重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三“一诊”模拟测试卷数学（文）试题 25页

巴蜀中学2020级“一诊”模拟测试卷 文数 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知复数，则其共轭复数的虚部为（ ）‎ A. -1 B. 1 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数乘法、除法运算化简，由此求得的共轭复数，进而求得的虚部.‎ ‎【详解】依题意，故，其虚部为1.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解分式不等式求得集合，求函数定义求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】由解得，由解得，故，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查分式不等式的解法，考查对数函数的定义域，属于基础题.‎ ‎3.已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{an}中一定为零的项是（　　 ）‎ A. a6 B. a7 C. a8 D. a9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式即可得到结果.‎ ‎【详解】由4a3＝3a2得，4(a1+2d)=3(a1+d)，解得：a1+5d=0，所以，a6=a1+5d=0.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属基础题.‎ ‎4.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、、、、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：‎ 针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ）‎ A. 获得A等级的人数减少了 B. 获得B等级的人数增加了1.5倍 C. 获得D等级的人数减少了一半 D. 获得E等级的人数相同 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：‎ 年份 A B C D E ‎2016‎ ‎2018‎ 由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.‎ ‎5.“更相减损术”是《九章算术》中介绍的一种用于求两个正整数的最大公约数的方法，该方法的算法流程如图所示，根据程序框图计算，当a＝35，b＝28时，该程序框图运行的结果是（　 　）‎ A. a＝6，b＝7 B. a＝7，b＝7 C. a＝7，b＝6 D. a＝8，b＝8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，该程序将输入的a、b值加以比较，若a>b成立则用a-b的值替换a，并进入下一轮比较；若a>b不成立则用b-a的值替换b，并进入下一轮比较.直到使得a、b值相等时，终止运算并输出a、b值，由此结合题意进行运算可得本题答案.‎ ‎【详解】第一步，由于a=35且b=28，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b”的回答为“是"，将a-b的值赋给a，得a=7；‎ 第二步，此时a=7且b=28，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b”的回答为“否"，将b-a的值赋给b得b=21；‎ 第三步，此时a=7且b=21，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b ‎”的回答为“否”，将b-a的值赋给b，得b=14；‎ 第四步，此时a=7且b=14，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b”的回答为“否”，将b-a的值赋给b得b=7；‎ 第五步，此时a=7且b=7，对判断框“a≠b”的回答为“否”，结束循环体并输出a、b的值.‎ 综上所述，可得最后输出的值为a=7，b=7.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，要求学生掌握根据程序框图，求出输出结果，解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决，属中档题.‎ ‎6.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F、G分别为棱A1D1、A1A、A1B1的中点，给出下列四个命题：①EF⊥B1C；②BC1∥平面EFG；③A1C⊥平面EFG；④异面直线FG、B1C所成角的大小为．其中正确命题的序号为（　　 ）‎ A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出正方体的直观图，结合线面平行与垂直的判定定理和性质定理逐项判断即可得到正确选项.‎ ‎【详解】如图，‎ 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D//B1C，又A1D⊥EF，故B1C⊥EF，即①正确；‎ 又BC1∥AD1，AD1//EF，故BC1//EF，又EF⸦平面EFG，故BC1∥平面EFG，即②正确；‎ 因为EF⊥A1D，EF⊥A1B1，所以EF⊥平面A1B1CD，又A1C ⸦平面A1B1CD，所以EF⊥A1C，同理可证EG⊥A1C，又EF∩EG=E，EF⸦平面EFG，EG⸦平面EFG，故A1C⊥平面EFG，即③正确；‎ 连接AB1，则AB1//FG，故∠AB1C为异面直线FG与B1C所成角，且∠AB1C=，即④错误.‎ 故所有正确命题的序号为①②③.