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  • 2021-06-15 发布

高中数学选修2-2课时练习第五章 2_2

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‎2.2 复数的乘法与除法 ‎[学习目标]‎ ‎1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.‎ ‎2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.‎ ‎3.理解共轭复数的概念.‎ ‎[知识链接]‎ 写出下列各小题的计算结果:‎ ‎(1)(a±b)2=________;‎ ‎(2)(‎3a+2b)(‎3a-2b)=________;‎ ‎(3)(‎3a+2b)(-a-3b)=________.‎ ‎(4)(x-y)÷(+)=________.‎ 答 (1)a2±2ab+b2 (2)‎9a2-4b2‎ ‎(3)-‎3a2-11ab-6b2 (4)- ‎[预习导引]‎ ‎1.复数的乘法 设a+bi与c+di分别是任意两个复数 ‎(1)定义:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.‎ ‎(2)运算律 交换律:z1·z2=z2·z1.‎ 结合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3).‎ 分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.‎ ‎(3)复数的乘方 zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=zz.‎ ‎2.共轭复数 ‎(1)定义:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这样的两个复数叫做互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示,即若z=a+bi,则=a-bi.‎ ‎(2)性质:z·=|z|2=||2.‎ ‎3.复数的除法 =+·i.(c2+d2≠0)‎ ‎                   ‎ 要点一 复数乘除法的运算 例1 计算:(1)(2+i)(2-i); (2)(1+2i)2‎ 解 (1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5;‎ ‎(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.‎ 规律方法 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.‎ ‎(2)像3+4i和3-4i这样的两个复数叫做互为共轭复数,其形态特征为a+bi和a-bi,其数值特征为(a+bi)(a-bi)=a2+b2.‎ 跟踪演练1 计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)‎ ‎(2)(3+4i)(3-4i)‎ ‎(3)(1+i)2‎ 解 (1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=‎ ‎-20+15i.‎ ‎(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.‎ ‎(3)(1+i)2=1+2i+i2=2i.‎ 要点二 复数的乘方运算 例2 计算下列各题:‎ ‎(1)+-;‎ ‎(2)(+i)5+4+7;‎ ‎(3)12+8.‎ 解 (1)原式=[(1+i)2]3·+[(1-i)2]3·- ‎=(2i)3·i+(-2i)3·(-i)- ‎=8+8-16-16i=-16i.‎ ‎(2)(+i)5+4+7‎ ‎=-i·()5·[(1+i)2]2·(1+i)+2+i7‎ ‎=16(-1+i)--i ‎=-+(16-1)i.‎ ‎(3)12+8‎ ‎=(-i)12·12+8‎ ‎=12+ ‎=4+(-8+8i)‎ ‎=1-8+8i=-7+8i.‎ 规律方法 (1)虚数单位i的周期性.‎ ‎①i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N).‎ n也可以推广到整数集.‎ ‎②in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N).‎ ‎(2)记住以下结果,可提高运算速度.‎ ‎①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i.‎ ‎②=-i,=i.‎ ‎③=-i.‎ 跟踪演练2 计算+2 004+;‎ 解 原式=+1 002‎ ‎+(4-8i+8i-4) ‎=i+(-i)1 002+0=-1+i.‎ 要点三 共扼复数及其应用 例3 已知复数z满足:z·+2iz=8+6i,求复数z的实部与虚部的和.‎ 解 设z=a+bi(a,b∈R),则z·=a2+b2,‎ ‎∴a2+b2+2i(a+bi)=8+6i,‎ 即a2+b2-2b+2ai=8+6i,‎ ‎∴,‎ 解得,∴a+b=4,‎ ‎∴复数z的实部与虚部的和是4.‎ 规律方法 本题使用了复数问题实数化思想,运用待定系数法,化解了问题的难点.‎ 跟踪演练3 已知复数z满足|z|=1,且(3+4i)z是纯虚数,求z的共轭复数.‎ 解 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi且|z|==1,即a2+b2=1.①‎ 因为(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(‎3a-4b)+(3b+‎4a)i,而(3+4i)z是纯虚数,‎ 所以‎3a-4b=0,且3b+‎4a≠0.②‎ 由①②联立,解得或 所以=-i,或=-+i.‎ ‎1.复数-i+等于(  )                   ‎ A.-2i B.i C.0 D.2i 答案 A 解析 -i+=-i-=-2i,选A.‎ ‎2.(2013·江西)已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=(  )‎ A.-2i B.2i C.-4i D.4i 答案 C 解析 本题考查复数的四则运算以及集合的基本运算.因为M∩N={4},所以zi=4,设z=a+bi(a,b∈R),zi=-b+ai,由zi=4,利用复数相等,得a=0,b=-4.故选C.‎ ‎3.