辽宁省大连瓦房店市高级中学2018-2019高二下学期期中考试数学（文）试卷 9页

瓦房店市高级中学2018-2019学年度下学期高二期中考试 ‎ 数学文科试题 一．单选题（共12小题，每小题5分）‎ ‎1．已知集合则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.若，且为第二象限角，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知命题，命题,则（ ）‎ A．命题p,q都是假命题 B．命题p,q都是真命题 C．p是真命题,q是假命题 D．p是假命题，q是真命题 ‎5.已知向量的夹角为，则（ ）‎ A．4 B．2 C． D．1‎ ‎6．已知函数，则（ ）‎ A．-4 B． C．4 D．6‎ ‎7．圆C半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.设数列是递增等差数列，前3项和为12，前3项积为48，则它的首项是（ ）‎ A.1 B.2 C.4 D.6‎ 9. 函数一个对称中心是，则最小值（ ）‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ 10. 已知是定义在R上奇函数，当0时，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. （-1,2） C. （-2,1） D.‎ ‎11．已知双曲线的离心率为2，左，右焦点分别为，点A在双曲线C上,若的周长为，则（ ）‎ A． B． C． D.‎ ‎12．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”.已知，则曲线的“优美点”个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．4 D．6‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分）‎ ‎13.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则n=_________‎ ‎14．若x，，且，则的最小值为______‎ ‎15.在中，角A，B,C所对的边分别为a,b,c,且满足，若的面积为，则______‎ ‎16.若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_______‎ 三．解答题 ‎17.(本题满分12分)‎ ‎ 已知数列的前n项和为，‎ (I) 求数列的通项公式；‎ (II) 设，求数列的前n项和 ‎18. (本题满分12分)‎ 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示：‎ 组别 一 二 三 四 五 候车时间（分钟）‎ 人数 ‎2‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；‎ ‎（2）若从上表第三，四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率。‎ ‎19．(本题满分12分)‎ 如图1，在直角中，，D,E分别为AC，BD的中点，连结AE并延长交BC于点F，将沿BD折起，使平面平面BCD，如图2所示．‎ ‎（1）求证：；（2）求四棱锥A-CDEF的体积．‎ ‎20. (本题满分12分)‎ ‎ 已知椭圆C：的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点M为椭圆上第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．‎ ‎21．(本题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在x=1处的切线方程；‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围.‎ ‎（在22题，23题中任选一题，满分10分）‎ ‎22．(本题满分12分)在直角坐标系xoy中,曲线的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线直角坐标方程；‎ ‎（2）设P为曲线上的动点,求点P到上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.‎ ‎23．(本题满分12分) 已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）关于x的不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围．‎ ‎瓦房店市高级中学2018-2019学年度下学期高二期中考试 ‎ 数学文科参考答案 一．DDACD CCBBC BB 二．13.63 14.8 15.4 16.‎ 三．17.(I)由题意知：当时，，因为，所以….2分 又因为当，，所以 ……………………4分 所以等比数列，且 ……………..6分 ‎（2）‎ ‎ ………………..8分 ‎ 10分 所以 ……………..12分 ‎18.（1）由图表得：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于32. …………4分 ‎（2）设第三组的乘客为a,b,c,d,第四组的乘客e,f,“抽到的的两人恰好来自不同的组”为事件A.所得基本事件共有15种， ………… 8分 即 ‎.‎ 其中事件A包含基本事件8种，………10分 ‎ 由古典概型可得，即所求概率等于. …………….12分 ‎19.(1)如图所示：‎ 证明：由条件可知AB=AD，E为BD的中点，‎ 所以：，又面面BDC，面面BCD=BD，且面ABD，‎ 所以：面BCD，又因为平面BCD，所以：． ……………..6分 ‎（2）由题给数据知BC=6，为等边三角形，E为BD的中点，‎ 因此中，，，‎ ‎，因此，………10分 由（1）知面BCD，所以． ………12分 ‎20.（Ⅰ）由已知可得：解得：； ‎ 所以椭圆C的方程为：．……… 4分 ‎（Ⅱ）因为椭圆C的方程为：，所以A（-2,0），B（0，-1）‎ 设，则，即．………6分 ‎ 则直线BM的方程为：，令y=0，得； ‎ 同理：直线AM的方程为：，令x=0，得．………8分 所以 ‎ ‎．‎ 即四边形ABCD的面积为定值2． ………………12分 ‎21.(1)a=1时，函数，可得，所以，x=1时，．曲线则x=1处的切线方程；y+2=-2(x-1)‎ 即：y=-2x； ……………4分 ‎(2)由条件可得，‎ 则当x>0时，恒成立，……………… 6分 令，则，‎ 令，………….. 8分 则当x>0时，，所以在上为减函数．‎ 又，‎ 所以在（0,1）上，；在上，． …………….10分 所以在（0,1）上为增函数；在上为减函数．‎ 所以，所以． ………………12分 ‎22. （1）由曲线:得,‎ 即曲线的普通方程为 2分 由曲线得:,‎ 即,所以x+y-8=0,‎ 即曲线的直角坐标方程为x+y-8=0. ………….4分 ‎（2）由（1）知椭圆与直线无公共点,‎ 依题意有椭圆上的点到直线x+y-8=0的距离为 ‎, ………………6分 所以当时,d取得最小值, ……………8分 此时,点的P坐标为。 ……………… 10分 ‎23. （1）∵，‎ ‎∴‎ 当x<-1时，不等式可化为-x-1+2x+1+1<0，解得x<-1，所以x<-1； ‎ 当，不等式可化为x+1+2x+1+1<0，解得x<-1，无解； ‎ 当时，不等式可化为x+1-2x-1+1<0，解得x>1，所以x>1‎ 综上所述， …………….5分 ‎（2）因为 ………8分 且的解集不是空集，‎ 所以a>1，即a的取值范围是 ………………10分