2019届二轮复习（文）第十章统计与统计案例、概率第4节课件（29张）（全国通用） 29页

第 4 节　随机事件的概率 最新考纲　 1. 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别； 2. 了解两个互斥事件的概率加法公式 . 1. 概率与频率 (1) 频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验 中事件 A 出现的次数 n A 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 f n ( A ) ＝ 为 事件 A 出现的频率 . (2) 概率：对于给定的随机事件 A ，由于事件 A 发生的频率 f n ( A ) 随着试验次数的增加稳定于概率 P ( A ) ，因此可以 用 来 估计概率 P ( A ). 知 识 梳 理 频率 f n ( A ) 2. 事件的关系与运算 包含 B ⊇ A A ＝ B 并事件 交事件 ( 积事件 ) 若某事件发生 当且仅当 且 ， 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 ( 或积事件 ) A ∩ B ( 或 AB ) 互斥事件 若 A ∩ B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 A ∩ B ＝ ∅ 对立事件 若 A ∩ B 为不可能事件， A ∪ B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A ∩ B ＝ ∅ P ( A ∪ B ) ＝ 1 事件 A 发生 事件 B 发生 3. 概率的几个基本性质 (1) 概率的取值范围 ： . (2) 必然事件的概率 P ( E ) ＝ . (3) 不可能事件的概率 P ( F ) ＝ . (4) 互斥事件概率的加法公式 ① 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P ( A ∪ B ) ＝ . ② 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P ( A ) ＝ . 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 1 0 P ( A ) ＋ P ( B ) 1 － P ( B ) [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数 . 2. 对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件， “ 互斥 ” 是 “ 对立 ” 的必要不充分条件 . 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) ( 1) 事件发生的频率与概率是相同的 .( 　　 ) ( 2) 在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值 .( 　　 ) ( 3) 若随机事件 A 发生的概率为 P ( A ) ，则 0 ≤ P ( A ) ≤ 1.( 　　 ) ( 4)6 张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率 .( 　　 ) 答案 　 (1)× 　 (2)√ 　 (3)√ 　 (4)× 诊 断 自 测 2. ( 教材习题改编 ) 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，事件 “ 至少有一名女生 ” 与事件 “ 全是男生 ”( 　　 ) A . 是互斥事件，不是对立事件 B . 是对立事件，不是互斥事件 C . 既是互斥事件，也是对立事件 D . 既不是互斥事件也不是对立事件 解析 　 “ 至少有一名女生 ” 包括 “ 一男一女 ” 和 “ 两名女生 ” 两种情况，这两种情况再加上 “ 全是男生 ” 构成全集，且不能同时发生，故 “ 至少有一名女生 ” 与 “ 全是男生 ” 既是互斥事件，也是对立事件 . 答案 　 C 答案 　 A 4. 某射手在一次射击中，射中 10 环， 9 环， 8 环的概率分别为 0.2 ， 0.3 ， 0.1 ，则此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 ( 　　 ) A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9 解析 　依题设知，此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 1 － (0.2 ＋ 0.3) ＝ 0.5. 答案 　 A 5. (2018· 北京东城区调研 ) 经统计，在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下表： 则该营业窗口上午 9 点钟时，至少有 2 人排队的概率是 ________. 解析 　由表格知，至少有 2 人排队的概率 P ＝ 0.3 ＋ 0.3 ＋ 0.1 ＋ 0.04 ＝ 0.74. 答案 　 0.74 排队人数 0 1 2 3 4 ≥ 5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 考点一　随机事件间的关系 【例 1 】 (1) 袋中装有 3 个白球和 4 个黑球，从中任取 3 个球，则： ① 恰有 1 个白球和全是白球； ② 至少有 1 个白球和全是黑球； ③ 至少有 1 个白球和至少有 2 个白球； ④ 至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球 . 在 上述事件中，是对立事件的为 ( 　　 ) A . ① B . ② C . ③ D . ④ 解析 　 (1) 至少有 1 个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生 . 故 ② 中两事件是对立事件 . ③④ 不是互斥事件， ① 是互斥事件，但不是对立事件，因此是对立事件的只有 ② ，选 B. 答案 　 (1)B 　 (2)A 规律方法　 1. 准确把握互斥事件与对立事件的概念 (1) 互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生 . (2) 对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生 . 2. 判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 . 【训练 1 】 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 这五个数中任取两个数，其中： ① 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ② 至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③ 至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④ 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 . 