若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+z)z等于(  )‎ A.1+3i B.3+3i C.3-i D.3‎ 答案 A 解析 (1+z)·z=(2+i)·(1+i)=(2×1-1)+(2+1)i=1+3i.‎ ‎4.设复数z的共轭复数是,若复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·2是实数,则实数t等于(  )‎ A. B. C.- D.- 答案 A 解析 ∵z2=t+i,∴2=t-i.‎ z1·3=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i,‎ 又∵z1·2∈R,∴4t-3=0,∴t=.‎ ‎5.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 解析 因为z===,故复数z对应的点在第四象限,选D.‎ ‎1.复数代数形式的乘除运算 ‎(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式,复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.‎ ‎(2)在进行复数代数形式的除法运算时,通常先将除法写成分式的形式,再把分子、分母都乘以分母的共轭复数,化简后可得,类似于以前学习的分母有理化.‎ ‎2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.‎ ‎3.复数问题实数化思想.‎ 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,其桥梁是设复数z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等的充要条件转化.‎ 一、基础达标 ‎1.设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则z等于(  )                   ‎ A.-i B.i C.-1 D.1‎ 答案 A 解析 z==-i.‎ ‎2.i为虚数单位,+++等于(  )‎ A.0 B.2i C.-2i D.4i 答案 A 解析 =-i,=i,=-i,=i,∴+++=0.‎ ‎3.若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则(  )‎ A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1‎ C.a=-1,b=-1 D.a=1,b=-1‎ 答案 D 解析 ∵(a+i)i=-1+ai=b+i,∴.‎ ‎4.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 +(1+i)2=+i+(-2+2i)=-+i,对应点 在第二象限.‎ ‎5.设复数i满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),则z的实部是________.‎ 答案 1‎ 解析 由i(z+1)=-3+2i得到z=-1=2+3i-1=1+3i.‎ ‎6.复数的虚部是________.‎ 答案 - 解析 原式===-i,‎ ‎∴虚部为-.‎ ‎7.计算:(1)+2 010;‎ ‎(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).‎ 解 (1)+2 010=+1 005‎ ‎=i(1+i)+1 005=-1+i+(-i)1 005‎ ‎=-1+i-i=-1.‎ ‎(2)原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)‎ ‎=22-14i+25-25i=47-39i.‎ 二、能力提升 ‎8.(2013·新课标)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=(  )‎ A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 答案 A 解析 因为复数z满足z(1-i)=2i,所以z===-1+i.‎ ‎9.(2013·山东)若复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为(  )‎ A.2+i B.2-i ‎ C.5+i D.5-i 答案 D 解析 由(z-3)(2-i)=5,得z=+3=+3=+3=2+i+3=5+i.所以=5-i,选D.‎ ‎10.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于________.‎ 答案 -2i 解析 设z=bi(b∈R,b≠0),则====+i是实数,所以b+2=0,b=-2,所以z=-2i.‎ ‎11.(2013·山东聊城期中)已知复数z=,若z2+az+b=1+i(a,b∈R),求a+b的值.‎ 解 由z=,‎ 得z===1-i,‎ 又z2+az+b=1+i,‎ ‎∴(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,‎ ‎∴(a+b)+(-2-a)i=1+i,‎ ‎∴a+b=1.‎ ‎12.已知复数z的共轭复数为,且z·-3iz=,求z.‎ 解 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.‎ 又z·-3iz=,‎ ‎∴a2+b2-3i(a+bi)=,‎ ‎∴a2+b2+3b-3ai=1+3i,‎ ‎∴ ‎∴或.‎ ‎∴z=-1,或z=-1-3i.‎ 三、探究与创新 ‎13.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b、c为实数).‎ ‎(1)求b,c的值;‎ ‎(2)试说明1-i也是方程的根吗?‎ 解 (1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,‎ ‎∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,‎ 即(b+c)+(2+b)i=0.‎ ‎∴,得.‎ ‎∴b、c的值为b=-2,c=2.‎ ‎(2)方程为x2-2x+2=0.‎ 把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,∴1-i也是方程的一个根.‎

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