2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第十章　8 第8讲　离散型随机变量的均值与方差 19页

第 8 讲　离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望，它 反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)D(X)＝ ∑ n i＝1 (xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度，其算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差． 2．均值与方差的性质 Error!(a，b 为常数)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 X X 服从两点分布 X～B(n，p) E(X) p(p 为成功概率) np D(X) p(1－p) np(1－p) [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　　) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准 差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　　) (3)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× [教材衍化] 1．(选修 2­3P68A 组 T1 改编)已知 X 的分布列为 X －1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 设 Y＝2X＋3，则 E(Y)＝________． 解析：E(X)＝－ 1 2＋ 1 6＝－ 1 3， E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－ 2 3＋3＝ 7 3. 答案： 7 3 2．(选修 2­3P68A 组 T5 改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机 变量 X，Y，其分布列分别为： X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1. E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9， 因为 E(Y)E(Y)， 所以从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适． 核心素养系列 22　数据分析——利用期望与方差进行决策 　某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件， 在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件 不足再购买．则每个 500 元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并 整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率， 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零 件数． (1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(X≤n)≥0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n＝19 与 n＝20 之中选其一．应 选用哪个？ 【解】　(1)由柱状图并以频率代替概率可得， 一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2， 0.2. 可知 X 的所有可能取值为 16，17，18，19，20，21，22， P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以 X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知 P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故 n 的最小值为 19. (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)． 当 n＝19 时， E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋ 3×500)×0.04＝4 040. 当 n＝20 时， E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知当 n＝19 时所需费用的期望值小于 n＝20 时所需费用的期望值，故应选 n＝19. 利用期望与方差进行决策的方法 (1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量 ξ1，ξ2 的期望，当 E(ξ1)＝E(ξ2) 时，不应误认为它们一样好，需要用 D(ξ1)，D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度，偏离 程度小的更好． (2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近． (3)若对平均水平或者稳定性没有明确要求时，一般先计算期望，若相等，则由方差来 确定哪一个更好．若 E(ξ1)与 E(ξ2)比较接近，且期望较大者的方差较小，显然该变量更好； 若 E(ξ1)与 E(ξ2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较 理想的平均水平还是选择较稳定．　 [基础题组练] 1．若随机变量 X 的分布列为 X C P 1 ，其中 C 为常数，则下列结论正确的是(　　) A．E(X)＝D(X)＝0 B．E(X)＝C，D(X)＝0 C．E(X)＝0，D(X)＝C D．E(X)＝D(X)＝C 解析：选 B.E(X)＝C×1＝C，D(X)＝(E(X)－C)2×1＝0，故选 B. 2．(2020·稽阳市联谊学校高三联考)随机变量 ξ 的分布列如下，且满足 E(ξ)＝2，则 E(aξ ＋b)的值为(　　) ξ 1 2 3 P a b c A.0　　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．无法确定，与 a，b 有关 解析：选 B.因为 E(ξ)＝2，则 a＋2b＋3c＝2，又 a＋b＋c＝1，联立两式可得 a＝c，2a＋ b＝1，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1. 3．(2018·高考浙江卷)设 0p2，E(ξ1)E(ξ2) C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p10，所以 p1>p2. 11．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数ξ的分布列如下： ξ 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 已知 ξ 的均值 E(ξ)＝4.3，则 y 的值为____________． 解析：由题意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又 E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，两式联 立解得 y＝0.2. 答案：0.2 12．已知 X 的分布列为 X －1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 且 Y＝aX＋3，E(Y)＝ 7 3，则 a 的值为__________． 解析：E(X)＝－1× 1 2＋0× 1 3＋1× 1 6＝－ 1 3，E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－ 1 3a＋3＝ 7 3，所 以 a＝2. 答案：2 13．设口袋中有黑球、白球共 9 个．从中任取 2 个球，若取到白球个数的数学期望为 2 3， 则口袋中白球的个数为________． 解析：设白球有 m 个，则取得白球的数学期望是 C－m C ×0＋ C－mC C ×1＋ C C×2＝ 2 3，即 （9－m）m 36 ＋ m（m－1） 2 36 ×2＝ 2 3， 解得 m＝3. 答案：3 14．随机变量 ξ 的分布列如下表： ξ －1 0 1 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列．若 E(ξ)＝ 1 3，则 D(ξ)的值是________． 解析：由题意可得{－1·a＋0·b＋1·c＝1 3， a＋b＋c＝1， 2b＝a＋c， 解得{a＝1 6， b＝1 3， c＝1 2， 所以 D(ξ)＝(－1－1 3) 2 × 1 6＋(0－1 3 ) 2 × 1 3＋(1－1 3 ) 2 ×1 2＝ 5 9. 答案： 5 9 15．已知随机变量 ξ 的分布列为 ξ －1 0 1 P 1 2 1 6 1 3 那么 ξ 的数学期望 E(ξ)＝________，设 η＝2ξ＋1，则 η 的数学期望 E(η)＝________． 解析：由离散型随机变量的期望公式及性质可得， E(ξ)＝－1× 1 2＋0× 1 6＋1× 1 3＝－ 1 6， E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×(－1 6 )＋1＝2 3. 答案：－ 1 6　 2 3 16．(2020·浙江新高考冲刺卷)某中学的十佳校园歌手有 6 名男同学，4 名女同学，其中 3 名来自 1 班，其余 7 名来自其他互不相同的 7 个班，现从 10 名同学中随机选择 3 名参加 文艺晚会，则选出的 3 名同学来自不同班级的概率为________，设 X 为选出 3 名同学中女 同学的人数，则该变量 X 的数学期望为________． 解析：设“选出的 3 名同学是来自互不相同班级”为事件 A，则 P(A)＝ C × C＋C C ＝ 49 60. 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，P(X＝k)＝ CC C (k＝0，1，2，3)． 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 随机变量 X 的数学期望 E(X)＝0＋1× 1 2＋2× 3 10＋3× 1 30＝ 6 5. 答案： 49 60　 6 5 17．从 4 双不同鞋子中任取 4 只，则其中恰好有一双的不同取法有________种，记取出 的 4 只鞋子中成双的鞋子对数为 X，则随机变量 X 的数学期望 E(X)＝________． 解析：①从 4 双不同鞋子中任取 4 只，则其中恰好有一双的不同取法有 C14C23C12C12＝48. ②X＝0，1，2，P(X＝0)＝ （C）4 C ＝ 8 35，P(X＝1)＝ 48 C ＝ 24 35，P(X＝2)＝ C C＝ 3 35. X 的分布列为 X 0 1 2 P 8 35 24 35 3 35 E(X)＝0＋1× 24 35＋2× 3 35＝ 6 7. 答案：48　 6 7 [综合题组练] 1．袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n＝1，2， 3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求 X 的分布列、期望和方差； (2)若 Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求 a，b 的值． 