甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 14页

合作一中2019-2020学年第一学期期中考试高二文科数学试卷 第一部分:客观题 一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分） ‎ ‎1.数列的一个通项公式为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以对题目给出的四个选项进行分析，依次计算出四个选项所给出的通项公式的前四项的数值并与题意进行对比，即可得出结果．‎ ‎【详解】A项的前四项为，与题意不符；‎ B项的前四项为，与题意相符；‎ C项的前四项为，与题意不符；‎ D项的前四项为，与题意不符；综上所述，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查的是数列通项公式的相关性质，考查了推理能力，考查了对通项公式的理解与应用．当判断通项公式是否满足题意时，可以直接通过取值的办法来判断．‎ ‎2.在中，已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出角，利用正弦定理可解.‎ ‎【详解】 , ‎ 由正弦定理得： ‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理. 利用正弦定理可以解决的两类问题：‎ ‎(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．‎ ‎(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况．‎ ‎3.等差数列中，，，则等于（ ）‎ A. 3 B. －‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用等差数列性质可解.‎ ‎【详解】，又＝12‎ ‎ ‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质.‎ 为等差数列，若，则 ．‎ ‎4.设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为(　　)‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 23‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作可行域，再结合图象确定最优解，解得结果.‎ ‎【详解】先作可行域，则直线过点A(2,1)时取最小值7，选B.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求最值问题，考查基本分析求解能力，属基本题.‎ ‎5.已知数列的通项公式为＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　)‎ A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 非任何一项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，解出正整数n即为数列的第几项.‎ ‎【详解】由题意，令，解得或（舍），即为数列的第7项.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项公式的应用，熟练掌握数列的基本性质，n为数列的项数.‎ ‎6.已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（ a+b+c）=ab，则∠C的大小为（ ）‎ A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得c2=a2+b2+ab，由余弦定理可得，cosC==-,可求C的值．‎ ‎【详解】∵（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，‎ ‎∴c2=a2+b2+ab，‎ 由余弦定理可得，cosC===-=-，‎ ‎∵0°＜C＜180°，‎ ‎∴C=120°，‎ 故选C．‎ ‎7.已知在中，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用正弦定理得再利用余弦定理可以求解.‎ ‎【详解】，由正弦定理得 ，‎ 由余弦定理知, ‎ ‎ .‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查正弦、余弦定理. ‎ 熟练运用正弦、余弦定理及变形是解题的关键.‎ 正弦定理常见变形： 、 、 ‎ ‎8.已知数列满足，则使其前n项和取最大值的n的值为（ ）‎ A. 11或12 B. ‎12 ‎C. 13 D. 12或13‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列前项和公式求出,再利用二次函数性质求最大值.‎ ‎【详解】, 数列是首项 公差的等差数列，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 或时取最大值 故选：D ‎【点睛】本题考查解决等差数列前项和最值.‎ 求等差数列前项和最值的方法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．‎ ‎9.已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ 　）‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解：因为成等比数列，所以，且曲线的顶点是，即为（1,2），b=1,c=2,则ad=2,选B ‎10.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分母不等于0，且被开方式大于或等于0，得求解 ‎【详解】要有意义，则， ‎ 函数的定义域为 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域.常见基本初等函数定义域的基本要求 ‎(1)分式函数中分母不等于零．‎ ‎(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于.‎ ‎(3)一次函数、二次函数的定义域均为.‎ ‎(4)的定义域是．‎ ‎(5)且，定义域均为.‎ ‎(6)且的定义域为．‎ ‎11.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为‎50 m/min，则该扇形的半径为（ ）‎ A. ‎50 m B. ‎45 m C. m D. ‎‎47 m ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的长度，由得度数，用余弦定理解三角形可得.‎ ‎【详解】由题知，，‎ ‎ ， ‎ ‎,‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎ ‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理在平面几何中的应用.