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- 2021-06-15 发布
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陕西省西安市八校 2020 届高三上学期
期末考试数学(文)试卷
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1.已知集合 { N | 4}A x x , { | 3 3}B x x ,则 A B ()
A.{1,2}B.{0,1,2}C.{ 3, 4} D.{ 3,3}
2.设复数满足 2 5z i ,则在复平面内 z对应的点在()
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
3.命题“任意 0x , 1 1x x
”的否定是( )
A.存在 0 0x , 0
0
1 1x x
B.存在 0 0x , 0
0
1 1x x
C.任意 0x , 1 1x x
D.任意 0x , 1 1x x
4.总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个
体,选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字,则
选出来的第 5 个个体的编号为()
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B.07 C.02 D.01
5.若直线 2 2 0( 0, 0)ax by a b ,被圆 2 2 2 4 1 0x y x y 截得弦长为 4,则
4 1
a b
的最小值是( ).
A.9 B.4 C. 1
2 D. 1
4
6.若函数 , 1( )
(3 ) 1, 1
xa xf x
a x x
满足: 1 2,x x R ,且 1 2x x 都有
1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x ,则实数的取值范围是( )
A.(1,2] B.[2, 3) C. (2,3) D.(1,3)
7.一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径,则圆柱的全面积与球的表面积之比为
( )
A. 2 :1 B. 4:3 C.3:2 D.1:1
8.数列{an}满足 a1=1,对任意 n∈N*都有 an+1=an+n+1,则
1 2 2019
1 1 1
a a a
=( )
A. 2020
2019 B. 2019
1010 C. 2017
1010 D. 4037
2020
9.函数 1lnf x x x
的图象大致是( )
10.向量 (1, 1)OA ,| | | |OA OB , 1OA OB ,则向量 O A
与OB OA 的夹角为( )
A.
6
B.
3
C. 2
3
D. 5
6
11.执行如右的程序框图,则输出的 S 是()
A.36B. 45
C. 36 D. 45
12.已知函数 ( )( )f x x R 满足 (1) 1f ,且 ( ) 1f x ,则不等式 2 2lg lgf x x 的解集
为( )
A. 10,10
B. C. 1 ,1010
D. 10,
第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将正确答案填写在答题纸相应
位置.)
13.若 na 是等比数列,且公比 4q , 1 2 3 21a a a ,则 na ________.
14.已知实数、满足条件则的最大值为________.
15.已知在 ABC 中,角 A , B ,C 的对边分别为,b,c, π
3A , 2b , ABC 的
面积等于 2 3,则 ABC 外接圆的面积为________.
16.双曲线 C:
2 2
2 2
x y
a b
1(a>0,b>0)的左右焦点为 F1,F2(|F1F2|=2c),以坐标原点
O 为圆心,以 c 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一个交点为 P,若三角形 F1PF2 的面积为
a2,则 C 的离心率为________.
三、解答题:(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(一)必考题:共 60 分.
17.(12 分)已知函数 1( ) (sin sin ),2f x x x x R
(1)求函数 ( )f x 的最小正周期 T 和单调递增区间;
(2)若 0,x ,且关于 x 的函数 2( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1g x f x f x a 的最小值为 1
2
,求
的值.
18.(12 分)某校高一举行了一次数学竞赛,为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取
了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100)作为样本(样本容量为n)进行统计,按
照 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 的分组作出频率分布直方图,已
知得分在 50,60 , 90,100 的频数分别为 8,2.
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的 x,y 的值;
(2)估计本次竞赛学生成绩的中位数;
(3)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生,
求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 90,100 内的概率.
19.(12 分)在如图所示的多面体中,四边形 ABCD 是平行四边形,四边形 BDEF 是矩形.
(1)求证: / /AE 平面 BFC ;
(2)若 AD DE , 1AD DE , 2AB , 60BAD ,求三棱锥 F AEC 的体积.
20.(12 分)设 O 为坐标原点,椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的焦距为 4 5 ,离心率为 2 5
5
,
直线 : ( 0)l y kx m m 与 C 交于 A , B 两点.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设点 (0,1) 4P PA PB , ,求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.
21.(12 分)已知函数 21( ) ln 1( )2f x x a x a R .
(1)讨论函数 ( )f x 的单调性;
(2)若 2 0a < ,对任意 1 2, 1,2x x ,不等式 1 2
1 2
1 1( ) ( )f x f x m x x
恒成立,求
实数 m的取值范围.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第
一题计分.
22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
3cos
3sin
x
y
( 为参数),在以原点
为极点, x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 2sin 4 2
.
(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;
(2)设点 1,0P ,直线 l 和曲线 C 交于 ,A B 两点,求| | | |PA PB 的值.
23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】
已知函数 3 1 3 , 4f x x x k g x x .
(1)当 3k 时,求不等式 4f x 的解集;
(2)设 1k ,且当 1[ , )3 3
kx 时,都有 f x g x ,求k的取值范围.
一. 选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B D A B C B C D A B
二.填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13. 14 n 14. 1 15. 4 16. 2
三.解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分.)
17. 解:解:(1) 1( ) (sin | sin |)2f x x x
sin ,sin 0 sin , 2 2 ,0,sin 0 0, 2 2 2
x x x k x k k Zx k x k
则函数 f x 的周期 T 2 ; 函数 f x 的增区间 2 , 2 ( )2k k k Z ………6
分
( 2 ) 2( ) 2 sin 2 sin (2 1)g x x x a , 令 sinx t 可 得 0,1t 换 元 可 得
22 2 (2 1)y t t a ,对称轴为 1
2t 3 1(2 ) , 1.2 2a a ……………12 分
18.解:(1)由题意可知,样本容量 n= 8
0.016 10 =50,
,x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030; ………………4 分
(2)设本次竞赛学生成绩的中位数为 m,平均分为 x ,
则[0.016+0.03]×10+(m﹣70)×0.040 =0.5,解得 71m , ………………8 分
(3)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5,
分数在[90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2.抽取的 2 名学生的所有情况有
21 种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),
(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),
(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).
