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- 2021-06-15 发布
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§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解任意角的概念和弧度制的概念．
2.能进行弧度与角度的互化．
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以选择题为主，低档难度.
1.角的概念
(1)角的分类(按旋转的方向)
角
(2)象限角
象限角
象限角α的集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α0)，
则sin α＝；cos α＝；tan α＝；
cot α＝；sec α＝；csc α＝.
4.三角函数在各象限的符号规律及三角函数线
(1)三角函数在各象限的符号：
象限
符号
函数
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
sin α，csc α
＋
＋
－
－
cos α，sec α
＋
－
－
＋
tan α，cot α
＋
－
＋
－
(2)三角函数线：
正弦线 如图，角α的正弦线为.
余弦线 如图，角α的余弦线为.
正切线 如图，角α的正切线为.
概念方法微思考
1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律．
提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？
提示 设点P到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( √ )
(3)不相等的角终边一定不相同．( × )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )
题组二 教材改编
2．角－225°＝ 弧度，这个角在第 象限．
答案 － 二
3．若角α的终边经过点Q，则sin α＝ ，cos α＝ .
答案 －
4．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度．
答案
题组三 易错自纠
5．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k
＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
6．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为点P在第四象限，
所以根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，
又θ∈，所以θ＝.
7．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是 ．
答案
解析 与角－终边相同的角是2kπ＋(k∈Z)，令k＝1，可得与角－终边相同的角是.
8．(2018·赤峰模拟)函数y＝的定义域为 ．
答案 (k∈Z)
解析 ∵2cos x－1≥0，
∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈(k∈Z)．
题型一 角及其表示
1．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案 C
解析 与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
2．设集合M＝，N＝，那么( )
A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅
答案 B
解析 由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.
3．(2018·沈阳质检)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为 ．
答案
解析 如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0,2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；
在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.
4．若角α是第二象限角，则是第 象限角．
答案 一或三
解析 ∵α是第二象限角，
∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．
综上，是第一或第三象限角．
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N＋)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
题型二 弧度制及其应用
例1 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，求扇形的面积．
解 由已知得α＝，R＝10 cm，
∴S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2)．
引申探究
1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．
解 l＝α·R＝×10＝(cm)，
S弓形＝S扇形－S三角形
＝·l·R－·R2·sin
＝··10－·102·＝(cm2)．
2．若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解 由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(00，解得m＝3.
命题点2 三角函数线
例3 (1)满足cos α≤－的角的集合是 ．
答案
解析 作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，
则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
.
(2)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是 ．
答案 sin α0.则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
答案 A
解析 ∵cos α≤0，sin α>0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴ ∴－2cos x成立的x的取值范围是( )
A.∪ B.
C. D.∪
答案 C
解析 当x∈时，sin x>0，cos x≤0，显然sin x>cos x成立；当x∈时，作出三角函数线，如图，OA为x的终边，由三角函数线可知，sin x≤cos x；当x∈时，如图，
OB为x的终边，由三角函数线可知sin x>cos x.同理当x∈时，sin x>cos x；当x∈时，sin x≤cos x，故选C.
1．下列说法中正确的是( )
A．第一象限角一定不是负角
B．不相等的角，它们的终边必不相同
C．钝角一定是第二象限角
D．终边与始边均相同的两个角一定相等
答案 C
解析 因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B错误；因为钝角的取值范围为(90°，180°)，所以C正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．
2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
答案 C
解析 设扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
3.设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案 B
解析 由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，
∵＝－cos ，∴cos <0，
综上可知，为第二象限角.
4．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 点P旋转的弧度数也为，由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝.
5．若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角．∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角．故选C.
6．sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
答案 A
解析 ∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2·cos 3·tan 4<0.
7．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案 C
解析 由题意得点P(－8m，－3)，r＝，
所以cos α＝＝－，解得m＝±，
又cos α＝－<0，
所以－8m<0，即m>0，
所以m＝.
8．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin ＝sin ，但与的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．
综上可知，只有③正确．
9．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是 ．
答案
解析 设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为r，∴
圆心角的弧度数是＝.
10．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝ .
答案 2
解析 由已知tan α＝3，∴n＝3m，
又m2＋n2＝10，∴m2＝1.
又sin α<0，∴m＝－1，n＝－3.故m－n＝2.
11．已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为 ．
答案
解析 由题意知，点P，r＝1，所以点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin ＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.
12．函数y＝ 的定义域为 ．
答案 ，k∈Z
解析 利用三角函数线(如图)，
由sin x≥，可知
2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
13．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为 ．
答案
解析 ∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为
，
∴所求角的集合为.
14．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝ .
答案 ±
解析 由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－，因为点在单位圆上，所以2＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos α·sin β＝±.
15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是 平方米．(结果保留整数，≈1.73)
答案 5
解析 如题图2，由题意可得∠AOB＝，OA＝3，所以在Rt△AOD中，∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×3＝，可得CD＝3－＝，由AD＝AO·sin ＝3×＝，可得AB＝2AD＝＝3.
所以弧田面积S＝(弦×矢＋矢2)＝×＝＋≈5(平方米)．
16．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．
(1)求经过1 s后，∠BOA的弧度；
(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．
解 (1)经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，
此时∠BOA的弧度为＋3.
(2)设经过t s后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝，即经过 s后质点A，B在单位圆上第一次相遇．
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