【数学】2019届一轮复习人教A版 平面向量 学案 19页

专题九 平面向量 【高考考场实情】 平面向量是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一。高考对这部分的考查常以 选择、填空的形式出现，也常与解析几何交汇，题型较稳定，属中档题。平面向量既有代数 形式又有几何形式，作为工具的应用，它给平面解析几何奠定了必要的基础。 【考查重点难点】 平面向量在高考中主要包含以下几个考点：1）在平面几何图形中主要考查向量加法的平行 四边形法则及加减法的三角形法则；2）对共线向量定理的应用，主要考查应用向量的坐标 运算求向量的模；3）应用平面向量基本定理进行向量的线性运算；4）应用向量的垂直与共 线条件，求解参数；5）对平面向量数量积的运算、化简，向量平行与垂直的充要条件的应 用，并以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用性问题，常与三角函数、解析几何等相 结合。另外，空间向量是平面向量的延伸，本文主要研究平面向量，下面我将对学生存在的 主要问题进行剖析，并提出相应的学习对策。 【存在问题分析】 问题（一）. 不能准确理解向量的相关概念 【指点迷津】概念不清主要表现在向量的概念，平行向量、单位向量的概念；向量夹角的概 念等。 例 1 向量 ，则与 平行的单位向量的坐标为 【名师点睛】本题主要考查两个重要知识点，即平行向量和单位向量的概念，因混淆了“与 同 向 的 单 位 向 量 ” 和 “ 与 平 行 的 单 位 向 量 ” 这 两 个 不 同 的 概 念 ， 出 现 错 解 ： 因 为 故所求向量为 ，在复习时，只有深刻理解平行 向量和单位向量的概念，才能达到正确解题的目的。 ( 3,4)a = − a a a 2( 3) 4 5a = − + = 1 3 4( 3,4) ( , )5 5 5 a a = − = −   例 2 在边长为 1 的正三角形 中， 【解析】 【名师点睛】本题主要考查向量夹角的定义及数量积的计算公式，学生易错解如下： ．这是由于对两向量夹角的概念理解不到位造成的，所以教学时必须强调 两向量夹角的前提是其起点要重合。 问题（二）运算理解不到位，不能合理选择算法 【名师点睛】学生存在的主要问题是：（1）对向量运算理解不到位，比如会错把数的乘法 的消去律运用在向量的数量积运算上；（2）算法选择不合理，学生往往选择常规解法，导 致过繁运算，计算量过大，甚至无法解答下去。只有熟练掌握向量的运算技巧，根据题设条 件合理选择算法，才能达到正确运算的目的。 例 3 已知 与 之间有关系 其中 。 （1）用 表示 ;（2）求 的最小值，并求此时 的夹角的大小． （2） , 即 ∴ 的最小值为 ， ABC AB BC BC CA CA AB⋅ + ⋅ + ⋅ =      AB BC BC CA CA AB⋅ + ⋅ + ⋅ =      cos120 cos120 cos120AB BC BC CA CA AB= °+ °+ °      1 1 1 3 2 2 2 2 = − − − = − AB BC BC CA CA AB⋅ + ⋅ + ⋅ =      cos60 cos60 cos60AB BC BC CA CA AB= + +        1 1 1 3 2 2 2 2 = + + = ( ) ( )cos ,sin , cos ,sin ,a bα α β β= =  a b 3 ,ka b a kb+ = −   0>k k a b⋅  a b⋅  a b⋅  kk 212 ≥+ 2 1 4 2 4 12 =≥+ k k k k a b⋅  2 1 又 , 　 ∴ .∴ , 此时 与 的夹角为 60° 【名师点睛】本题主要考查向量的数量积公式、向量的模以及将向量问题转化为实数计算的 意识，学生可能会把 直接坐标化，导致过繁运算，实际还是归结为运算不注 意算理的选择．在解决问题时，只有熟练掌握向量的运算技巧，根据题设条件选择合理的算 法，才能达到正确运算的目的。 例 4 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点,动点 满足 ，则 的轨迹一定通过 的 心． 【名师点睛】本题主要考查向量运算的几何意义及向量共线定理．本题学生产生的错因是对 理解不够。不清楚 的几何意义是 与 的角平分线有关． 的几何意义是与 共线同向的单位向量，因此掌握向 量运算的几何意义及向量共线定理是关键． 问题（三）. 不能等价转换向量问题 【指点迷津】 学生主要问题体现在：题设条件问题转换不等价，在平时复习中，关注学 生对相关概念、定理、公式等的本质的挖掘与掌握至关重要。 例 5 设 若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围为 【解析】 ，因为 为钝角，所以 且 与 不共线， 即 且 ，所以 且 ． 