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  • 2021-06-15 发布

数学卷·2018届北京市西城区高二上学期期末数学试卷(理科)(解析版)

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北京市西城区 2016-2017 学年高二(上)期末数学试卷(理科) (解析版)   一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合要求的. 1.双曲线 的一个焦点坐标为(  ) A. B. C.(2,0) D.(0,2) 2.已知椭圆的短轴长是焦距的 2 倍,则椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 3.设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是(  ) A.若 α∥β,l∥α,则 l⊂β B.若 α∥β,l⊥α,则 l⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊂β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 4.设 m∈R,命题“若 m≥0,则方程 x2=m 有实根”的逆否命题是(  ) A.若方程 x2=m 有实根,则 m≥0 B.若方程 x2=m 有实根,则 m<0 C.若方程 x2=m 没有实根,则 m≥0D.若方程 x2=m 没有实根,则 m<0 5.已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥ β”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知双曲线的焦点在 x 轴上,焦距为 2 ,且双曲线的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行,则双曲线的标准方程为(  ) A. ﹣y2=1 B.x2﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1 7.已知两点 A(3,0),B(0,4),动点 P(x,y)在线段 AB 上运动,则 xy 的最大值为(  ) A. B. C.3 D.4 8.用一个平面截正方体和正四面体,给出下列结论: ①正方体的截面不可能是直角三角形; ②正四面体的截面不可能是直角三角形; ③正方体的截面可能是直角梯形; ④若正四面体的截面是梯形,则一定是等腰梯形. 其中,所有正确结论的序号是(  ) A.②③ B.①②④ C.①③ D.①④   二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是  . 10.已知点 M(0,﹣1),N(2,3).如果直线 MN 垂直于直线 ax+2y﹣3=0, 那么 a 等于  . 11.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 AD,BD1 所成角的余弦值为  . 12.一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示,则该三棱柱的侧视图的面积为  . 13.设 O 为坐标原点,抛物线 y2=4x 的焦点为 F,P 为抛物线上一点.若|PF|=3, 则△OPF 的面积为  . 14.学完解析几何和立体几何后,某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的 一部分曲线围绕其对称轴旋转而成,他很想知道抛物线的方程,决定把抛物线的 顶点确定为原点,对称轴确定为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,但是他 无法确定碗底中心到原点的距离,请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的 计算,帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是  (所有测量数据用小 写英文字母表示),算出的抛物线标准方程为  .   三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 15.(13 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,E 是 PA 的中点. (Ⅰ)求证:PC∥平面 BDE; (Ⅱ)证明:BD⊥CE. 16.(13 分)如图,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,AB=PA=2BC=2,M 为 PB 的中 点. (Ⅰ)求证:AM⊥平面 PBC; (Ⅱ)求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值. 17.(13 分)已知直线 l 过坐标原点 O,圆 C 的方程为 x2+y2﹣6y+4=0. (Ⅰ)当直线 l 的斜率为 时,求 l 与圆 C 相交所得的弦长; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 交于两点 A,B,且 A 为 OB 的中点,求直线 l 的方程. 18.