【数学】河北省唐山市2020届高三下学期第二次模拟试题（理）（解析版） 17页

河北省唐山市2020届高三下学期第二次模拟 数学试题（理）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题，则.‎ 故选：C.‎ ‎2.已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（ ）‎ A. B. 3‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，复数，‎ 因为复数为纯虚数，可得，解得.‎ 故选：A.‎ ‎3.已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）‎ A. B. 0‎ C. 10 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，等差数列的前n项和为， ，‎ 根据等差数列的性质，可得，‎ 又由.‎ 故选：C.‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，则.‎ 故选：A.‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ）‎ A. B. 3‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在棱长为的正方体中，根据三视图，截取四棱锥 如图：‎ 根据三视图可的：‎ 根据立体图形可知，最长边为 在中，根据勾股定理 在中，根据勾股定理 故该几何体的最长棱的长度 故选：B.‎ ‎6.已知以抛物线E：的焦点为圆心，与的准线相切的圆交于两点，则（ ）‎ A. 2 B. 4‎ C. D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】, 焦点，‎ 以为圆心的圆与抛物线准线相切，由抛物线定义及对称性知为抛物线通径.‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．‎ ‎7.某科考试成绩公布后，发现判错一道题，经修改后重新公布，下表是抽取10名学生的成绩，依据这些信息修改后的成绩与修改前的相比，这10名学生成绩的（ ）‎ 学生学号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 修改前成绩 ‎126‎ ‎130‎ ‎104‎ ‎100‎ ‎133‎ ‎123‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎139‎ ‎103‎ 修改后成绩 ‎126‎ ‎135‎ ‎99‎ ‎100‎ ‎138‎ ‎123‎ ‎95‎ ‎120‎ ‎144‎ ‎98‎ A. 平均分、方差都变小 B. 平均分、方差都变大 C. 平均分不变、方差变小 D. 平均分不变、方差变大 ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎，‎ 平均分不变，‎ 修改后的成绩与平均分对照，波动更大，‎ 方差变大，‎ 故选：D.‎ ‎8.若曲线在处的切线为，则t所在的区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 则，‎ 所以曲线在处的切线为，‎ 即，‎ 又曲线在处切线为，‎ 则，解得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即.‎ 故选：C.‎ ‎9.已知，有以下命题：①为的一个周期：②的图象关于直线对称；③在上单调；则正确命题的个数是（ ）‎ A. 3 B. 2‎ C 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，函数，‎ 对于①中，由，所以，‎ 所以不是的一个周期，故①不正确；‎ 对于②中，由，‎ ‎，‎ 即，所以函数关于对称，故②是正确的；‎ 对于③中，由，‎ 令，可得，‎ 所以函数在单调递增，在单调递减，‎ 又由时，单调递增，‎ 且，即，‎ 所以函数在上单调递减，故③是正确.‎ 故选：B.‎ ‎10.已知向量，满足，，则与的夹角的最大值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设与夹角为，‎ 整理可得：，即 ‎，代入 可得 可得：，即 整理可得：‎ 当且仅当，即取等号 故，结合，‎ 根据余弦函数图象可知最大值：‎ 故选：A.‎ ‎11.已知，若存在最小值，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 因为函数的定义域为R，‎ 所以若存在最小值，则有极小值点，‎ 所以有两个不相等的实根，.‎ 故选：A ‎12.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，设过的直线与C的右支相交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题，又，得，‎ 则，又，得，‎ 中，，‎ 在中，，‎ 则，化简得，‎ 则（舍）或，得.‎ 故选：D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知x，y满足约束条件，若的最大值为______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】不等式对应的平面区域如图：‎ ‎ 由得，平移直线， 由平移可知当直线，经过点A时， 直线的截距最小，此时z取得最大值， 由，解得， 即A（1，1）代入得， 即的最大值是0. 故答案为：0.‎ ‎14.在的展开式中，的系数是______.‎ ‎【答案】240；‎ ‎【解析】，‎ 当，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎15.