【 名 师 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 向 量 的 夹 角 公 式 ， 学 生 易 错 解 如 下 ： cosa b a b θ⋅ = ⋅ ⋅    1a b= =  1 1 1 cos2 θ= × × 60oθ = a b ,ka b a kb+ −   O , ,A B C P ( ), | | | | AB ACOP OA AB AC λ= + +      [0, )λ ∈ +∞ P ABC∆ ),0[), |||| ( +∞∈++= λλ AC AC AB ABOAOP || AB AB || AC AC+ BAC∠ || AB AB AB ( ) ( )3 2 1a x, ,b , ,= = −  a b x 2 2 3cos | || | 9 5 a b x a b x θ ⋅ −= = + ×     θ 0cos <θ a b 032 <−x 3 2x− ≠ × 3 2x < 6x ≠ − ，因为 为钝角，所以 ．这是由于问题转换不等 价造成的，其实向量 与 的夹角为钝角的充要条件是 且 与 不共线．这里， 与 不共线不能忽略． 例 6 向量 、 都是非零向量，且向量 与 垂直， 与 垂 直，求 与 的夹角． 【名师点睛】本题主要考查向量的垂直，向量的数量积及夹角公式，本题易出现下列错解： 由题意，得 ，①　 ，②　将①、②展开并相 减，得 ，③　∵ ，故 ，④　将④代入②，得 ，　则 ， 设 与 夹角为 ，则 ． 又∵ ， ∴ ． 此解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由③得到④，错把数的乘法的消 去律运用在向量的数量积运算上．深刻理解数量积的运算律，掌握其本质非常关键。学 8 问题（四）. 不能合理选择基底 【指点迷津】学生主要问题体现在：不能合理选择基底解决问题，原因是学生对于平面向量 基本定理并没有真正理解，所以在复习中，深刻理解平面向量基本定理，让学生真正掌握定 理的本质及解决问题的技巧是关键。 例 7 在 中， ，若点 D 满足 ,则 =（ ） A. B. C. D. 2 2 3cos | || | 9 5 a b x a b x θ ⋅ −= = + ×     θ 0cos <θ a b a b⋅ 0  < a b a b a b 3a b+  7 5a b−  4a b−  7 2a b−  a b ( ) ( )3 7 5 0a b a b+ ⋅ − =   ( ) ( )4 7 2 0a b a b− ⋅ − =   246 23a b b⋅ =   0b ≠ 1 2a b=  2 2 a b=  a b=  a b θ 2 2 1 12cos 2 ba b a b b θ ⋅= = = ⋅      0 θ≤ ≤180  60θ =  ABC∆ ,AB c AC b= =    2BD DC=  AD 2 1 3 3b c+  2 5 3 3b c− +  2 1 3 3b c−  1 2 3 3b c+  【解析】法 1： = .故选 A. 法 2：特殊化思想：把此三角形特殊为等腰直角三角形，并把点 置于原点 ， 且设 , 则 ，所以 ,故选 A. 法 3：因为 ，由定比分点线性表示知 ,故选 A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念及线性表示，用几个基本向量表示某个向量问题 的基本技巧：（1）①观察各向量的位置；②利用回路法，寻找相应的三角形或多边形；③ 运用法则找关系；④化简结果． 也可以利用定比分点，若 则 . : xx ] 问题（五）. 不能合理运用向量解决问题 【指点迷津】考查向量语言， 体现向量的的工具性，解决平行与垂直的问题，与三角函数 和解析几何的交汇是高考常见题型，学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识，导致 运算量过大，甚至无法解答下去，因此，在复习中教师应重视向量在这方面的运用指导，引 导学生拓展思路，必定会有意想不到的神奇效果。 例 8 在 中 ， 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 已 知 ． （1）求 ； （2）若 ，且 边的中线 ，求 的值． 2 3AD AB BD AB BC= + = +     2 ( )3c b c= + −   2 1 3 3b c+  A O 1AB AC= = 1 2(1,0), (0,1), ( , )3 3B C D 1 2 2 1 3 3 3 3AD AB AC b c= + = +     2BD DC=  2 2 1 1 2 3 3 AB ACAD b c += = ++     ( ),BD DC Rλ λ= ∈  1 AB ACAD λ λ += +   ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 2 24 cos 2 A Cac a c b + = + − B 3c = AC 13 2BM = a （2）∵ 为 边的中点，∴ ， 两边同时平方，得 即 ， ， 整 理 ， 得 ，解得 或 （舍去）．