次函数的性质，可列出式子：，由此解出，从而得到存在a的值，使的最小值为0．‎ ‎【详解】‎ 且，‎ 可得函数 真数为 函数定义域为 令 可得：当时，t为关于x的增函数；‎ 当时，t为关于x的减函数．‎ 底数为 函数的单调增区间为，单调减区间为 设存在实数a，使的最小值为0，‎ 由于底数为，可得真数恒成立，‎ 且真数t的最小值恰好是1，‎ 即a为正数，且当时，t值为1．‎ 因此存在实数，使的最小值为0．‎ ‎【点睛】‎ 本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．‎ ‎22．已知定义在区间上的函数满足：，恒有，且当时，．‎ ‎（1）证明：函数在区间上为单调递减函数．‎ ‎（2）若，解不等式．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】（1）任取，结合已知条件，通过计算证明，由此证得在区间上为单调递减函数.‎ ‎（2）首先求得，即，根据（1）中求得的单调性，化简求得的解集.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，‎ 则，‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 所以在区间上为单调递减函数．‎ ‎（2）因为 ，‎ 所以，‎ 而，‎ 所以．‎ 因为，‎ 即，‎ 由（1）得，即，所以．‎ 故不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抽象函数单调性的证明，考查利用函数的单调性解不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