其中 2 名同学的分数都不在[90,100]内的情况有 10 种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,
数学(文科)试题答案
a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5).
∴所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率 10 111 21 21p . …………12
分
19. 解:(1) 四边形 ABCD 为平行四边形 / /AD BC
又 AD平面 BCF , BC 平面 BCF / /AD 平面 BCF
四边形 BDEF 为矩形 / /DE BF 又 DE 平面 BCF , BF 平面 BCF
/ /DE 平面 BCF ,AD DE 平面 ADE , AD DE D
平面 / /ADE 平面 BCF 又 AE平面 ADE / /AE 平面 BFC ……………6 分
(2)设 AC BD O ,连接 ,OE OF
四边形 ABCD 为平行四边形 O 为 AC 中点
2 2F A E C C A E F O A E F A O E FV V V V
在 ABD 中,由余弦定理得: 2 2 2 2 cos 4 1 2 3BD AB AD AD AB BAD
3B D 2 2 2AB AD BD AD BD
又 AD DE , ,BD DE 平面 BDEF , BD DE D AD 平面 BDEF
点 A 到平面 OEF 的距离为 AD
1 1 3
2 2 2OEF BDEFS S BD DE , 1AD
1 2 3 32 2 13 3 2 3F AEC A OEF OEFV V S AD ……………………12 分
20. 解:(1) 2 4 5 2 5c c 因为 2 5
5
ce a
,则 5a
故 5b ,所以椭圆 C 的方程为
2 2
125 5
x y ………………………4 分
( 2 ) 设 1 1,A x y , 2 2,B x y , 联 立 2 2
125 5
y kx m
x y
, 消 去 y 整 理 可 得
2 2 21 5 10 5 25 0k x mkx m 所以 , 1 2 2
10
1 5
kmx x k
,
2
1 2 2
5 25
1 5
mx x k
所以 1 2 1 2 2
22 1 5
my y k x x m k
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x km x x m
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
5 25 10 5 25
1 5 1 5
k m k k m m k m k m
k k
因为 (0,1)P , 4PA PB 所以 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2, 1 , 1 1 4x y x y x x y y y y
所以
2 2 2
2 2 2
5 25 25 2 5 01 5 1 5 1 5
m k m m
k k k
整理可得 23 10 0m m 解得 2m 或 5
3m (舍去)所以直线 l 过定点 (0, 2) ………12
分
21.解:(1)∵依题意可知:函数 ( )f x 的定义域为 0, ,∴
2
( ) a x af x x x x
,
当 0a 时, ( ) 0f x 在 0, 恒成立,所以 ( )f x 在 0, 上单调递增.
当 0a 时,由 ( ) 0f x 得 x a ;由 ( ) 0f x 得 0 x a ;
综上可得当 0a 时, ( )f x 在 0, 上单调递增;
当 0a 时, ( )f x 在 0, a 上单调递减;在 ,a 上单调递增.………………6 分
(2)因为 2 0a ,由(1)知,函数 ( )f x 在 1, 2 上单调递增,
不妨设 1 21 2x x ,则 1 2
1 2
1 1( ) ( )f x f x m x x
,可化为 2 1
2 1
( ) ( )m mf x f xx x
,
设 21( ) ( ) ln 12
m mh x f x x a xx x
,则 1 2( ) ( )h x h x ,所以 ( )h x 为 1, 2 上的减函
数,
即 2( ) 0a mh x x x x
在 1, 2 上恒成立,等价于 3m x ax 在 1, 2 上恒成立,
设 3( )g x x ax ,所以 m ax( )m g x ,
因 2 0a < ,所以 2( ) 3 0> g x x a ,所以函数 ( )g x 在 1, 2 上是增函数,
所以 m ax( ) (2) 8 2 12g x g a (当且仅当 2a 时等号成立)所以 12m .………12
分
22.解:(1)因为曲线 C 的参数方程为
3cos
3sin
x
y
( 为参数),
所以曲线 C 的普通方程为
2 2
19 3
x y .因为 2sin 4 2
,
所以 sin cos 1, 1 0x y .所以直线 l 的直角坐标方程为 1 0x y .…5 分
(2)由题得点 1,0P 在直线 l 上,直线 l 的参数方程为
21 2
2
2
x t
y t
,
代入椭圆的方程得 22 2 8 0t t ,所以 1 2 1 2
2+ , 4 02t t t t ,
所以 2
1 2 1 2 1 2
66|PA|+|PB|=| | ( ) 4 2t t t t t t .…………………10 分
23.解:(1)当 3k 时,
16 4, 3
12 13
6 4, 1
x x
f x x
x x
,
故不等式 4f x 可化为: 1
6 4 4
x
x
或
1 13
2 4
x
或
1
3
6 4 4
x
x
,
解得: 0x 或 4
3x , 所求解集为{ | 0x x 或 4}3x .…………5 分
(2)(2)当 1,3 3
kx
时,由 1k 有: 3 1 0,3 0x x k 1f x k 。
不等式 f x g x 可变形为:1 4k x
故 3k x 对 1,3 3
kx
恒成立,即 33
kk ,解得 9
4k
而 1k ,故 91 4k . k的取值范围是 91, 4
.……………………10 分