(13 分)已知 F1 为椭圆 + =1 的左焦点,过 F1 的直线 l 与椭圆交 于两点 P,Q. (Ⅰ)若直线 l 的倾斜角为 45°,求|PQ|; (Ⅱ)设直线 l 的斜率为 k(k≠0),点 P 关于原点的对称点为 P′,点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q′,P′Q′所在直线的斜率为 k′.若|k′|=2,求 k 的值. 19.(14 分)如图,四棱锥 E﹣ABCD 中,平面 EAD⊥平面 ABCD,DC∥AB,BC⊥ CD,EA⊥ED,且 AB=4,BC=CD=EA=ED=2. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 ADE; (Ⅱ)求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值; (Ⅲ)在线段 CE 上是否存在一点 F 使得平面 BDF⊥平面 CDE,请说明理由. 20.(14 分)如图,过原点 O 引两条直线 l1,l2 与抛物线 W1:y2=2px 和 W2:y2=4px (其中 P 为常数,p>0)分别交于四个点 A1,B1,A2,B2. (Ⅰ)求抛物线 W1,W2 准线间的距离; (Ⅱ)证明:A1B1∥A2B2; (Ⅲ)若 l1⊥l2,求梯形 A1A2B2B1 面积的最小值.   2016-2017 学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷 (理科) 参考答案与试题解析   一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合要求的. 1.双曲线 的一个焦点坐标为(  ) A. B. C.(2,0) D.(0,2) 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论. 【解答】解:由双曲线 得 a2=3,b2=1, 则 c2=a2+b2=4, 则 c=2, 故双曲线 的一个焦点坐标为(2,0), 故选:C 【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程,根据a,b,c 之间的关系是解决本 题的关键.   2.已知椭圆的短轴长是焦距的 2 倍,则椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由题意可知:2b=2×2c,即 b=2c,a2=b2+c2=4c2+c2=5c2,则 a= c, 椭圆的离心率 e= = . 【解答】解:由题意可知:设椭圆的方程为: (a>b>0), 由 2b=2×2c,即 b=2c, a2=b2+c2=4c2+c2=5c2,则 a= c, ∴椭圆的离心率 e= = , 椭圆的离心率 , 故选 D. 【点评】本题考查椭圆的离心率公式,考查计算能力,属于基础题.   3.设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是(  ) A.若 α∥β,l∥α,则 l⊂β B.若 α∥β,l⊥α,则 l⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊂β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】在A 中,l⊂β 或 l∥β;在 B 中,由线面垂直的判定定理得 l⊥β;在 C 中, l 与 β 相交、平行或 l⊂β;在 D 中,l 与 β 相交、平行或 l⊂β. 【解答】解:由 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,知: 在 A 中,若 α∥β,l∥α,则 l⊂β 或 l∥β,故 A 错误; 在 B 中,若 α∥β,l⊥α,则由线面垂直的判定定理得 l⊥β,故 B 正确; 在 C 中,若 α⊥β,l⊥α,则 l 与 β 相交、平行或 l⊂β,故 C 错误; 在 D 中,若 α⊥β,l∥α,则 l 与 β 相交、平行或 l⊂β,故 D 错误. 故选:B. 【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中 线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.   4.设 m∈R,命题“若 m≥0,则方程 x2=m 有实根”的逆否命题是(  ) A.若方程 x2=m 有实根,则 m≥0 B.若方程 x2=m 有实根,则 m<0 C.若方程 x2=m 没有实根,则 m≥0D.若方程 x2=m 没有实根,则 m<0 【考点】四种命题. 【分析】根据已知中的原命题,结合逆否命题的定义,可得答案. 【解答】解:命题“若 m≥0,则方程 x2=m 有实根”的逆否命题是命题“若方程 x2=m 没有实根,则 m<0”, 故选:D 【点评】本题考查的知识点是四种命题,难度不大,属于基础题.   5.已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥ β”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件;空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】判充要条件就是看谁能推出谁.由 m⊥β,m 为平面 α 内的一条直线, 可得 α⊥β;反之,α⊥β 时,若 m 平行于 α 和 β 的交线,则 m∥β,所以不一定 能得到 m⊥β. 