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- 2021-06-15 发布
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热点探究训练(六)
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
1.(2017·扬州模拟)如图3,已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,P是椭圆上一点,O为坐标原点,M在PF1上,=λ(λ∈R),PO⊥F2M.
图3
(1)若椭圆方程为+=1,P(2,),求点M的横坐标;
(2)若λ=2,求椭圆离心率e的取值范围. 【导学号:62172281】
[解] (1)∵+=1,∴F1(-2,0),F2(2,0),
∴kOP=,kF2M=-,kF1M=.
∴直线F2M的方程为y=-(x-2),直线F1M的方程为:y=(x+2).
由
解得x=,
∴点M的横坐标为.6分
(2)设P(x0,y0),M(xM,yM),
∵=2,∴=(x0+c,y0)=(xM+c,yM),∴M,=.
∵PO⊥F2M,=(x0,y0),∴x0+y=0,
即x+y=2cx0.
联立方程得,消去y0得:c2x-2a2cx0+a2(a2-c2)=0.
解得x0=或x0=.
∵-a.
综上,椭圆离心率e的取值范围为.14分
2.(2017·无锡期末)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,一个焦点到相应的准线的距离为3,圆N的方程为(x-c)2+y2=a2+c2(c为半焦距),直线l :y=kx+m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A,B.
(1)求椭圆方程和直线方程;
(2)试在圆N上求一点P,使=2.
[解] (1)由题意知解得a=2,c=1,所以b=,
所以椭圆M的方程为:+=1.
圆N的方程为(x-1)2+y2=5.
由直线l:y=kx+m与椭圆M只有一个公共点,所以由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,①
所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0得m2=3+4k2.②
由直线l:y=kx+m与N只有一个公共点,得=,
即k2+2km+m2=5+5k2,③
将②代入③得km=1,④
由②,④且k>0,得:k=,m=2.
所以直线方程为:y=x+2.6分
(2)将k=,m=2代入①可得A,
又过切点B的半径所在的直线l′为:y=-2x+2,所以得交点B(0,2),设P(x,y),因为=2,
则=8,化简得:7x+7y+16x0-20y0+22=0,⑤
又P(x,y)满足x+y-2x0=4,⑥
将⑤-7×⑥得:3x0-2y0+5=0,即y0=.⑦
将⑦代入⑥得:13x+22x0+9=0,解得x0=-1或x0=-,
所以P(-1,1)或P.14分
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.(2017·泰州中学高三摸底考试)已知椭圆Γ:+y2=1.
(1)椭圆Γ的短轴端点分别为A,B(如图4),直线AM,BM分别与椭圆Γ交于E,F两点,其中点M满足m≠0,且m≠±.
①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关;
②若△BME面积是△AMF面积的5倍,求m的值.
(2)若圆O:x2+y2=4.l1,l2是过点P(0,-1)的两条互相垂直的直线,其中l1交圆O于T,R两点,l2交椭圆Γ于另一点Q.求△TRQ面积取最大值时直线l1的方程. 【导学号:62172282】
图4
[解] (1)①因为A(0,1),B(0,-1),M,且m≠0,∴直线AM的斜率为k1=-,直线BM的斜率为k2=,
∴直线AM的方程为y=-x+1,直线BM的方程为y=x-1,
由得(m2+1)x2-4mx=0,
∴x=0,x=,∴E,
由得(m2+9)x2-12mx=0,
∴x=0或x=,∴F;
据已知m≠0,m2≠3,
∴直线EF的斜率
k===-,
∴直线EF的方程为y-=-,
令x=0,得y=2,
∴EF与y轴交点的位置与m无关.
②S△AMF=MA·MFsin ∠AMF,
S△BME=MB·MEsin ∠BME,∠AMF=∠BME,
5S△AMF=S△BME,∴5MA·MF=MB·ME,
∴=,
∴=.
∵m≠0,
∴整理方程得=-1,即(m2-3)(m2-1)=0,
又有m≠±,∴m2-3≠0,∴m2=1,∴m=±1为所求.8分
(2)因为直线l1⊥l2,且都过点P(0,-1),所以设直线l1:y=kx-1,即kx-y-1=0,
直线l2:y=-x-1,即x+ky+k=0,
所以圆心(0,0)到直线l1:y=kx-1,即kx-y-1=0的距离d=,
所以直线l1被圆x2+y2=4所截的弦
TR=2=;
由得k2x2+4x2+8kx=0,
所以xQ+xp=-,所以QP==,
所以S△TRQ=QP·TR==≤=,
当=,即k2=,解得k=±时等号成立,
此时直线l1:y=±x-1.16分
2.(2017·苏北四市期末)如图5,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点为A(-4,0),过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D,交y轴于点E.
图5
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P为AD的中点,是否存在定点Q,对于任意的k(k≠0)都有OP⊥
EQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M,求的最小值.
[解] (1)因为左顶点为A(-4,0),所以a=4,
又e=,所以c=2,b2=a2-c2=12,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)直线l的方程为y=k(x+4),由消元得,+=1.
化简得(x+4)[(4k2+3)x+16k2-12]=0,所以x1=-4,x2=.8分
当x=时,y=k=,所以D.
因为P为AD的中点,
所以P的坐标为,kOP=-(k≠0),
直线l的方程为y=k(x+4),令x=0得E点坐标为(0,4k),
假设存在定点Q(m,n)(m≠0),使得OP⊥EQ,则kOP·kEQ=-1,即-·=-1恒成立,
所以(4m+12)k-3n=0恒成立,所以即
所以存在定点Q,对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ,且定点Q的坐标为(-3,0).12分
(3)因为OM∥l,所以OM的方程可设为y=kx,
由得M点的横坐标为x=±,
由OM∥l,得==
==·
=≥2,
当且仅当=即k=±时取等号,
所以当k=±时,的最小值为2.16分