在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设是的中点，由于，所以是三角形的外心，，‎ 由于，则， ，，所以平面，而平面，所以平面平面.由于三角形是等边三角形，设是三角形的外心，则也是三棱锥外接球的球心.设外接球的半径为，根据等边三角形的性质可知，所以外接球的表面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有最大值，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于，所以.‎ 由正弦定理得，所以，所以 ‎.当时，没有最大值.所以.‎ 则.其中，要使有最大值，则可以等于，由于，所以，所以，即，解得.所以的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.已知是数列的前n项和，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，求数列的前n项和.‎ 解：（1）由，可得：当时，，‎ 两式相减，得，即，‎ 当时，，得，即，即，‎ 所以，当时，，即是首项为1，公比为3的等比数列，‎ 所以数列的通项公式.‎ ‎（2）由，‎ 可得，‎ 所以.‎ ‎18.如图，在四边形中，，∥，，平面，平面，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若二面角是直二面角，求.‎ ‎（1）证明：连接，因为平面，平面，所以，‎ 因为，，所以，‎ 所以，可得，‎ 因为平面，平面，‎ 所以，所以A，C，F，E四点共面，‎ 又，所以平面，‎ 因为平面，所以.‎ ‎（2）解：如图所示，以A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正方向，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，‎ ‎，，.‎ 则，，‎ ‎，.‎ 设平面的法向量，则，‎ 即，取，，，则，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 即，取，，，则，‎ 由二面角是直二面角，则，即，解得.‎ 所以.‎ ‎19.某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个兵乓球，球上分别标0，1，2，…，9这十个自然数，每位员工有放回的依次取出三个球.规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖.中奖奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2000元现金；其它不中奖，没有奖金.‎ ‎（1）求员工A中二等奖的概率；‎ ‎（2）设员工A中奖奖金为X，求X的分布列；‎ ‎（3）员工B是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B中奖奖金的期望.‎ 解：（1）记事件“员工A中二等奖的概率”为M，有放回的依次取三个球的取法有种.‎ 中二等奖取法有两类：一类是前两次取到同一数字，从10个数字中取出2个，较大的数是前两次取出的数，较小的数是第3次取出的数有种；另一类是后两次取到同一数字，同理有种，共90种，则.‎ ‎（2）X的可能取值为0，2000，5000，10000.‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 则X的分布列为 X ‎10000‎ ‎5000‎ ‎2000‎ ‎0‎ P ‎0.01‎ ‎0.09‎ ‎0.12‎ ‎0.78‎ ‎（3）由（2）可知A中奖奖金的期望，‎ 元.‎ 员工B每次中奖奖金的期望和A一样，‎ 由题意可知,员工B中奖奖金的期望是1580元.‎ ‎20.已知函数 ‎（1）求函数的最小值 ‎（2）若,证明：‎ 解：（1）,.‎ 所以时,,单调递减；‎ 时,,单调递增,‎ 从而时,取得最小值.‎ ‎（2）由（1）得,,‎ 所以当时,,‎ 令,‎ 则.‎ 令,,‎ 则,‎ 因为,所以,从而,‎ 因此在上单调递增,又,‎ 所以时,,从而,单调递减；‎ 时,,从而,单调递增,‎ 因此.‎ 故,.‎ ‎21.已知，是椭圆T.上的两点，且A点位于第一象限.过A做x轴的垂线，垂足为点C，点D满足，延长交T于点.‎ ‎（1）设直线，的斜率分别为，.‎ ‎（i）求证：；‎ ‎（ii）证明：是直角三角形；‎ ‎（2）求的面积的最大值.‎ 解：（1）（i）由题意可得，所以，‎ 又，因此.‎ ‎（ii）因为，都在T上，‎ 所以，，从而，‎ 即.‎ 又，，所以，‎ 由（i），则，即.‎ 故是直角三角形.‎ ‎（2）由（1）得，：，‎ 将直线代入椭圆T，并整理可得，‎ 所以.‎ ‎，‎ 因为，所以.‎ 令，则，等号当且仅当时成立.‎ 从而，‎ 因为在上单调递增，所以时，取得最小值，‎ 故时，取得最大值.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线C：，直线l：.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线C与直线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知P为曲线C上一点，于H，求的最大值.‎ 解：（1）由，得 曲线C：，即；‎ 直线l：（）.‎ ‎（2）依题意，设，，则，‎ 所以，‎ ‎，‎ 因此 ‎.‎ 所以当，即时，取得最大值1.‎ ‎ [选修4-5：不等式选讲] ‎ ‎23.已知，，.‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ 解：（1）因为，，所以，由，得，‎ 故，，当且仅当时，等号成立.‎ ‎（2）由得.‎ ‎.‎ 当且仅当，且时，两个等号同时成立.‎ 即当且仅当且，的最小值是.‎