【解答】解:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 α 内的一条直线, 且 m⊥β,则 α⊥β,反之,α⊥β 时,若 m 平行于 α 和 β 的交线,则 m∥β,所 以不一定能得到 m⊥β, 所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件. 故选 B. 【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题,属基本题.   6.已知双曲线的焦点在 x 轴上,焦距为 2 ,且双曲线的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行,则双曲线的标准方程为(  ) A. ﹣y2=1 B.x2﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】设双曲线的标准方程为 (a>0,b>0),由 2c=2 ,则 c= ,由双曲线的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行,即 = ,c2=a2+b2,即可求得 a 和 b 的值,即可求得双曲线的标准方程. 【解答】解:由题意可知:设双曲线的标准方程为 (a> 0,b>0),由 2c=2 ,则 c= , 双曲线的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 平行,即 = , 由 c2=a2+b2,解得:a=2,b=1, ∴双曲线的标准方程为: , 故选 A. 【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质,考查计算能力,属于基础 题.   7.已知两点 A(3,0),B(0,4),动点 P(x,y)在线段 AB 上运动,则 xy 的最大值为(  ) A. B. C.3 D.4 【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】由题意易得线段 AB 的方程为 ,(x≥0,y≥0),由基 本不等式可得. 【解答】解:由题意可得直线 AB 的方程为 , ∴线段 AB 的方程为 ,(x≥0,y≥0) ∴1= ≥2 ,∴xy≤3, 当且仅当 即 x= 且 y=2 时取等号,xy 有最大值 3, 故选:C. 【点评】本题考查基本不等式求最值,涉及直线的截距式方程,属基础题.   8.用一个平面截正方体和正四面体,给出下列结论: ①正方体的截面不可能是直角三角形; ②正四面体的截面不可能是直角三角形; ③正方体的截面可能是直角梯形; ④若正四面体的截面是梯形,则一定是等腰梯形. 其中,所有正确结论的序号是(  ) A.②③ B.①②④ C.①③ D.①④ 【考点】平行投影及平行投影作图法;棱锥的结构特征. 【分析】利用正方体和正四面体的性质,分析 4 个选项,即可得出结论. 【解答】解:①正方体的截面是三角形时,为锐角三角形,正确; ②正四面体的截面不可能是直角三角形,不正确; ③正方体的截面与一组平行的对面相交,截面是等腰梯形,不正确; ④若正四面体的截面是梯形,则一定是等腰梯形,正确. 故选 D. 【点评】本题考查空间线面位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题.   二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是 对任何 x∈R,都有 x2+2x+5≠ 0 . 【考点】特称命题. 【分析】利用特称命题的否定是全称命题,可得命题的否定. 【解答】解:因为命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0”是特称命题,根据特称命题 的否定是全称命题, 可得命题的否定为:对任何 x∈R,都有 x2+2x+5≠0. 故答案为:对任何 x∈R,都有 x2+2x+5≠0. 【点评】本题主要考查特称命题的否定,比较基础.   10.已知点 M(0,﹣1),N(2,3).如果直线 MN 垂直于直线 ax+2y﹣3=0, 那么 a 等于 1 . 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的斜率. 【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出. 【解答】解:∵点 M(0,﹣1),N(2,3), ∴kMN= =2, ∵直线 MN 垂直于直线 ax+2y﹣3=0, ∴2× =﹣1,解得 a=1. 故答案为 1. 【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间关系,属于基础题.   11.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 AD,BD1 所成角的余弦值为   . 【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标 系,利用向量法能求出异面直线 AD,BD1 所成角的余弦值. 【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角 坐标系, 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为 1, 则 A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1), =(﹣1,0,0), =(﹣1,﹣1,1), 设异面直线 AD,BD1 所成角为 θ, 则 cosθ= = . ∴异面直线 AD,BD1 所成角的余弦值为 . 