∴ 【名师点评】本题主要考查三角诱导公式，二倍角公式，余弦定理以及应用平面向量解决问 题的意识。对于第（Ⅱ）问，题中未出现平面向量，如果按照常规思路，只会想到正、余弦 定理及方程思想，则运算量较大，导致解题速度慢或出错.但如果学生有主动运用平面向量 的意识， 可使代数问题向量化——充分体现向量的工具性、桥梁作用，会大大减少运算量, 从而轻松解决问题，体现了不同层次学生的思维能力. 【解决问题对策】 1．加强概念学习，注重本质理解 【指点迷津】在平面向量的概念复习中，如何让学生迅速把握住本质，达成理解？重温概念 的来龙去脉，理清知识 络，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的 两个要素：大小、方向进行拓展，将向量概念精准化．学生存在的问题之一是：概念不清， 符号表示混乱，针对此问题，一方面教师在板书、表达等方面一定要准确和多方强调，另一 方面，也可设置一些判断题，帮助学生辨析概念． 例 9．①若 与 为非零向量，且 时，则 必与 或 中之一的方向相同； ②若 为单位向量，且 ，则 ； ③ ； ④若 与 共线， 与共线，则 与必共线； BM AC 1 ( + )2BM BA BC=   2 2 21 ( + 2 )4BM BA BC BA BC= + ⋅     2 213 1 1(3 + 2 3 )4 4 2a a= + × × × 2 3 4 0a a+ − = 1a = 4a = − 1a = ⑤若平面内有四个点 ，则必有 . 上述命题正确的有______.（填序号） 【答案】⑤ 【名师点睛】此题主要考查平面向量中的相等向量、共线向量、数量积、加减法则等有关方 面的知识与技能，属于中低档题，也是平面向量的基础知识点.在此问题中，针对每个命题 的条件与结论，逐一对照平面向量相关的知识，进行运算、判断，抓住零向量方向的特殊性， 进行验证，从而问题可得解.学/ + 2．加强运算训练，关注算法选择 【指点迷津】单纯看向量的运算，实际上是比较抽象的．在复习中若能恰当运用模型，运用 类比，不仅可以降低难度，而且对于学生认识抽象的运算有很大的好处：比如说：向量这个 概念源于物理中的力、位移，那么力的合成、位移的合成实际上就是向量加法的模型，依此 为基础很容易理解并记忆平行四边形法则和三角形法则。而向量的减法则可类比于数的减法 定义：在实数运算中，减法是加法的逆运算；于是向量的减法也可以看成是向量加法的逆运 算；在实数运算中，减去一个数，等于加上这个数的相反数。据此，复习相反向量的概念。 要注意向量运算与实数运算的差异，抓住“结果是什么？”“遵循什么样的运算律？”等问题， 在类比和辨析中掌握知识。逐渐渗透在集合上定义二元运算的准则．自然形成对于“逆运 算”、“逆元”等概念的了解．最终拓展学生对于运算的认识． 例 10 ． 如 图 ， 在 直 角 梯 形 中 ， ， ， ， ， ，P 为线段 （含端点）上一个动点，设 ， ，对 于函数 ，给出以下三个结论：①当 时，函数 的值域为 ；②对任意 ，都有 成立；③对任意 ，函数 的最大值都等于 4．④存在实数 , 使得函数 最小值为 0 .其中所有正确结论的序号是_________. ABCD //AB CD AB BC⊥ 2AB = 1CD = ( 0)BC a a= > AD AP xAD=  PB PC y⋅ =  ( )y f x= 2a = ( )f x [1,4] 0>a (1) 1f = 0>a ( )f x 0>a )(xf 【答案】②③④ 【解析】 ，因此当 时， 取得最大值为 ；④ 最小值为 ，当 时， ．因此②③④正确． 3．重视几何特征，关注数形结合 【指点迷津】在“平面向量”的复习教学中，数形结合是重要的思想方法之一，理解向量 线性运算的几何意义更是本专题的教学目标之一，但学生往往不能做到恰当转化．数形结合 的关键是把握基本量的代数形式与几何特征之间的联系，一方面复习中要时刻注意二者的联 系和相互表达，学会“看图说话”，另一方面也可选择恰当的例题，对某些几何特征量进行归 纳，逐渐学会“由数到形”．每种运算都要注意从几何和代数两个方面进行解读，两者并重。 但要真正掌握、运用这种思想方法，还需对数和形的实质加以挖掘．比如“向量的加法”复习 中，可从“位移的合成”引入三角形法则，这是向量加法的几何法则，将其代数化，就得到： 。代数化和形式化并不只是一种简洁的表示，还可挖掘其内在的含义：如 这个式子其实可以脱离图形而存在，进一步得到 ． 