2018届二轮复习（理）　三角函数与平面向量学案（全国通用） 11页

回扣4　三角函数与平面向量 ‎1．准确记忆六组诱导公式 对于“±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎2．三角函数恒等变换“四大策略”‎ ‎(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．‎ ‎(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．‎ ‎(3)弦、切互化：一般是切化弦．‎ ‎(4)灵活运用辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎3．三种三角函数的性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 在 (k∈Z)‎ 上单调递增；在 (k∈Z)‎ 上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在(k∈Z)上单调递增 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ (k∈Z)‎ 对称中心：‎ (k∈Z)；‎ 对称轴：‎ x＝kπ(k∈Z)‎ 对称中心：‎ (k∈Z)‎ ‎4.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的图象 ‎(1)“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．‎ ‎(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．‎ ‎(3)图象变换 y＝sin xy＝sin(x＋φ)‎ y＝sin(ωx＋φ)‎ y＝Asin(ωx＋φ)．‎ ‎5．正弦定理及其变形 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．‎ 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.‎ sin A＝，sin B＝，sin C＝.‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.‎ ‎6．余弦定理及其推论、变形 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，‎ c2＝a2＋b2－2abcos C.‎ 推论：cos A＝，cos B＝，‎ cos C＝.‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，‎ a2＋b2－c2＝2abcos C.‎ ‎7．面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.‎ ‎8．平面向量的数量积 ‎(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.‎ ‎(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎9．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎10．利用数量积求长度 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎11．利用数量积求夹角 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cos θ＝＝.‎ ‎12．三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则 ‎(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.‎ ‎(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.‎ ‎(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.‎ ‎(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.‎ ‎1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．‎ ‎2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．‎ ‎3．求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．‎ ‎4．三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)时，平移量为，而不是φ.‎ ‎5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．‎ ‎6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．‎ ‎7．a·b＞0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；‎ a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件．‎ ‎‎ ‎1．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋的值是(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．±2 D. 答案　B 解析　tan θ＋＝＋＝＝2.‎ ‎2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(　　)‎ A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 答案　A 解析　化简函数的解析式，A中，y＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数．‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝，cos A＝－.则b的值为(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案　A 解析　根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，则22＝b2＋()2－2b××，所以b2＋b－2＝0，解得b＝1，故选A.‎ ‎4．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　B 解析　因为y＝sin＝sin，所以将函数y＝sin 4x向右平移个单位长度就得到函数y＝sin.故选B.‎ ‎5．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于点对称，则函数f(x)在上的最小值是(　　)‎ A．－1 B．－ C．－ D．－ 答案　B 解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin，‎ 则由题意知，f ＝2sin＝0，又因为0<θ<π，所以<π＋θ＋<，所以π＋θ＋＝2π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x.‎ 又因为函数f(x)在上是减函数，‎ 所以函数f(x)在上的最小值为 f ＝－2sin ＝－，故选B.‎ ‎6．(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，AD＝BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝＝－3，所以cos A＝－，故选C.‎ ‎7．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)‎ A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　∵sin 2α＝，α∈，‎ ‎∴2α∈，即α∈，cos 2α＝－，‎ 又sin(β－α)＝，β∈，‎ ‎∴β－α∈，cos(β－α)＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]‎ ‎＝sin(β－α)cos 2α＋cos( β－α)sin 2α ‎＝×＋× ‎＝－，‎ cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]‎ ‎＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ‎＝×－× ‎＝，‎ 又α＋β∈，‎ ‎∴α＋β＝，故选A.‎ ‎8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　A 解析　如图，‎ ＝＋＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋，‎ 所以λ＝.故选A.‎ ‎9．函数y＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则满足此条件的φ的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　平移后有f(x)＝sin＝sin，‎ f(x)关于y轴对称，则φ－＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z，由于0＜φ＜π，所以φ＝.‎ ‎10．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为，若f(x)＞0对x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得函数f(x)的最小正周期为，则ω＝，‎ 当x∈时，x＋φ∈，‎ 因为f(x)＞0，即cos＞，‎ 所以(k∈Z)，‎ 解得－＋2kπ≤φ≤－＋2kπ(k∈Z)，‎ 又|φ|＜，所以－＜φ≤－，故选B.‎ ‎11．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则 f 的值为________．‎ 答案　1‎ 解析　根据图象可知，A＝2，＝－，‎ 所以周期T＝π，由ω＝＝2.又函数过点，‎ 所以sin＝1，又0＜φ＜π，‎ 所以φ＝，则f(x)＝2sin，‎ 因此f ＝2sin＝1.‎ ‎12．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，‎ 所以f(x)＝3sin，‎ 那么当x∈时，－≤2x－≤，‎ 所以－≤sin≤1，故f(x)∈.‎ ‎13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，角B为锐角，且sin2B＝8sin A·sin C，则的取值范围为____________．‎ 答案　 解析　因为sin2B＝8sin A·sin C，由正弦定理可知，‎ b2＝8ac，所以cos B＝ ‎＝＝ ‎＝－5∈(0,1)，‎ 令t＝，t>0，则0＜－5＜1，‎ 解得＜t2＜，即t∈.‎ ‎14．已知O是锐角△ABC外接圆的圆心，∠A＝60°，·＋·＝2m，则m的值为______．‎ 答案　 解析　如图所示，取AB的中点D，则＝＋，OD⊥AB，所以·＝0，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由·＋·＝2m，得·＋·＝－2m(＋)，两边同乘以，得·2＋··＝－2m(＋)·，即·c2＋·bc·cos A＝m·c2，所以·c＋·b·cos A＝m·c，‎ 由正弦定理＝＝＝2R，‎ 所以b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，‎ 代入上式整理，得cos B＋cos Ccos A＝m·sin C，‎ 所以m＝ ‎＝＝sin A，‎ 又∠A＝60°，所以m＝sin 60°＝.‎ ‎15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若a＝2，b＝， 求△ABC的面积．‎ 解　(1)由已知得 ‎－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，‎ 即sin Asin B－sin Acos B＝0, 因为sin A≠0，‎ 所以sin B－cos B＝0，又cos B≠0，所以tan B＝，‎ 又0＜B＜π，所以B＝. ‎ ‎(2)因为sin B＝，cos B＝，‎ 所以＝＝＝，又a＝2，‎ 所以sin A＝＝，‎ 因为a＜b，所以cos A＝.‎ 所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，‎ 所以S＝absin C＝.‎ ‎16．已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x＋(x∈R)．‎ ‎(1)当x∈时，求函数f(x)的最小值和最大值；‎ ‎(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝2，若向量m＝(1，a)与向量n＝(2，b)共线，求a，b的值．‎ 解　(1)∵函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x＋(x∈R)，‎ ‎∴f(x)＝sin 2x＋＋ ‎＝sin 2x－cos 2x＋1‎ ‎＝sin＋1.‎ ‎∵－≤x≤，∴－≤2x－≤，‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ ‎∴1－≤sin＋1≤2，‎ ‎∴f(x)的最小值是1－，最大值是2.‎ ‎(2)∵f(C)＝sin＋1＝2，‎ ‎∴sin＝1，‎ ‎∵0＜C＜π，∴－＜2C－＜，‎ ‎∴2C－＝，解得C＝.‎ ‎∵向量m＝(1，a)与向量n＝(2，b)共线，‎ ‎∴b－2a＝0，即b＝2a. ①‎ 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos ，‎ 即a2＋b2－ab＝3. ②‎ 由①②得a＝1，b＝2.‎