故答案为: . 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审 题,注意向量法的合理运用.   12.一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示,则该三棱柱的侧视图的面积为 8  . 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4 的等边 三角形,由此能求出该三棱柱的侧视图的面积. 【解答】解:由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4 的 等边三角形, ∴由三视图可知,该正三棱柱的底边三角形的高为: =2 , 底面边长为:4,∴侧视图三角形的高为:4, 该三棱柱的侧视图的面积为 S=2 ×4=8 . 故答案为:8 . 【点评】本题考查三棱柱的侧视图的面积的求法,是基础题,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养.   13.设 O 为坐标原点,抛物线 y2=4x 的焦点为 F,P 为抛物线上一点.若|PF|=3, 则△OPF 的面积为   . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标,利用|PF|=3 求得 P 点的横坐标,代入抛物线方程求得纵坐标,代入三角形面积公式计算. 【解答】解:由抛物线方程得:抛物线的准线方程为:x=﹣1,焦点 F(1,0), 又 P 为 C 上一点,|PF|=3,∴xP=2, 代入抛物线方程得:|yP|=2 , ∴S△POF= ×|OF|×2 = . 故答案为: . 【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质,熟练掌握抛物线上的点所迷住的 条件是解题的关键.   14.学完解析几何和立体几何后,某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的 一部分曲线围绕其对称轴旋转而成,他很想知道抛物线的方程,决定把抛物线的 顶点确定为原点,对称轴确定为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,但是他 无法确定碗底中心到原点的距离,请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的 计算,帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是 碗底的直径 2m,碗口 的直径 2n,碗的高度 h (所有测量数据用小写英文字母表示),算出的抛物线 标准方程为 y2= x . 【考点】抛物线的标准方程. 【分析】碗底的直径 2m,碗口的直径 2n,碗的高度 h;设方程为 y2=2px(p> 0),则将点(a,m),(a+h,n),即可得出结论. 【解答】解:碗底的直径 2m,碗口的直径 2n,碗的高度 h; 设方程为 y2=2px(p>0),则将点(a,m),(a+h,n) 代入抛物线方程可得 m2=2pa,n2=2p(a+h),可得 2p= , ∴抛物线方程为 y2= x. 故答案为碗底的直径 2m,碗口的直径 2n,碗的高度 h;y2= x. 【点评】本题考查抛物线的方程,考查利用数学知识解决实际问题,属于中档 题.   三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 15.(13 分)(2016 秋•西城区期末)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD,E 是 PA 的中点. (Ⅰ)求证:PC∥平面 BDE; (Ⅱ)证明:BD⊥CE. 【考点】直线与平面平行的判定. 【分析】(Ⅰ)连结 AC 交 BD 于 O,连结 OE,推导出 PC∥OE,由此能证明 PC∥ 平面 BDE. (Ⅱ)推导出 BD⊥AC,PA⊥BD,从而 BD⊥平面 PAC,由此能证明 BD⊥CE. 【解答】(本小题满分 13 分) 证明:(Ⅰ)连结 AC 交 BD 于 O,连结 OE, 因为四边形 ABCD 是正方形,所以 O 为 AC 中点. 又因为 E 是 PA 的中点,所以 PC∥OE,…(3 分) 因为 PC⊄平面 BDE,OE⊂平面 BDE, 所以 PC∥平面 BDE.…(6 分) (Ⅱ)因为四边形 ABCD 是正方形,所以 BD⊥AC.…(8 分) 因为 PA⊥底面 ABCD,且 BD⊂平面 ABCD, 所以 PA⊥BD.…(10 分) 又因为 AC∩PA=A,所以 BD⊥平面 PAC,…(12 分) 又 CE⊂平面 PAC, 所以 BD⊥CE.…(13 分) 【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明,是中档题,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养.   16.