例 11 已知正三角形 的边长为 ，平面 内的动点 满足 ， ，则 的最大值是(　　) P DC AB 2 2 4 1 2( 1) 2 ax a += >+ 0x = y (0) 4f = ( )f x 2 2 2 min 2 16( 1) ( 4) 4( 1) a ay a + − += + 2 2 2 (8 ) 4( 1) a a a −= + 2 2a = min 0y = AB BC AC+ =   1 2 2 3 1 1n n nA A A A A A A A−+ + + =     ABC 2 3 ABC ,P M | | 1AP = PM MC=  2 | |BM A.43 4 B.49 4 C.37＋6 3 4 D．37＋2 33 4 轨迹是以 H 为圆心，r＝1 2 为半径的圆，∴|BH|＝ ，∴|BM→ |的最大值为 3＋r＝3＋1 2 ＝7 2 ，∴|BM→ |2 的最大值为49 4 . 4．重视方法训练，关注基底选择 【指点迷津】通过本专题的复习，研究用向量处理问题的两种方法：“向量法”和“坐标 法”．也即面对一个实际问题，要学会选择基底或者建立平面直角坐标系．本质上这两种方 法是统一的，其依据都是“平面向量基本定理”，后者是前者的特例．学生往往对于后者较为 熟悉，在给定的坐标系中会处理问题，但不善于自己选择基底．事实上，这种熟悉，对于很 多学生来说：只是一种简单的模仿和运算，而对于平面向量基本定理并没有真正理解。但课 标对于平面向量基本定理的要求，只限于“了解”。因此，若学生程度较好，可在正交基底的 基础上，引导学生选择其它的基底解决问题，强化平面向量基本定理的教 例 12 中， 为直角， ， ， 与 相交于点 ， 设 ， ， （Ⅰ）试用 表示向量 ； （Ⅱ）在线段 上取一点 ，在 上取一点 ，使得 过点 ，设 ， )2 3,2 3( 3)2 3()32 3( 22 =++ AOB∆ AOB∠ 1 4OC OA=  1 2OD OB=  AD BC M OA a=  OB b=  ,a b  OM AC E BD F EF M OE OAλ=  ，求证： ． 【解析】（Ⅰ）以 为原点，如图建立平面直角坐标系,设 ， , 则 ， ，设 ，则根据 在直线 上，也在直线 上，根据斜 率公式，可得： ， ， 解之得： ，所以 ． （Ⅱ）由题可得 ， ，由 三点共线，可证得 ． OF OBµ=  1 3 17 7λ µ+ = O ( ,0)A u (0, )B v ( ,0)4 uC (0, )2 vD ( , )M x y 0 4 y v v ux − = − 2 2 0 v vy x u − = − 1 3( , ) ( , )7 7x y u v= 1 3 7 7OM a b= +   ( ,0)uE λ (0, )vF µ , ,E M F 1 3 17 7λ µ+ = 由平面向量基本定理知： , 解之得， ∴ ． （Ⅱ）若设 ， ，则 ，[ :学 XX ] 又因为 三点共线，所以 ．学 5 例 13 如图， , 点 在由射线 , 线段 及 的延长线围成的区域内（不 含边界）运动, 且 ,则 的取值范围是____ __；当 时, 的取 值范围是____ __. 【解析】如图，作 交 于 ．则 ， 由 点的位置不难知道 ． 因此， ，也即 的取值范围是 当 时， ，所以此时， 的取值范围是 ． 2 1 1 2 1 4 12 λλ λ λ  − =  = − 1 2 6 4,7 7 λ λ= = 1 3 7 7OM a b= +   OE OAλ=  OF OBµ=  1 3 1 3 7 7 7 7OM a b OE OFλ µ= + = +     , ,E M F 1 3 17 7λ µ+ = //OM AB P OM OB AB OP xOA yOB= +   x 1 2x = − y 1 2x = − 1 2y m n m= + = + y 1 3( , )2 2 5．强化问题意识，注重向量运用 【指点迷津】 学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识，学生处理问题的意识不是 一朝一夕形成的，教师要在教学中积极引导学生自觉地思考、转化、构图和变式，让学生不 断积累思维和活动经验，要加强教学过程中对学生思维、意识和能力的培养，注重过程强化， 关注解题过程的思维达成度，培养学生的悟性。 例 14 设实数 满足 ， ，证明： 【解析】设 ，则由 得 ， 即 ， ， 平方并整理得： ，故 ，同理可证， 例 15.