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- 2021-06-15 发布
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1.2.2组合
一、选择题
1、12名同学合影,站成了前排4人后排8人.现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( )
A.CA B.CA
C.CA D.CA
2、某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位员工中的甲不值4日,乙不值6日,则不同的安排方法共有( )
A.30种 B.36种 C.42种 D.48种
3、房间里有5个电灯,分别由5个开关控制,若至少开一个灯用以照明,则不同的开灯方法种数为( )
A.32 B.31 C.25 D.10
4、某施工小组有男工7人,女工3人,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队,则不同的选法有( )
A.C种 B.A种
C.A·A种 D.C·C种
5、已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点不共线,则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为( )
A.3 B.4 C.12 D.24
6、从5人中选3人参加座谈会,则不同的选法有( )
A.60种 B.36种 C.10种 D.6种
二、填空题
7、若对∀x∈A,有∈A,就称A是“具有伙伴关系”的集合,则集合M={-1,0,,,1,2,3,4}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为________.
8、有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有________种.
9、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有________种.
三、解答题
10、有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,其余5人既会划左舷又会划右舷,现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛,问有多少种不同的选法?
11、将5位志愿者分成三组,其中两组各2人,另一组1人,分赴世博会的三个不同场馆服务,则不同的分配方案有________种.
12、车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外2名老师傅既能当车工又能当钳工,现要在这11名工人里选派4名钳工,4名车工修理一台机床,问有多少种选派方法?
13、假设在100件产品中有3件是次品,从中任意抽取5件,求下列抽取方法各有多少种?
(1)没有次品;(2)恰有2件是次品;(3)至少有2件是次品.
以下是答案
一、选择题
1、C [从后排8人中选2人,有C种选法,这2人插入前排4人中且保证其他人的相对顺序不变,则先向前排4人中(5个空档)插入1人,有5种插法,余下的1人则要插入前排5人中(6个空档),有6种插法,即2人共有A种插法,所以共有CA种不同调整方法.]
2、C [若甲在6日值班,在除乙外的4人中任选1人在6日值班有C种选法,然后4日、5日有CC种安排方法,共有CCC=24(种)安排方法;
若甲在5日值班,乙在4日值班,余下的4人有CCC=12(种)安排方法;
若甲、乙都在5日值班,则共有CC=6(种)安排方法.
所以总共有24+12+6=42(种)安排方法.]
3、B [因为开灯照明只与开灯的多少有关,而与开灯的先后顺序无关,这是一个组合问题.
开1个灯有C种方法,开2个灯有C种方法,……5个灯全开有C种方法,根据分类加法计数原理,不同的开灯方法有C+C+…+C=31(种).]
4、D [每个被选的人都无角色差异,是组合问题.
分2步完成:
第1步,选女工,有C种选法;
第2步,选男工,有C种选法;
故有C·C种不同选法.]
5、B
6、C [所求为5选3的组合数C=10(种).]
二、填空题
7、15
解析 具有伙伴关系的元素组有-1;1;,2;,3,共4组,所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组,又集合中的元素是无序的,因此,
所求集合的个数为C+C+C+C=15.
8、432
解析 分3类:第1类,当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时,不同的排法有C·C·C·C·A种;
第2类,当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时,不同的排法有C·C·A种;
第3类,当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时,不同的排法有C·C·A种.
故满足题意的所有不同的排法共有C·C·C·C·A+C·C·A+C·C·A=432(种).
9、600
解析 可以分情况讨论:①甲、丙同去,则乙不去,有C·A=240(种)选法;②甲、丙同不去,乙去,有C·A=240(种)选法;③甲、乙、丙都不去,有A=120(种)选法,所以共有600种不同的选派方案.
三、解答题
10、解 设集合A={只会划左舷的3个人},B={只会划右舷的4个人},C={既会划左舷又会划右舷的5个人}.
先分类,以集合A为基准,划左舷的3个人中,有以下几类情况:
①A中有3人;
②A中有2人;C中有1人;
③A中有1人,C中有2人;
④C中有3人.
第①类,划左舷的人已选定,划右舷的人可以在B∪C中选3人,即有C种选法.
因是分步问题,所以有C·C种选法.
第②类,划左舷的人在A中选2人,C种选法,在C中选1人,有C种选法,划右舷的在B∪C中剩下的8个人中选3人,有C种选法.
因是分步问题,所以有C·C·C种选法.
类似地,第③类,有C·C·C种选法,
第④类有C·C·C种选法.
所以一共有C·C+C·C·C+C·C·C+C·C·C=84+840+1 050+200=2 174(种)选法.
11、90
解析 分成3组有=15(种)分法.
分赴世博会三个场馆有A=6(种)方法,
∴共有15×6=90(种).
12、解 设A,B代表2名老师傅.
A,B都不在内的选派方法有C·C=5(种);
A,B都在内且当钳工的选派方法有C·C·C=10(种);
A,B都在内且当车工的选派方法有C·C·C=30(种);
A,B都在内,一人当钳工,一人当车工的选派方法有C·A·C·C=80(种);
A,B有一人在内且当钳工的选派方法有C·C·C=20(种);
A,B有一人在内且当车工的选派方法有C·C·C=40(种);
所以共有5+10+30+80+20+40=185(种)选派方法.
13、解 (1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法,共有C=64 446 024(种).
(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件,并从3件次品中抽2件的抽法,共有CC=442 320(种).
(3)至少有2件是次品的抽法,按次品件数来分有两类:
第一类,从97件正品中抽取3件,并从3件次品中抽取2件,有CC种.
第二类,从97件正品中抽取2件,并将3件次品全部抽取,有CC种.
按分类加法计数原理有CC+CC=446 976(种).