(13 分)(2016 秋•西城区期末)如图,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,AB=PA=2BC=2, M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证:AM⊥平面 PBC; (Ⅱ)求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值. 【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【分析】(Ⅰ)推导出 PA⊥BC,BC⊥AB,从而 AM⊥BC,再求出 AM⊥PB,由 此能证明 AM⊥平面 PBC. (Ⅱ)在平面 ABC 内,作 Az∥BC,则 AP,AB,Az 两两互相垂直,建立空间直 角坐标系 A﹣xyz.利用向量法能求出二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值. 【解答】(本小题满分 13 分) 证明:(Ⅰ)因为 PA⊥平面 ABC,BC⊂平面 ABC,所以 PA⊥BC. 因为 BC⊥AB,PA∩AB=A, 所以 BC⊥平面 PAB.…(2 分) 所以 AM⊥BC.…(3 分) 因为 PA=AB,M 为 PB 的中点, 所以 AM⊥PB.…(4 分) 所以 AM⊥平面 PBC.… 解:(Ⅱ)如图,在平面 ABC 内,作 Az∥BC,则 AP,AB,Az 两两互相垂直, 建立空间直角坐标系 A﹣xyz. 则 A(0,0,0),P(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),M(1,1, 0). =(2,0,0), =(0,2,1), =(1,1,0).…(8 分) 设平面 APC 的法向量为 =(x,y,z), 则 ,令 y=1,得 =(0,1,﹣2).…(10 分) 由(Ⅰ)可知 =(1,1,0)为平面 BPC 的法向量, 设二面角 A﹣PC﹣B 的平面角为 α, 则 cosα= = = .…(12 分) 所以二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值为 .…(13 分) 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解 题时要认真审题,注意向量法的合理运用.   17.(13 分)(2016 秋•西城区期末)已知直线 l 过坐标原点 O,圆 C 的方程为 x2+y2﹣6y+4=0. (Ⅰ)当直线 l 的斜率为 时,求 l 与圆 C 相交所得的弦长; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 交于两点 A,B,且 A 为 OB 的中点,求直线 l 的方程. 【考点】直线与圆的位置关系;待定系数法求直线方程. 【分析】(Ⅰ)由已知,直线 l 的方程为 y= x,圆 C 圆心为(0,3),半径 为 ,求出圆心到直线 l 的距离,即可求 l 与圆 C 相交所得的弦长; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 交于两点 A,B,且 A 为 OB 的中点,求出 A 的坐标,即可 求直线 l 的方程. 【解答】解:(Ⅰ)由已知,直线 l 的方程为 y= x,圆 C 圆心为(0,3), 半径为 ,…(3 分) 所以,圆心到直线 l 的距离为 = .… 所以,所求弦长为 2 =2 .…(6 分) (Ⅱ) 设 A(x1,y1),因为 A 为 OB 的中点,则 B(2x1,2y1).…(8 分) 又 A,B 在圆 C 上, 所以 x12+y12﹣6y1+4=0,4x12+4y12﹣12y1+4=0.…(10 分) 解得 y1=1,x1=±1,…(11 分) 即 A(1,1)或 A(﹣1,1).…(12 分) 所以,直线 l 的方程为 y=x 或 y=﹣x.…(13 分) 【点评】本题考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力, 属于中档题.   18.(13 分)(2016 秋•西城区期末)已知 F1 为椭圆 + =1 的左焦点, 过 F1 的直线 l 与椭圆交于两点 P,Q. (Ⅰ)若直线 l 的倾斜角为 45°,求|PQ|; (Ⅱ)设直线 l 的斜率为 k(k≠0),点 P 关于原点的对称点为 P′,点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q′,P′Q′所在直线的斜率为 k′.若|k′|=2,求 k 的值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(Ⅰ)直线 l 的倾斜角为 45°,直线 l 的方程为 y=x+1,代入椭圆方程, 由韦达定理及弦长公式即可求得|PQ|; (Ⅱ)设直线 l:y=k(x+1),代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式 求得丨 k′丨=丨 丨=丨 丨=2,即可求得 k 的值. 【解答】解:(Ⅰ)椭圆 + =1,a=2,b= ,c=1, 椭圆的左焦点 F1(﹣1,0),设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 又直线 l 的倾斜角为 45°, ∴直线 l 的方程为 y=x+1,…(1 分) 由 ,整理得:7x2+8x﹣8=0,…(3 分) 则 x1+x2=﹣ ,x1•x2=﹣ .