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行与垂直判定定理和性质定理，也考查学生的逻辑推理能力和直观想象能力，熟练掌握点、线、面位置关系中的判定定理和性质定理是解题的关键，属中档题.‎ ‎7.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它是：由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个七巧板拼成的平行四边形ABCD，E为AB边的中点，若在四边形ABCD中任取一点，则此点落在阴影部分的概率为（　　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出平行四边形和阴影部分的面积，根据几何概型的公式计算即可得到结果.‎ ‎【详解】由图象可知，，，‎ 则此点落在阴影部分的概率为：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的计算，正确求解阴影部分面积是解题的关键，属中档题.‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由得：，故其为偶函数，图象关于轴对称，故排除D；，故排除A；当时，，，可得时，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故排除C，故选B.‎ 点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.‎ ‎9.过点P(3,﹣4)作圆(x﹣1)2+y2＝2的切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　 ）‎ A. x+2y﹣2＝0 B. x﹣2y﹣1＝0 C. x﹣2y﹣2＝0 D. x+2y+2＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图象，以P为圆心，以PB长度为半径可得到圆P，则圆(x﹣1)2+y2＝2与圆P的公共弦所在直线即为直线AB，利用两点间的距离公式和勾股定理可求出圆P的方程，然后两个方程相减即可得到直线AB的方程.‎ ‎【详解】如图，圆P为以P为圆心，以PB长度为半径的圆，则圆(x﹣1)2+y2＝2与圆P 的公共弦所在直线即为直线AB，‎ 在中，，则，‎ 所以圆P的方程为：，又圆C的方程为：(x﹣1)2+y2＝2，‎ 以上两个等式相减可得，，化简得，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及两圆的公共弦问题，着重考查学生数形结合的思想和转化问题的能力，属中档题.‎ ‎10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的半径为（　 　）‎ A. B. C. 2 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据三视图得到该几何体是一个三条棱两两垂直的三棱锥，由此可得其外接球即为以三条棱为长宽高的长方体的外接球，从而计算得到外接球半径.‎ ‎【详解】该几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥，如图，‎ 其中，PA，PB，PC两两垂直，‎ 故三棱锥所在外接球即为以PA，PB，PC为长宽高的长方体的外接球，‎ 又PA=，PB=2，PC=，则外接球半径.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三视图和三棱锥的外接球问题，考查学生的空间想象能力，将三棱锥的外接球问题转化为长方体的外接球问题是解本题的关键，属中档题.‎ ‎11.已知函数在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（　　 ）‎ A. [） B. [] C. [） D. []‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简可得，由是函数含原点的递增区间，又因为函数在上递增，，可列出不等式组，求解得到 ‎，又函数在区间上恰好取得一次最大值，可得到不等式，由此求出，综上即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 即，是函数含原点的递增区间，‎ 又因为函数在上递增，‎ ‎，‎ 得不等式组：，‎ 又，‎ 又函数在区间上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知，即函数在处取得最大值，‎ 可得，，综上，可得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换化简，根据题中条件列出不等式组是解本题的关键，属难题.‎ ‎12.已知函数f（x）＝x3+ax2﹣9x+1（a∈R），当x≠1时，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0）和点（2﹣x0，f（2﹣x0））处的切线总是平行，现过点（﹣2a，a﹣2）作曲线y＝f（x）的切线，则可作切线的条数为（　　 ）‎ A. .3 B. .2 C. 1 D. .0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得，求得a=－3，设过点作曲线的切线的切点为，求得切线方程，代入可得m的三次方程，构造函数，求得导数和单调性，可得极值，判断极值符号，即可得到方程的解的个数，可得所求切线的条数．‎ ‎【详解】函数的导数为，‎ 当x0≠1时，曲线在点与点处的切线总是平行，‎ 可得，‎ 化简可得，解得，‎ 依题意，设过点作曲线的切线的切点为，‎ 可得切线的斜率为，‎ 即有切线的方程为，‎ 代入，可得，‎ 化为，‎ 设，‎ 则，‎ 由16或m<1，可得递增，‎ 可得的极小值为，极大值为，‎ 可得有3个实根，‎ 则由点可作曲线的切线的条数为3．