【数学】广东省揭阳市揭西县河婆中学2020届高三下学期第一次月考（文） 11页

广东省揭阳市揭西县河婆中学2020届 高三下学期第一次月考（文）‎ 第一部分 选择题（共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 ‎ C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2．已知集合，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知等差数列的前项和为， ， ，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 某市在今年二月份抗击新冠肺炎阻击战中，有志愿者甲、乙、丙、丁 4人，俩人分成一组，进行测量体温，街道喷药消毒，搬运物资等等工作，则甲、乙志愿者不在同一组的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．函数的部分图象大致是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．若向量，满足，且，则向量，的夹角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎7.已知， ， ，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知抛物线的焦点为，准线为，该抛物线上的点到轴的距离为5，且，则焦点到准线的距离是（ ）‎ A. 2 B. ‎5 C. 4 D. 14‎ ‎9.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2014 年到 2019 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2014 年编号为 1，2015 年编号为 2，…，2019年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是( )‎ ‎①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ‎ ‎②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ‎ ‎③可预测 2020 年公共图书馆业机构数约为3192个。‎ A. ‎0 B. 1 ‎ C. 2 D. 3‎ ‎10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )‎ A. ‎ B. ‎ A. C. D. ‎ ‎11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为,若将军从点A（3,0)处出发，河岸线所在直线方程为,并假定将军 只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在上的单调性相同时，实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 第二部分 非选择题（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卡的相应位置上.‎ ‎13.已知函数， .‎ ‎14.已知的内角的对边分别为,,，‎ 且，则角 . ‎ ‎15.已知是球表面上的点，平面，,,则球的表面积等于______________．‎ ‎16.已知椭圆C：，F1，F2为其左右焦点，，B为短轴的一个端点，三角形(O为坐标原点)的面积为，则椭圆的长轴长为______________．‎ 三、 解答题：满分70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.(本小题满分12分) 在等比数列中，，.‎ ‎（1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和.‎ ‎18.(本小题满分12分) 如图所示，在梯形中，∥，⊥，， ⊥平面，⊥．‎ ‎（1）证明：⊥平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离．‎ ‎19.(本小题满分12分) ‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB的面积的最大值.‎ ‎20.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示．‎ ‎ (1)利用散点图判断和（其中均为大于的常数）哪一个更适合作为年销售量和年研发费用的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎(2)对数据作出如下处理，令，得到相关统计量的值如下表：根据第(1)问的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；‎ ‎ ‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎28.25‎ ‎56.5‎ ‎(3)已知企业年利润（单位：千万元）与的关系为（其中），根据第(2)问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，,‎ 且不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分. 请考生从给出的第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．(本小题满分10分) 选修4-4；坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，‎ 曲线，曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知曲线与轴交于两点，为曲线上任一点，‎ 求的最小值.‎ ‎23．(本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲 已知函数的单调递增区间为.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：.‎ 参考答案 ‎ 一．1---12: CCBDB BCCDA BB ‎ ‎9.【解析】根据和确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2020年公共图书馆业机构数.‎ ‎【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，‎ 又趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；‎ 由回归方程，当时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.故选：D.‎ ‎【点睛】回归直线方程中的的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数决定了相关性的强弱，越接近相关性越强.‎ ‎10.【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，扇形的面积公式有，又，解得 二． 13. 6 14. 15. 16. 8‎ ‎15.【解析】：由题意，得，又平面，，，所以球的直径为，所以，所以该球表面积为．‎ 三．解答题：‎ 16． ‎【解】（1）因为，，所以，‎ ‎----------------2分 所以 - ---------------4分 故的通项公式为. ----------------6分 ‎（2）由（1）可得，----------------7分 则，①‎ ‎，②‎ ‎①-②得 --11分 故 .----------------12分 ‎18.【详解】（1）证明：∵⊥平面，平面， ∴⊥. ----------2分 又⊥， ，平面，‎ 平面，∴⊥平面. ----------------5分 ‎（2）由已知得，所以 ---------------6分 ‎ 且由（1）可知，由勾股定理得 ----------------7分 ‎∵平面 ∴=， ----------------9分 且 ∴，‎ 由， 得 ∴ ----------------11分 即点到平面的距离为 ----------------12分 ‎19.解　(1)因为e2＝＝＝，所以a2＝4b2.----------------1分 又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，‎ 所以＋＝1.所以a2＝8，b2＝2.----------------3分 故所求椭圆方程为＋＝1.----------------4分 ‎（2）设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，----------------5分 联立消去y整理，得x2＋2mx＋‎2m2‎－4＝0.----------------6分 所以x1＋x2＝－‎2m，x1x2＝‎2m2‎－4.----------------7分 又直线l与椭圆相交，所以Δ＝‎4m2‎－‎8m2‎＋16>0，解得|m|<2.----------------8分 则|AB|＝×＝.----------------9分 点P到直线l的距离d＝＝.----------------10分 所以S△PAB＝d|AB|＝××＝≤＝2.‎ 当且仅当m2＝2，即m＝±时，△PAB的面积取得最大值为2.----------------12分 ‎20【详解】（1）由散点图知，选择更合适.----------------2分 ‎（2）对两边取对数，得，即：----------------4分 由表中数据得 ----------------5分 令，则，即----------------6分 年销售和年研发费用的回归方程为：----------------8分 ‎（3）由（2）知，，则----------------9分 令，得当时，；当时，‎ 在上单调递增；在上单调递减----------------10分 当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为：千万元亿元 要使年利润取最大值，预计下一年应投入千万元的研发费用----------------12分 ‎21．（1）因为，所以， …………1分 所以，又，‎ 故所求的切线方程为，即 …………4分 ‎（2）因为 所以， …………5分 由题意有两个不同的正根，即有两个不同的正根，‎ 则， …………7分 不等式恒成立等价于 恒成立…………8分 又 ‎ ‎ ‎ 所以…………10分 令（），则，‎ 所以在上单调递减， …………11分 所以，所以 …………12分 ‎22. 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以曲线的直角坐标方程为-----------------2分 因为----------------4分 ‎ 所以曲线的直角坐标方程为------------------------5分 ‎（Ⅱ）因为曲线与轴交于两点------------6分 点关于直线的对称点为-------------8分 ‎ 所以 ‎ ‎ 所以的最小值为----------------------------------10分 ‎23. 解：（Ⅰ）依题意得---------1分 所以不等式化为 ‎ 当时，原不等式化为，，得------2分 ‎ 当时，原不等式化为，，得-----3分 ‎ 当时，原不等式化为，，得------------4分 ‎ 所以，不等式的解集----------5分 ‎（Ⅱ）要证明，只需证明 ‎ 即要证明--------------------------------------6分 因为，所以---------------8分 因为--------9分 ‎ 所以 ， 即得证 --------------10分