…(4 分) 丨 PQ 丨 = • = • = , ∴|PQ|= ;… ( Ⅱ ) 由 , 整 理 得 : ( 3+4k2 ) x2+8k2x+4k2﹣12=0,…(6 分) 则 x1+x2=﹣ ,x1•x2= ,…(8 分) 依题意 P′(﹣x1,﹣y1),Q′(x2,﹣y2),且 y1=k(x1+1),y2=k(x2+1), ∴丨 k′丨=丨 丨=丨 丨,…(10 分) 其 中 丨 x1﹣x2 丨 = = ,…(11 分) ∴丨 k′丨=丨 丨=2.…(12 分) 解得:7k2=9,k=± , k 的值± ..…(13 分) 【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,弦 长公式及直线的斜率公式的应用,考查计算能力,属于中档题.   19.(14 分)(2014•东城区二模)如图,四棱锥 E﹣ABCD 中,平面 EAD⊥平面 ABCD,DC∥AB,BC⊥CD,EA⊥ED,且 AB=4,BC=CD=EA=ED=2. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 ADE; (Ⅱ)求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值; (Ⅲ)在线段 CE 上是否存在一点 F 使得平面 BDF⊥平面 CDE,请说明理由. 【考点】平面与平面垂直的性质;直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的 角. 【分析】(Ⅰ)证明 BD⊥AD,利用平面 EAD⊥平面 ABCD,证明 BD⊥平面 ADE; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面 CDE 的一个法向量,利用向量的夹角公 式,即可求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值; (Ⅲ)求出平面 BEF 一个法向量,利用平面 BEF⊥平面 CDE,向量的数量积为 0, 即可得出结论. 【解答】(I)证明:由 BC⊥CD,BC=CD=2,可得 . 由 EA⊥ED,且 EA=ED=2,可得 . 又 AB=4,所以 BD⊥AD. 又平面 EAD⊥平面 ABCD,平面 ADE∩平面 ABCD=AD,BD⊂平面 ABCD, 所以 BD⊥平面 ADE.         … (II)解:建立空间直角坐标系 D﹣xyz, 则 D ( 0 , 0 , 0 ) , , , , , , . 设 =(x,y,z)是平面 CDE 的一个法向量,则 令 x=1,则 =(1,1,﹣1). 设直线 BE 与平面 CDE 所成的角为 α, 则 sinα= 所以 BE 和平面 CDE 所成的角的正弦值 .      …(10 分) ( III ) 解 : 设 , λ ∈ [0 , 1] . , , . 则 . 设 = ( x' , y' , z' ) 是 平 面 BDF 一 个 法 向 量 , 则 令 x'=1,则 =(1,0,﹣ ). 若 平 面 BDF ⊥ 平 面 CDE , 则 • =0 , 即 , . 所以,在线段 CE 上存在一点 F 使得平面 BDF⊥平面 CDE.…(14 分) 【点评】本题考查线面、面面垂直的判定,考查线面角,正确运用向量知识是关 键.   20.(14 分)(2016 秋•西城区期末)如图,过原点 O 引两条直线 l1,l2 与抛物 线 W1:y2=2px 和 W2:y2=4px(其中 P 为常数,p>0)分别交于四个点 A1,B1, A2,B2. (Ⅰ)求抛物线 W1,W2 准线间的距离; (Ⅱ)证明:A1B1∥A2B2; (Ⅲ)若 l1⊥l2,求梯形 A1A2B2B1 面积的最小值. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】(Ⅰ)根据抛物线的性质即可求出答案, (Ⅱ)设 l1:y=k1x,代入抛物线方程,得 A1,A2 的横坐标分别是 和 ,即可得到△OA1B1∽△OA2B2,即 A1B1∥A2B2. (Ⅲ)A(x1,y1)B(x2,y2),直线 A1B1 方程为 x=ty+m1,根据韦达定理和直线 垂直的关系得到直线 A1B1 方程为 x=ty+2p,A2B2 方程为 x=ty+4p, 再根据弦长公式和两直线之间的距离公式,以及梯形的面积公式即可求出答 案. 【解答】解:(Ⅰ)由已知,抛物线 W1,W2 的准线分别为 x=﹣ 和 x=﹣p, 所以,抛物线 W1,W2 准线间的距离为 (Ⅱ)设 l1:y=k1x,代入抛物线方程,得 A1,A2 的横坐标分别是 和 . ∴ = = ,同理 = , 所以△OA1B1∽△OA2B2, 所以 A1B1∥A2B2. (Ⅲ)设 A(x1,y1)B(x2,y2),直线 A1B1 方程为 x=ty+m1, 代入曲线 y2=2px,得 y2﹣2pty﹣2pm1=0, 所以 y1+y2=2pt,y1y2=﹣2pm1. 由 l1⊥l2,得 x1x2+y1y2=0,又 y12=2px1,y22=2px2, 所以 +y1y2=0,由 y1y2=﹣2pm1,得 m1=2p. 所以直线 A1B1 方程为 x=ty+2p, 同理可求出直线 A2B2 方程为 x=ty+4p, 所 以 |A1B1|= |y1﹣y2|=2p • , |A2B2|=4p • , 平行线 A1B1 与 A2B2 之间的距离为 d= , 所 以 梯 形 A1A2B2B1 的 面 积 ≥12p2 当 t=0 时,梯形 A1A2B2B1 的面积达最小,最小值为 12p2. 【点评】本题考查了抛物线的性质直线和抛物线的位置关系,考查了学生的运算 能力,以及转化能力,属于中档题.