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，注意过某点的切线与曲线的切点并不确定，需设切点坐标，考查学生的计算能力和逻辑推理能力，属难题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若向量(，1)，(1，﹣3)，则在方向上的投影为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出和，利用即可计算出结果.‎ ‎【详解】，，‎ ‎∴在方向上的投影为：．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的投影及其计算，考查学生对投影的理解和计算，属基础题.‎ ‎14.若实数x，y满足约束条件，则z＝3x+5y的最大值为_____．‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出可行域，作出目标函数的平行直线，确定z与目标函数的纵截距之间的关系，从而平移目标函数确定最优解即可算出最大值.‎ ‎【详解】画出可行域如图所示的△ABC的内部（包括边界）：‎ 由z＝3x+5y可得y，则z为直线y在y轴上的截距，‎ 作直线L：3x+5y＝0，把直线L向上平移到A时z最大，向下平移到B时z最小，‎ 由可得A()，此时z的最大值为17，‎ 由可得B(﹣2,﹣1)，此时z的最小值为﹣11.‎ 故答案为：17.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划问题，正确画出可行域并确定z与目标函数的纵截距之间的关系是解决本题的关键，属中档题.‎ ‎15.设数列{an}的前n项和为Sn＝3•2n（n∈N+），数列{bn}为等差数列，其前n项和为Tn．若b2＝a5，b10＝S3，则Tn取最大值时n＝_____．‎ ‎【答案】17或18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用Sn和an的关系求出，根据条件列出方程组，求出b1和d，由此求得{bn}的通项公式，根据通项公式得到b18＝0，由此即可求出Tn取最大值时n的值.‎ ‎【详解】数列{an}前n项和为Sn＝3‧2n（n∈N+），所以，，‎ ‎，设数列{bn}的公差为d，且b2＝a5，b10＝S3，‎ 则，解得：b1＝51，d＝﹣3，‎ 所以，bn＝51﹣3(n﹣1)＝54﹣3n，当n＝18时，b18＝0，‎ 故Tn取最大值时n＝17或18．‎ 故答案为：17或18.‎ ‎【点睛】本题考查Sn和an的关系以及等差数列前n项和的最大值问题，等差数列的正负转折项是其前n项和取得最值的项，注意项为0时有两项，属中档题.‎ ‎16.已知F1、F2分别是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使得（）•0（O为坐标原点），且|PF1||PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由•0，可得（）•（）＝0，即|OP|＝c，则∠F1PF2＝90°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m﹣n＝2a，且m2+n2＝4c2，令m=kn，结合双曲线定义及不等式求得e的范围从而求得结果.‎ ‎【详解】•0，即为（）•（）＝0，‎ 即为22，可得|OP|＝c，‎ 即有∠F1PF2＝90°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m﹣n＝2a，‎ 且m2+n2＝4c2，令m=kn， ‎ ‎∴n，m．‎ ‎△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2＝4c2，‎ ‎∴（）2+（）2＝4c2，‎ ‎∴（）2+（）2＝e2，又k，‎ e2=，‎ 即有，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率及平面向量数量积的应用，求离心率的范围一般需要根据几何关系寻找不等关系构造离心率的不等式，属难题.‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a+b．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若△ABC的面积等于，求ab的最小值.‎ ‎【答案】（1）C；（2）最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理，将2ccosB＝2a+b变形为2sinCcosB＝2sin(B+C)+sinB，使用两角和的正弦公式化简等式即可求得C的值；‎ ‎（2）由△ABC的面积公式得出c与a、b的关系为c=3ab，将其代入余弦定理，并通过基本不等式进行变形，可求得ab的最小值.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理可知：2R，‎ a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，其中R为△ABC的外接圆半径，‎ 由2ccosB＝2a+b，则2sinCcosB＝2sin(B+C)+sinB，可得：2sinBcosC+sinB＝0，‎ 由0＜B＜π，sinB≠0，cosC，0＜C＜π，则C；‎ ‎（2）由SabsinCab，则c＝3ab，又c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2+ab，‎ 由a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，可得：2ab+ab≤9a2b2，即ab，‎ 则当a＝b时，ab取得的最小值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，掌握诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用是解题关键，属中档题.‎ ‎18.