解：(1)X 的取值为 0，1，2，3，4，其分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 所以 E(X)＝0× 1 2＋1× 1 20＋2× 1 10＋3× 3 20＋4× 1 5＝1.5， D(X)＝(0－1.5)2× 1 2＋(1－1.5)2× 1 20＋(2－1.5)2× 1 10＋(3－1.5)2× 3 20＋(4－1.5)2× 1 5＝2.75. (2)由 D(Y)＝a2D(X)得 2.75a2＝11，得 a＝±2， 又 E(Y)＝aE(X)＋b， 所以当 a＝2 时，由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2； 当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4， 所以{a＝2， b＝－2或{a＝－2， b＝4. 2．设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出 一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分． (1)当 a＝3，b＝2，c＝1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球， 记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和，求 ξ 的分布列； (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 η 为取出此球所得分 数．若 Eη＝ 5 3，Dη＝ 5 9，求 a∶b∶c. 解：(1)由题意得 ξ＝2，3，4，5，6. 故 P(ξ＝2)＝ 3 × 3 6 × 6＝ 1 4， P(ξ＝3)＝ 2 × 3 × 2 6 × 6 ＝ 1 3， P(ξ＝4)＝ 2 × 3 × 1＋2 × 2 6 × 6 ＝ 5 18， P(ξ＝5)＝ 2 × 2 × 1 6 × 6 ＝ 1 9， P(ξ＝6)＝ 1 × 1 6 × 6＝ 1 36. 所以 ξ 的分布列为 ξ 2 3 4 5 6 P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 (2)由题意知 η 的分布列为 η 1 2 3 P a a＋b＋c b a＋b＋c c a＋b＋c 所以 Eη＝ a a＋b＋c＋ 2b a＋b＋c＋ 3c a＋b＋c＝ 5 3， Dη＝(1－5 3)2· a a＋b＋c＋(2－ 5 3)2· b a＋b＋c＋(3－ 5 3)2· c a＋b＋c＝ 5 9， 化简得{2a－b－4c＝0， a＋4b－11c＝0. 解得 a＝3c，b＝2c，故 a∶b∶c＝3∶2∶1. 3．C1：y＝ax＋b，a，b∈{1，2，3，4，5}，C2：x2＋y2＝2. (1)求 C1，C2 有交点的概率 P(A)； (2)求交点个数的数学期望 E(ξ)． 解：(1)设圆心(0，0)到直线 ax－y＋b＝0 的距离为 d，若 C1，C2 有交点，则 d＝ b a2＋1 ≤ 2⇒b2≤2(a2＋1)． 当 b＝1 时，a＝1，2，3，4，5；当 b＝2 时，a＝1，2，3，4，5；当 b＝3 时，a＝2， 3，4，5；当 b＝4 时，a＝3，4，5；当 b＝5 时，a＝4，5.共 5＋5＋4＋3＋2＝19 种情况， 所以 P(A)＝ 19 5 × 5＝ 19 25. (2)当交点个数为 0 时，直线与圆相离，有 6 种情况； 当交点个数为 1 时，直线与圆相切，b2＝2(a2＋1)，只有 a＝1，b＝2 这 1 种情况； 当交点个数为 2 时，由(1)知直线与圆相交，有 18 种情况． 所以 E(ξ)＝0× 6 25＋1× 1 25＋2× 18 25＝ 37 25. 4．(2020·温州八校联考)某公司准备将 1 000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有 甲、乙两个建设项目供选择．若投资甲项目一年后可获得的利润 ξ1(万元)的概率分布列如下 表所示： ξ1 110 120 170 P m 0.4 n 且 ξ1 的期望 E(ξ1)＝120；若投资乙项目一年后可获得的利润 ξ2(万元)与该项目建设材料 的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的 价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为 p(0＜p＜1)和 1－p .若乙项目产品价格一 年内调整次数 X(次)与 ξ2 的关系如下表所示： X 0 1 2 ξ2 41.2 117.6 204 (1)求 m，n 的值； (2)求 ξ2 的分布列； (3)若 E(ξ1)＜E(ξ2)，则选择投资乙项目，求此时 p 的取值范围． 解：(1)由题意得{m＋0.4＋n＝1， 110m＋120 × 0.4＋170n＝120， 解得 m＝0.5，n＝0.1. (2)ξ2 的可能取值为 41.2，117.6，204， P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)， P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(ξ2＝204)＝p(1－p)， 所以 ξ2 的分布列为 ξ2 41.2 117.6 204 P p(1－p) p2＋(1－p)2 p(1－p) (3)由(2)可得： E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6， 由 E(ξ1)＜E(ξ2)， 得 120＜－10p2＋10p＋117.6， 解得 0.4＜p＜0.6， 即当选择投资乙项目时，p 的取值范围是(0.4，0.6)．