【数学】2018届一轮复习北师大版不等式的证明（理）教案 7页

第二节　不等式的证明 [考纲传真]　通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合 法、分析法． 1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 定理 2：如果 a，b 为正数，则 a＋b 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成 立． 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则a＋b＋c 3 ≥3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时， 等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…，an 为 n 个正 数，则a1＋a2＋…＋an n ≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立． 2．不等式证明的方法 (1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为求差比较法和求商比较法两 种. 名称 求差比较法 求商比较法 理论 依据 a＞b⇔a－b＞0 a＜b⇔a－b＜0 a＝b⇔a－b＝0 b＞0，a b ＞1⇒a＞b b＜0，a b ＞1⇒a＜b (2)综合法与分析法 ①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明 的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． ②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证 明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件 都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索 因”的方法． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论． (　　) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐 步推理，最后达到待证的结论． (　　) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻 求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(　　) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改编)若 a＞b＞1，x＝a＋1 a ，y＝b＋1 b ，则 x 与 y 的大小关系是(　　) A．x＞y　　　 B．x＜ y C．x≥y D．x≤y A　[x－y＝a＋1 a －(b＋1 b) ＝a－b＋b－a ab ＝ (a－b)(ab－1) ab . 由 a＞b＞1 得 ab＞1，a－b＞0， 所以 (a－b)(ab－1) ab ＞0，即 x－y＞0，所以 x＞y.] 3．(教材改编)已知 a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则 M，N 的大小 关系为________． M≥N　[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a －b)(a＋b)(2a＋b)． 因为 a≥b＞0，所以 a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故 2a3－b3≥2ab2－a2b.] 4．已知 a＞0，b＞0 且 ln(a＋b)＝0，则1 a ＋1 b 的最小值是________． 4　[由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴1 a ＋1 b ＝(1 a ＋1 b)(a＋b)＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a· a b ＝4， 当且仅当 a＝b＝1 2 时等号成立．] 5．已知 x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. [证明]　因为 x＞0，y＞0， 所以 1＋x＋y2≥33 xy2＞0,1＋x2＋y≥33 x2y＞0， 8 分 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33 xy2·3 3 x2y＝9xy. 10 分 比较法证明不等式 　已知 a＞0，b＞0，求证： a b ＋ b a ≥ a＋ b. [证明]　法一：( a b ＋ b a)－( a＋ b) ＝( a b － b)＋( b a － a)＝a－b b ＋b－a a ＝ (a－b)( a－ b) ab ＝ ( a＋ b)( a－ b)2 ab ≥0， ∴ a b ＋ b a ≥ a＋ b. 10 分 法二：由于 a b ＋ b a a＋ b ＝ a a＋b b ab( a＋ b) ＝ ( a＋ b)(a－ ab＋b) ab( a＋ b) ＝a＋b ab －1≥2 ab ab －1＝1. 8 分 又 a＞0，b＞0， ab＞0，∴ a b ＋ b a ≥ a＋ b. 10 分 [规律方法]　1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利 用不等式的性质，把证明 a＞b 转化为证明a b ＞1(b＞0)． 2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商 证明不等式，不等式的两边应同号． 提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号． [变式训练 1]　(2017·莆田模拟)设 a，b 是非负实数， 求证：a2＋b2≥ ab(a＋b). 【导学号：57962490】 [证明]　因为 a2＋b2－ ab(a＋b) ＝(a2－a ab)＋(b2－b ab) ＝a a( a－ b)＋b b( b－ a) ＝( a－ b)(a a－b b) ＝(a 1 2 －b 1 2 )(a 3 2 －b 3 2 ). 6 分 因为 a≥0，b≥0，所以不论 a≥b≥0，还是 0≤a≤b，都有a 1 2 －b 1 2 与a 3 2 －b 3 2 同号，所以(a 1 2 －b 1 2 )(a 3 2 －b 3 2 )≥0， 所以 a2＋b2≥ ab(a＋b). 10 分 综合法证明不等式 　设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ac≤1 3 ； (2)a2 b ＋b2 c ＋c2 a ≥1. [证明]　(1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤1 3. 5 分 (2)因为a2 b ＋b≥2a，b2 c ＋c≥2b，c2 a ＋a≥2c， 故a2 b ＋b2 c ＋c2 a ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 则a2 b ＋b2 c ＋c2 a ≥a＋b＋c，所以a2 b ＋b2 c ＋c2 a ≥1. 10 分 [规律方法]　1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A⇒B1 ⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论)，它的 常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”． 2．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之 间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键． [变式训练 2]　(2017·石家庄调研)已知函数 f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|. (1)求 f(x)的最小值 m； (2)若 a，b，c 均为正实数，且满足 a＋b＋c＝m，求证：b2 a ＋c2 b ＋a2 c ≥3. 【导学号：57962491】 [解]　(1)当 x＜－1 时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3； 2 分 当－1≤x＜2 时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)； 当 x≥2 时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x≥6. 综上，f(x)的最小值 m＝3. 5 分 (2)证明：a，b，c 均为正实数，且满足 a＋b＋c＝3， 因为b2 a ＋c2 b ＋a2 c ＋(a＋b＋c) ＝(b2 a ＋a)＋(c2 b ＋b)＋(a2 c ＋c) ≥2( b2 a ·a＋ c2 b·b＋ a2 c ·c)＝2(a＋b＋c). 8 分 (当且仅当 a＝b＝c＝1 时取“＝”) 所以b2 a ＋c2 b ＋a2 c ≥a＋b＋c，即b2 a ＋c2 b ＋a2 c ≥3. 10 分 分析法证明不等式 　(2015·全国卷Ⅱ)设 a，b，c，d 均为正数，且 a＋b＝c＋d，证明： (1)若 ab>cd，则 a＋ b> c＋ d； (2) a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条件． [证明]　(1)∵a，b，c，d 为正数，且 a＋b＝c＋d， 欲证 a＋ b＞ c＋ d， 只需证明( a＋ b)2＞( c＋ d)2， 也就是证明 a＋b＋2 ab＞c＋d＋2 cd， 只需证明 ab＞ cd，即证 ab＞cd. 由于 ab＞cd， 因此 a＋ b＞ c＋ d. 5 分 (2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 由(1)，得 a＋ b> c＋ d. 8 分 ②若 a＋ b> c＋ d，则( a＋ b)2>( c＋ d)2， 即 a＋b＋2 ab>c＋d＋2 cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 综上， a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条件. 10 分 [规律方法]　1.本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论 证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平 方来证明． 2．当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找 证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆． 3．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显 成立的条件 [变式训练 3]　已知 a＞b＞c，且 a＋b＋c＝0，求证： b2－ac＜ 3a. 【导学号：57962492】 [证明]　要证 b2－ac＜ 3a，只需证 b2－ac＜3a2. ∵a＋b＋c＝0，只需证 b2＋a(a＋b)＜3a2， 只需证 2a2－ab－b2＞0， 4 分 只需证(a－b)(2a＋b)＞0， 只需证(a－b)(a－c)＞0. ∵a＞b＞c，∴a－b＞0，a－c＞0， ∴(a－b)(a－c)＞0 显然成立， 故原不等式成立. 10 分 [思想与方法] 1．比较法：求差比较法主要判断差值与 0 的大小，求商比较法关键在于判 定商值与 1 的大小(一般要求分母大于 0)． 2．分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(结论)． (步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)． 3．综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(已知)． (逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)． [易错与防范] 1．使用平均值不等式时易忽视等号成立的条件． 2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲 证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的 数学问题成立．