如图，菱形ABCD的边长为a，∠D＝60°，点H为DC边中点，现以线段AH为折痕将△DAH折起使得点D到达点P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点.‎ ‎（1）求证：平面PBC∥平面EFH；‎ ‎（2）若三棱锥P﹣EFH的体积等于，求a的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）a＝2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别证明EH∥平面PBC和EF∥平面PBC，再由EF∩EH＝E，即可证明结论；‎ ‎（2）根据条件求出AH，DH＝PH＝CH，然后证明PH⊥平面ABCH，又点F为AP中点，则S△PEF＝S△AEF，故VH－PEF＝VH－AEF，则，据此计算求解即可.‎ ‎【详解】（1）证明：菱形ABCD中，∵E，H分别为AB，CD的中点，∴BE∥CH，BE＝CH，‎ ‎∴四边形BCHE为平行四边形，则BC∥EH，又EH⊄平面PBC，∴EH∥平面PBC，‎ 又点E，F分别为AB，AP的中点，则EF∥BP，又EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，‎ 由EF∩EH＝E，∴平面EFH∥平面PBC；‎ ‎（2）在菱形ABCD中，∠D＝60°，则△ACD为正三角形，‎ ‎∴AH⊥CD，AH，DH＝PH＝CH，‎ 折叠后，PH⊥AH，又平面PHA⊥平面ABCH，平面PHA∩平面ABCH＝AH，从而PH⊥平面ABCH．‎ 在△PAE中，点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，∴VH－PEF＝VH－AEF，‎ 而VH－PEF+VH－AEF＝VH－PAE，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴a3＝8，即a＝2．故a＝2．‎ ‎【点睛】本题考查面面平行和椎体体积的相关问题，面面平行证明的关键是在一个平面中找两条相交的直线，它们都平行于另一个平面，属中档题.‎ ‎19.已知A（0，1），B（0，﹣1），M（﹣1，0），动点P为曲线C上任意一点，直线PA，PB的斜率之积为，动直线l与曲线C相交于不同两点Q（x1，y1），R（x2，y2），其中y1＞0，y2＞0且满足．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）若直线l与x轴相交于一点N，求N点坐标.‎ ‎【答案】（1）（x≠0）；（2）N（﹣2，0）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知及求轨迹方程的步骤可得到曲线C的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣m），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由已知可得kMQ+kMR＝0，结合根与系数的关系代入即可解出N点坐标.‎ ‎【详解】（1）动点P为曲线C上任意一点，直线PA，PB的斜率之积为，设动点P（x，y），x≠0；‎ 则有：kPA•kPB•，化简可得：，x≠0．‎ 故曲线C的方程为：（x≠0）；‎ ‎（2）设点N的坐标为（m，0）．依题意，直线l的斜率存在且不为0，设为k（k≠0），‎ 则直线l的方程y＝k（x﹣m），将y＝k（x﹣m）代入方程y2＝1（x≠0）．‎ 得（2k2+1）x2﹣4k2mx+2（k2m2﹣1）＝0．‎ 则△＝（﹣4k2m）2﹣8（2k2+1）（k2m2﹣1）＝8（2k2﹣k2m2+1）＞0，‎ 动直线与曲线C相交于不同两点Q（x1，y1），R（x2，y2），其中y1＞0，y2＞0，‎ x1+x2，x1•x2，且满足，即，‎ 如图，‎ ‎，，‎ 则，故kMQ+kMR＝0，‎ 即，‎ 化简得：，‎ 即，整理得m+2＝0，即m＝﹣2．‎ 故点N的坐标为(﹣2，0)．‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的位置关系，着重考查学生数学运算和逻辑推理能力，题中由得到kMQ+kMR＝0是解决第二问的关键，属难题.‎ ‎20.武汉某科技公司为提高市场销售业绩，现对某产品在部分营销网点进行试点促销活动．现有两种活动方案，在每个试点网点仅采用一种活动方案，经统计，2018年1月至6月期间，每件产品的生产成本为10元，方案1中每件产品的促销运作成本为5元，方案2中每件产品的促销运作成本为2元，其月利润的变化情况如图①折线图所示．‎ ‎（1）请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案（不必说明理由）；‎ ‎（2）为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价xi（单位：元/件）和相应销量y（单位：件）（i＝1，2，…8）并制作散点图（如图②），观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的回归方程（系数精确到整数）；‎ 参考公式及数据：40，660，xiyi＝206630，x12968，，，‎ ‎（3）公司策划部选1200lnx+5000和═x3+1200两个模型对销量与售价的关系进行拟合，现得到以下统计值（如表格所示）：‎ x3+1200‎ ‎52446.95‎ ‎122.89‎ ‎124650‎ 相关指数 R R 相关指数：R2＝1．‎ ‎（i）试比较R12，R22的大小（给出结果即可），并由此判断哪个模型的拟合效果更好；‎ ‎（ii）根据（1）中所选的方案和（i）中所选的回归模型，求该产品的售价x定为多少时，总利润z可以达到最大？