如图，在三棱锥 中， ， ， 为 中点， 平面 ， . （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值． [ : xx ] , ,x y z ( 0)x y z a a+ + = > 2 2 2 2 2 ax y z+ + = 2, , [0, ]3 ax y z ∈ ( , ), (1,1)m x y n= =  | | | | | |m n m n⋅ ≤ ⋅    2 2| ( , ) (1,1) | 2x y x y⋅ ≤ + ⋅ 2 2| | 2x y x y+ ≤ ⋅ + 2 2 2 2, 2 ax y a z x y z+ = − + = − 2 | | 2 2 aa z z∴ − ≤ ⋅ − 23 2 0z az− ≤ 2[0, ]3 az ∈ 2, [0, ]3 ax y∈ V ABC− 5 2VA VB VC= = = 6AB = D AB VO ⊥ ABC O CD∈ AC BC= 3 10AC = A VC B− − （Ⅱ）法一：过 作 交 于 ，连接 易得 , 结合图形知 就是二面角 的平面角 分 在 中，由等面积法可得 ，又 ， 二面角 的余弦值为 法二：连接 , 由（Ⅰ）知 又 易得 设 则 过 作 结合（Ⅰ）知 两两垂直 可如图建立空间直角坐标系 易得 , , , , 设平面 的法向量为 B BF VC⊥ VC F AF AFC BFC∆ ≅ ∆ ∴ AF BF= AF VC⊥ ∴ AFB∠ A VC B− − θ VBC∆ 3 22 2FB = AF BF= 3 22 2 = 6AB = 2 2 2 63 7cos 2 99 11 FB FA AB FB FA θ + −∴ = = =⋅ ∴ A VC B− − 7 11 OB CD AB⊥ 2 2 9CD BC DB∴ = − = ,VA VB VC VO ABC= = ⊥ 平面 ∴ OB OC= =OB OC r= 2 2 2(9 ) 3r r− + = 5r∴ = 5 2VC = 5VO∴ = D DE ABC⊥ 平面 , ,DE DB DC ∴ D xyz− ( 3,0,0)A − (3,0,0)B (0,9,0)C (0,4,5)V ∴ (3,4,5)AV = (3,9,0)AC = VAC 1 1 1 1( , , )n x y z= 可取 设平面 的法向量为 同理可得 由图可知二面角 为锐角 二面角 的余弦值为 【新题好题训练】 1．在 中， ， ， ， 是 上一点，且 ，则 等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 解得 ，所以 ，故选 C．学 7 ∴ 1 1 1 1 1 3 4 5 0 3 9 0 x y z x y + + =  + = ∴ 1 (3,1,1)n = VBC 2 2 2 2( , , )n x y z= 2 ( 3,1,1)n = − 1 2 9 1 1 7cos , 1111 11 n n − + +∴ < >= =  A VC B− − ∴ A VC B− − 7 11 2．已知不共线向量 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ， ， ，即 故选 3．已知向量 ， ，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 得 ，解得 ． ∴ ， ∴ ．选 D． 4．如图，在圆 中，若 ， ，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 5．在边长为 2 的等边三角形 中，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 6．在 中，三顶点的坐标分别为 ， ， ， 为以 为直角顶点的直角 三角形，则 __________． 【答案】 【解析】由已知， ，即 ，∴ ，解得 ． 故答案为 3． 7．在平行四边形 中， ， 为 的中点．若 ，则 的为 __________． 【答案】12 【 解 析 】 因 为 在 平 行 四 边 形 中 ， , 又 , 所 以 ，所以 ,所以 ，故填 12. 8．若 则向量 与向量 夹角的大小是_______. 【答案】 [ :学 ][ : xx ] 【解析】由 得 9． 已 知 平 行 四 边 形 中, , ,点 是 中 点 ， ,则 _________． 【答案】13. b 答案：13 点睛：给出向量 ，求 的三种方法： (1)若两个向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的 起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量 ，然后 再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解． (3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出 的坐标，通过坐标运算求解． 10 ． 若 两 个 非 零 向 量 满 足 ， 则 向 量 与 的 夹 角 为 __________． 【答案】 【解析】分析：先设 通过转化已知条件得到 再代入向量 的夹角的公式求得 即得向量 与 的夹角. 详解：设 则 ∴ ， 故以 为邻边的平行四边形是矩形，且 设向量 与 的夹角为 θ， 则 cosθ= ∴θ= . 故填 . 点睛：在代入向量的夹角公式时，先要把公式的基本量计算好.本题结合题目，设 是 一个小的技巧，优化了解题，提高了解题效率.学· 1