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- 2021-06-15 发布
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专题强化训练
1.用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少应取( )
A.7 B.8
C.9 D.10
解析:选B.据已知可转化为>,整理得2n>128,解得n>7,故原不等式的初始值为n=8.
2.设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4a8=32,则S11的最小值为( )
A.22 B.44
C.22 D.44
解析:选B.因为数列{an}为各项均为正数的等差数列,所以a4+a8≥2=8,S11==(a4+a8)≥×8=44,故S11的最小值为44,当且仅当a4=a8=4时取等号.
3.设等比数列{an}的各项均为正数,且a1=,a=4a2a8,若=log2a1+log2a2+…+log2an,则数列{bn}的前10项和为( )
A.- B.
C.- D.
解析:选A.设等比数列{an}的公比为q,因为a=4a2a8,所以(a1q3)2=4a1q·a1q7,即4q2=1,所以q=或q=-(舍),所以an==2-n,所以log2an=log22-n=-n,所以=-(1+2+3+…+n)=-,所以bn=-=-2,
所以数列{bn}的前10项和为
-2
=-2=-.
4.若等比数列的各项均为正数,前4项的和为9,积为,则前4项倒数的和为( )
A. B.
C.1 D.2
解析:选D.设等比数列的首项为a1,公比为q,则第2,3,4项分别为a1q,a1q2,a1q3,依题意得a1+a1q+a1q2+a1q3=9,a1·a1q·a1q2·a1q3=⇒aq3=,两式相除得=+++=2.
5.证明1++++…+>(n∈N+),假设n=k时成立,当n=k+1时,不等式左边增加的项数是( )
A.1 B.k-1
C.k D.2k
解析:选D.当n=k时,
左边=1+++…+.
当n=k+1时,
左边=1+++…+++…+,
增加了+…+,共(2k+1-1)-2k+1=2k(项).
6.在等差数列{an}中,a2=5,a6=21,记数列的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn≤对任意的n∈N*恒成立,则正整数m的最小值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:选C.在等差数列{an}中,因为a2=5,a6=21,
所以解得a1=1,d=4,
所以==.
因为-
=-
=--=--
=+>0,所以数列
(n∈N*)是递减数列,数列(n∈N*)的最大项为S3-S1=+=,所以≤
,m≥.又m是正整数,所以m的最小值是5.
7.(2019·温州七杭联考)在各项都为正数的数列{an}中,首项a1=2,且点(a,a)在直线x-9y=0上,则数列{an}的前n项和Sn等于( )
A.3n-1 B.
C. D.
解析:选A.由点(a,a)在直线x-9y=0上,得a-9a=0,即(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又数列{an}各项均为正数,且a1=2,所以an+3an-1>0,所以an-3an-1=0,即=3,所以数列{an}是首项a1=2,公比q=3的等比数列,其前n项和Sn===3n-1,故选A.
8.(2019·高考浙江卷)设a,b∈R,数列{an}满足a1=a,an+1=a+b,n∈N*,则( )
A.当b=时,a10>10 B.当b=时,a10>10
C.当b=-2时,a10>10 D.当b=-4时,a10>10
解析:选A.当b=时,因为an+1=a+,所以a2≥,又an+1=a+≥an,故a9≥a2×()7≥×()7=4,a10>a≥32>10.当b=时,an+1-an=,故a1=a=时,a10=,所以a10>10不成立.同理b=-2和b=-4时,均存在小于10的数x0,只需a1=a=x0,则a10=x0<10,故a10>10不成立.所以选A.
9.(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6>S7>S5,则an>0的最大n=________,满足SkSk+1<0的正整数k=________.
解析:因为等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6>S7>S5,
所以依题意a6=S6-S5>0,a7=S7-S6<0,a6+a7=S7-S5>0,
所以an>0的最大n=6.
所以S11==11a6>0,
S12==>0,
S13==13a7<0,
所以S12S13<0,即满足SkSk+1<0的正整数k=12.