‎ ‎ 解决这类问题要抓住平面图形的几何性质，把所提供的平面图形拆分成三角形，然后在三角形内利用正弦、余弦定理求解.‎ ‎12.若，则（ ）‎ A. << B. <<‎ C. << D. <<‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．‎ 解：因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增，‎ 故当x∈（e-1，1）时，a∈（-1，0），‎ 于是b-a=2lnx-lnx=lnx＜0，从而b＜a．‎ 又a-c=lnx-ln3x=a（1+a）（1-a）＜0，从而a＜c．‎ 综上所述，b＜a＜c．‎ 故选C 第二部分:主观题 二、填空题(共5小题，每小题5分，共20分） ‎ ‎13.设x，y都是正数且，的最小值是________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把与所求相乘，构造和的形式用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】, ‎ 当且仅当即 时，的最小值是 ‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查通过常数代换法利用基本不等式求最值. 常数代换法利用基本不等式求最值的基本步骤为：‎ ‎(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；‎ ‎(2)把确定的定值(常数)变形为1；‎ ‎(3)把“‎1”‎的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；‎ ‎(4)利用基本不等式求解最值．‎ ‎14.在△ABC中，若a＝，cosC＝，S△ABC＝，则b＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由cosC=，‎ 得sinC=，‎ 所以S△ABC=absinC=××b×=4，‎ 所以b=.‎ ‎15.已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知得，，再由余弦定理求解 详解】由题意可知，，，，.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16.不等式x2－2x＋3≤a2－‎2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】(－1,3)‎ ‎【解析】‎ 由题意得 ‎ 三、解答题(共6小题，共70分） ‎ ‎17.解下列不等式：‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）不等式左边因式分解可得.‎ ‎（2）分式不等式等价变形可得.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎ ‎ 或 不等式解集为 ‎（2），不等式等价变形 ‎，不等式解集为 ‎【点睛】分式不等式可以等价变形为整式不等式，不等式有或时要注意补充其等价性的分母不等于零条件.‎ ‎18.等比数列中，已知,.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若、分别为等差数列的第3项和第15项，试求数列的通项公式及前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求等比数列基本量公比，再求通项公式.‎ ‎（2）求出的值，再利用等差数列通项公式及前项和公式求解.‎ ‎【详解】（1）, 因为是等比数列 ‎ ，，‎ ‎（2）由已知 ‎ 又是等差数列，所以公差，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查等差等比数列通项公式及等差数列前项和.‎ ‎（1）等比数列基本量涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．‎ ‎（2）等差数列的性质：‎ 通项公式的推广．‎ 若为等差数列，且，则 ‎19.已知在中，角的对边分别为 ， ，求和.‎ ‎【答案】，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理求；利用三角形内角和定理求；用求 ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴.‎ B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】熟练运用正弦定理及变形是解题的关键.‎ 正弦定理常见变形： 、 、 ‎ ‎ 、‎ ‎20.已知等差数列满足：，．的前n项和为．‎ ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得 解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，‎ 解得，所以，.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即数列的前项和.‎ 考点：等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和 ‎21.设的内角所对边分别为，且有 ‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，为中点，求的长．‎ ‎【答案】（1）A＝；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对等式右边使用正弦两角和公式，化简可得；‎ ‎（2）用余弦定理求出,利用已知数据得,在直角三角形中利用勾股定理求解.‎ ‎【详解】解（1）由题设知，‎ 因为，所以 由于，故 ‎（2）因为，‎ 所以，所以.‎ 因为为中点，所以 所以 ‎【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.‎ 其求解思路：(1)‎ 把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；‎ ‎(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．‎ ‎22.已知构成一个等差数列，其前n项和为，设，记的前n项和为 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明： .‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.‎ ‎（2）代入，求出，利用错位相减法求和，根据结果证明结论成立.‎ ‎【详解】（1）解　，‎ 当时，；‎ 由于时符合公式，∴.‎ ‎（2）证明：，① ‎ ‎ ‎ ‎，②‎ ‎①－②，得 ‎，‎ ‎【点睛】本题考查利用与的关系求通项及错位相减法求和. ‎ 已知求的三个步骤:(1)先利用求出.(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．(3)对 时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．　‎ 错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