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- 2021-06-15 发布
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会宁四中2017-2018学年度第一学期高二级期末考试
数学试卷
命题教师:
第Ⅰ卷(选择题)
一.选择题(12小题*5分=60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.函数f(x)=log2(x2+2x﹣3)的定义域是( )
A.[﹣3,1]B.(﹣3,1)C.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)
2.已知集合P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∪Q=( )
A.(﹣1, 2) B.(0,1) C.(﹣1,0) D.(1,2)
3.设,为非零向量,则“存在负数λ,使得=λ”是•<0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
5.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A.2 B. C. D.
6.椭圆+=1的离心率是( )
A. B. C. D.
7.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
8.过圆x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心,且与直线x+2y=0垂直的直线方程是( )
A.2x﹣y+2=0 B.x+2y﹣1=0 C.2x+y﹣2=0 D.2x﹣y﹣2=0
9.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
10.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
11.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
A. B. C. D.
12.已知A(2,﹣5,1),B(2,﹣2,4),C(1,﹣4,1),则向量与的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
第Ⅱ卷(非选择题)
二.填空题(4小题*5分=20分)
13.若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .
14.若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为 .
15.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .
16.有下列四个命题:
①垂直于同一条直线的两条直线平行;
②垂直于同一条直线的两个平面平行;
③垂直于同一平面的两个平面平行;
④垂直于同一平面的两条直线平行.
其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号).
三.解答题(6小题共70分)
17.(10分)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为,求p与m的值.
18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosA=.
(1)求角A的大小;
(2)若b=2,c=3,求a的值;
19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,
a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
20.(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,﹣).点M(3,m)在双曲线上.
(1)求双曲线方程;
(2)求证:•=0;
(3)求△F1MF2面积.
21.(12分)如题图,三棱锥P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=
.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2EB=2.
(Ⅰ)证明:DE⊥平面PCD
(Ⅱ)求二面角A﹣PD﹣C的余弦值.
22.(12分)已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1和F2,且|F1F2|=2,点(1,)在该椭圆上
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切圆的方程.
考号 班级 姓名 学号
………密………封………线………内………不………要………答………题…………
………………………密………………………封……………………线……………………
座位号
会宁四中2017-2018学年度第一学期高二级期末考试
数学试卷答题卡
一.选择题(12小题*5分=60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项1
二.填空题(4小题*5分=20分)
13.-----------------------------------------------; 14.-------------------------------------------;
15.------------------------------------------------; 16.-------------------------------------------;
三.解答题(6小题共70分)
17.(10分)
18.(12分)
19.(12分)
20.(12分)
21.(12分)
22.(12分)
会宁四中2017-2018学年度第一学期高二级期末考试
数学答案
一.选择题(共12小题)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
A
C
C
B
C
D
B
C
D
C
二.填空题(共4小题)
13、8; 14、; 15、6; 16、②④
三.解答题(共6小题)
17.已知抛物线 C:x2=2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为,求p与m的值.
解:由抛物线方程得其准线方程:y=﹣.
根据抛物线定义
点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离,
即4+=,解得p=,
∴抛物线方程为:x2=y,将A(m,4)代入抛物线方程,解得m=±2.
18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosA=.
(1)求角A的大小;
(2)若b=2,c=3,求a的值;
解:(1)△ABC中,∵cosA=,∴A=.
(2)若b=2,c=3,则 a===.
19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2,a3+b3=5,
可得﹣1+d+q=2,﹣1+2d+q2=5,
解得d=1,q=2或d=3,q=0(舍去),
则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1,n∈N*;
(2)b1=1,T3=21,
可得1+q+q2=21,
解得q=4或﹣5,
当q=4时,b2=4,a2=2﹣4=﹣2,
d=﹣2﹣(﹣1)=﹣1,S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6;
当q=﹣5时,b2=﹣5,a2=2﹣(﹣5)=7,
d=7﹣(﹣1)=8,S3=﹣1+7+15=21.
20.解:(1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2﹣y2=λ.
∵过点(4,﹣),∴16﹣10=λ,即λ=6,
∴双曲线方程为x2﹣y2=6.
(2)证明:∵=(﹣3﹣2,﹣m),=(2﹣3,﹣m),
∴•=(3+2)×(3﹣2)+m2 =﹣3+m2,
∵M点在双曲线上,∴9﹣m2=6,即m2﹣3=0,∴•=0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,由(2)知m=±.
∴△F1MF2的高h=|m|=,∴S△F1MF2=6.
21.如题图,三棱锥P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=.D,E
分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2EB=2.
(Ⅰ)证明:DE⊥平面PCD
(Ⅱ)求二面角A﹣PD﹣C的余弦值.
(Ⅰ)证明:∵PC⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,∴PC⊥DE,
∵CE=2,CD=DE=,∴△CDE为等腰直角三角形,
∴CD⊥DE,∵PC∩CD=C,
DE垂直于平面PCD内的两条相交直线,
∴DE⊥平面PCD
(Ⅱ)由(Ⅰ)知△CDE为等腰直角三角形,∠DCE=,
过点D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又由已知EB=1,故FB=2,
由∠ACB=得DF∥AC,,故AC=DF=,
以C为原点,分别以,,的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),P(0,0,3),A(,0,0),E(0,2,0),D(1,1,0),
∴=(1,﹣1,0),=(﹣1,﹣1,3),=(,﹣1,0),
设平面PAD的法向量=(x,y,z),由,
故可取=(2,1,1),
由(Ⅰ)知DE⊥平面PCD,故平面PCD的法向量可取=(1,﹣1,0),
∴两法向量夹角的余弦值cos<,>==
∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为.
22.已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1和F2,且|F1F2|=2,点(1,)在该椭圆上
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切圆的方程.
解:(1)因为|F1F2|=2,所以c=1.
又点(1,)在该椭圆上,所以.
所以a=2,b2=3.
所以椭圆C的方程为.
(2)①当直线l⊥x轴时,可得A(﹣1,﹣),B(﹣1,),△AF2B的面积为3,不符合题意
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1).代入椭圆方程得:(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0
显然△>0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=﹣,x1x2=
可得|AB|=,用点到直线的距离公式可得 圆F2的半径r=,
∴△AF2B的面积=|AB|r=,
化简得:17k4+k2﹣18=0,得k=±1,
∴r=,圆的方程为(x﹣1)2+y2=2.