答案:6 12
10.数列{an}中,a1=2,an+1=,则通项公式an=________.
解析:因为an+1=,所以=+.
所以数列是首项为,公差为的等差数列,
所以=+(n-1)×=+=,
所以an=.
答案:
11.(2019·丽水调研)设等差数列{an}满足a3+a7=36,a4a6=275,且anan+1有最小值,则这个最小值为________.
解析:设等差数列{an}的公差为d,因为a3+a7=36,
所以a4+a6=36,
与a4a6=275,联立,解得或
当时,可得此时an=7n-17,a2=-3,a3=4,易知当n≤2时,an<0,当n≥3时,an>0,所以a2a3=-12为anan+1的最小值;
当时,可得此时an=-7n+53,a7=4,a8=-3,易知当n≤7时,an>0,当n≥8时,an<0,所以a7a8=-12为anan+1的最小值.
综上,anan+1的最小值为-12.
答案:-12
12.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是________.
解析:由S5S6+15=0,得·+15=0.
整理可得2a+9a1d+10d2+1=0.
因为a1,d为实数,所以Δ=(9d)2-4×2×(10d2+1)≥0,
解得d≤-2或d≥2.
答案:d≤-2或d≥2
13.(2019·兰州诊断考试)已知数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,且当n≥2时,有=1成立,则S2 017=________.
解析:当n≥2时,由=1,得2(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)Sn-S=-SnSn-1,
所以-=1,又=2,所以是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以=n+1,故Sn=,
则S2 017=.
答案:
14.已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}.记Sn为数列{an}的前n项和,则使得Sn>12an+1成立的n的最小值为________.
解析:所有的正奇数和2n(n∈N*)按照从小到大的顺序排列构成{an},在数列{an}中,25前面有16个正奇数,即a21=25,a38=26.当n=1时,S1=1<12a2=24,不符合题意;当n=2时,S2=3<12a3=36,不符合题意;当n=3时,S3=6<12a4=48,不符合题意;当n=4时,S4=10<12a5=60,不符合题意;…;当n=26时,S26=+=441+62=503<12a27=516,不符合题意;当n=27时,S27=+=484+62=546>12a28=540,符合题意.故使得Sn>12an+1成立的n的最小值为27.
答案:27
15.(2018·高考天津卷)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(1)求Sn和Tn;
(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.
解:(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,
可得q2-q-2=0.
因为q>0,可得q=2,故bn=2n-1.
所以,Tn==2n-1.
设等差数列{an}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.
由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n.
所以,Sn=.
(2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.
由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.
所以,n的值为4.
16.已知数列{an}满足:a1=,an=a+an-1(n≥2且n∈N).
(1)求a2,a3;
(2)设数列{a}的前n项和为An,数列{}的前n项和为Bn,证明:=an+1.
解:(1)a2=a+a1=+=,
a3=a+a2=+=.
(2)证明:因为an=a+an-1,所以a=an-an-1,
所以An=a+a+a+…+a=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an+1-an)=an+1-,
因为an=a+an-1=an-1(an-1+1),
所以==-,
所以=-,
所以Bn=++…+=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-.
所以==an+1.
17.设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通项公式an;
(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.
解:(1)由题意得则又当n≥2时,
由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.
(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1.
当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.
当n≥3时,
Tn=3+-=,
所以Tn=
18.(2019·浙江“七彩阳光”联盟联考)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,数列{bn}的前n项的和为Sn,试求数列{S2n-Sn}的最小值.
解:(1)由条件an+1=2an得=2·,又a1=2,所以=2,因此数列构成首项为2,公比为2的等比数列,从而=2·2n-1=2n,因此,an=n·2n.
(2)由(1)得bn=,设cn=S2n-Sn,则cn=++…+,
所以cn+1=++…+++,
从而cn+1-cn=+->+-=0,
因此数列{cn}是单调递增的,所以{cn}min=c1=.