上述事件中，是对立事件的是 ( 　　 ) A . ① B . ②④ C . ③ D . ①③ 解析 　从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 这五个数中任取两个数有 3 种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数 . 其中 “ 至少有一个是奇数 ” 包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件 . 又 ①②④ 中的事件可以同时发生，不是对立事件 . 答案 　 C 考点二　随机事件的频率与概率 【例 2 】 (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 . 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 ( 单位： ℃ ) 有关 . 如果最高气温不低于 25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 [20 ， 25) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ，需求量为 200 瓶 . 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10 ， 15) [15 ， 20) [20 ， 25) [25 ， 30) [30 ， 35) [35 ， 40] 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 . (1) 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y ( 单位：元 ) ，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 . 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. (2) 当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 200×6 ＋ (450 － 200)×2 － 450×4 ＝－ 100 ； 若最高气温位于区间 [20 ， 25) ，则 Y ＝ 300×6 ＋ (450 － 300)×2 － 450×4 ＝ 300 ； 若最高气温不低于 25 ，则 Y ＝ 450×(6 － 4) ＝ 900 ， 所以，利润 Y 的所有可能值为－ 100 ， 300 ， 900. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20 ， 因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 规律方法 　 1. 概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 . 2. 随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率 . 提醒　 概率的定义是求一个事件概率的基本方法 . 【训练 2 】 (2018· 武汉调研 ) 某鲜花店将一个月 (30 天 ) 某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量在各区间的销售天数占总天数的值视为概率 . (1) 求这 30 天中日销售量低于 100 枝的概率； (2) 若此花店在日销售量低于 100 枝的时候选择两天做促销活动，求这两天恰好是在日销售量低于 50 枝时的概率 . 日销售量 ( 枝 ) (0 ， 50) [50 ， 100) [100 ， 150) [150 ， 200) [200 ， 250] 销售天数 3 天 5 天 13 天 6 天 3 天 解　 (1) 设鲜花店日销售量为 x 枝， (2) 日销售量低于 100 枝共有 8 天，从中任选两天做促销活动，共有 28 种情况；日销售量低于 50 枝共有 3 天，从中任选两天做促销活动，共有 3 种情况 . 考点三　互斥事件与对立事件的概率 【例 3 】 ( 一题多解 ) 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求： (1) 至多 2 人排队等候的概率； (2) 至少 3 人排队等候的概率 . 解　 记 “ 无人排队等候 ” 为事件 A ， “1 人排队等候 ” 为事件 B ， “2 人排队等候 ” 为事件 C ， “3 人排队等候 ” 为事件 D ， “4 人排队等候 ” 为事件 E ， “5 人及 5 人以上排队等候 ” 为事件 F ，则事件 A ， B ， C ， D ， E ， F 彼此互斥 . (1) 记 “ 至多 2 人排队等候 ” 为事件 G ，则 G ＝ A ∪ B ∪ C ， 所以 P ( G ) ＝ P ( A ∪ B ∪ C ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＋ P ( C ) ＝ 0.1 ＋ 0.16 ＋ 0.3 ＝ 0.56. (2) 法一 　记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H ， 则 H ＝ D ∪ E ∪ F ， 所以 P ( H ) ＝ P ( D ∪ E ∪ F ) ＝ P ( D ) ＋ P ( E ) ＋ P ( F ) ＝ 0.3 ＋ 0.1 ＋ 0.04 ＝ 0.44. 法二　 记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H ，则其对立事件为事件 G ， 所以 P ( H ) ＝ 1 － P ( G ) ＝ 0.44. 【训练 3 】 某商场有奖销售活动中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得 .1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个 . 设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A ， B ， C ，求： ( 1) P ( A ) ， P ( B ) ， P ( C ) ； ( 2)1 张奖券的中奖概率； ( 3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 . (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖 . 设 “1 张奖券中奖 ” 这个事件为 M ， 则 M ＝ A ∪ B ∪ C . ∵ A ， B ， C 两两互斥， (3) 设 “1 张奖券不中特等奖且不中一等奖 ” 为事件 N ，则事件 N 与 “1 张奖券中特等奖或中一等奖 ” 为对立事件，