‎ ‎【答案】（1）方案1是较为有利的活动方案；（2）；（3）（i）进行拟合效果更好；（ii）售价为x＝40时，总利润z最大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由图可知，方案1是较为有利的活动方案；‎ ‎（2）由公式计算求出和即可得到回归方程；‎ ‎（3）（i）由图表数据可知R12＜R22，故选择模型进行拟合效果更好；（ii）由（1）可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作成本为5元，求出总利润z的解析式，利用导数研究其单调性和最大值即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）由图可知，方案1是较为有利的活动方案；‎ ‎（2）由公式得27.2≈﹣27，‎ ‎．‎ 故所求回归直线方程为；‎ ‎（3）（i）由图表可知，R12＝1，R22＝1，‎ ‎∴R12＜R22，故选择模型进行拟合效果更好；‎ ‎（ii）由（1）可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作成本为5元，‎ 故总利润，.‎ 当x∈(0，40)时，z′＞0，z单调递增，‎ 当x∈(40，+∞)时，z′＜0，z单调递减．‎ 故售价为x＝40时，总利润z最大．‎ ‎【点睛】本题考查回归分析，着重考查学生的数学运算能力、分析问题和解决问题的能力，结合实际问题审清题意是解题的关键，属中档题.‎ ‎21.已知函数f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx(a∈R)，g(x)＝(1﹣x)ex.‎ ‎（1）讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎（2）若对任意给定的x0∈[﹣1，1]，在区间(0，e]上总存在两个不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）[，+∞)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求出函数的导数，分a≤0和a>0两种情况讨论，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间；‎ ‎（2）首先利用导数求出g(x)的值域为[0，1]，根据（1）可排除a≤0和0＜a的情况，由函数f(x)的单调性和图象分析可知，a满足以下条件时符合题意，结合构造函数求解不等式即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）f(x)＝a(x﹣1)﹣lnx，x＞0，则f′(x)＝a，‎ ‎①当a≤0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，+∞)上为减函数，‎ ‎②当a>0时，令f′(x)＞0得x，令f′(x)＜0得0＜x.‎ 故f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，+∞)，‎ 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上为减函数，‎ 当a>0时，f(x)在(0，)上为减函数，在(，+∞)为增函数；‎ ‎（2）∵g(x)＝(1﹣x)ex，∴g′(x)＝﹣xex，‎ 当x∈[﹣1，0)时，g′(x)>0，当x∈(0，1]时，g′(x)<0，‎ 又g(0)＝1，g(1)＝0，g(﹣1)，∴当x∈[﹣1，1]时，g(x)的值域为[0，1]，‎ 由（1）可知，①当a≤0时，函数f(x)在(0，e]上为减函数，不满足题意；‎ ‎②当e，即0＜a时，函数f(x)在(0，e]上为减函数，不满足题意；‎ ‎③当0e时，即a时，函数f(x)在区间(0，)上为减函数，在(，e]上为增函数，‎ 又x＞0，且x→0时，f(x)→+∞，函数f(x)的大概图像如下图，‎ 故对任意给定的x0∈[﹣1，1]，在区间(0，e]上总存在两个不同的xi(i＝1，2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，‎ 当且仅当a满足以下条件，即（*）‎ 令h(a)＝1﹣a+lna，a∈(，+∞)，则h′(a)＝﹣1，‎ 当a＜1时，h′(a)＞0，当a＞1时，h′(a)＜0，‎ ‎∴函数h(a)在(，1)上为增函数，在(1，+∞)上为减函数，故h(a)max＝h(1)＝0，‎ 从而（*）等价于，故a，故a的取值范围为[，+∞)．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分类讨论和数形结合的思想，着重考查学生对题意的理解与转化的思想，特别是问题（2）的设置，考查了学生创造性分析和解决问题的能力，属难题.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点 ，直线和曲线交于两点，求值．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用三角恒等式消参得到曲线C的普通方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程；（2）先证明点P在直线l上，再利用直线参数方程t的几何意义解答.‎ ‎【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以曲线C的普通方程为.‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题得点在直线l上，直线l的参数方程为，‎ 代入椭圆的方程得，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法去绝对值，将不等式转化为不等式组来求解得不等式的解集.‎ ‎（2）化简不等式为，由此得到或，结合恒成立知识的运用，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 故等价于或或，解得或.‎ 故不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，由得，‎ 即，即或对任意的恒成立.‎ 又，，故的取值范围为.‎ 又，所以，‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