2017-2018学年云南省玉溪市一中高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版） 23页

‎2017-2018学年云南省玉溪市一中高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知A={|}，B={|}，则A∪B =‎ A． {|或} B． {|} C． {|} D． {|}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次不等式的解法得到B={|}=，再根据集合的并集运算得到结果.‎ ‎【详解】‎ B={|}=, A={|},‎ 则A∪B ={|}.‎ 故答案为:D.‎ ‎【点睛】‎ 高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．‎ ‎2．复数 =‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算得到结果.‎ ‎【详解】‎ 复数= ‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎3．设等差数列{}的前项和为，若，则=‎ A． 20 B． 35 C． 45 D． 90‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的前n项和的性质得到S9=，直接求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a6=10，‎ ‎∴S9=‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎4．设，则“”是“”的 A． 必要不充分条件 B． 充分不必要条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值不等式和三次不等式的解法得到解集，根据小范围可推大范围，大范围不能推小范围得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解得到，解，得到，由则一定有；反之,则不一定有；故“”是“”的充分不必要条件.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎5．在中，为边上的中线，为的中点，则 =‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．‎ ‎【详解】‎ 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，‎ ‎ ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．向量的两个作用：①‎ 载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎6．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ A． 20π B． 24π C． 28π D． 32π ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．‎ ‎【详解】‎ 由三视图知，空间几何体是一个组合体，‎ 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，‎ ‎∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，‎ ‎∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，‎ 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，‎ ‎∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π ‎∴空间组合体的表面积是28π，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”‎ 的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎7．展开式中项的系数是 A． 4 B． 5 C． 8 D． 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得（1﹣x）（1+x）5展开式中x2项的系数．‎ ‎【详解】‎ ‎（1﹣x）（1+x）5=（1﹣x）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其中可以出现的有110x2‎ 和﹣x5x，其它的项相乘不能出现平方项，故展开式中x2项的系数是10﹣5=5，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。‎ ‎8．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由余弦定理得： ，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故选C.‎ ‎【考点】余弦定理 ‎【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.‎ ‎9．甲、乙、丙 ‎ 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是 A． 210 B． 336 C． 84 D． 343‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知本题需要分组解决，‎ ‎∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；‎ 若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，‎ ‎∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种．‎ 故答案为：B．‎ ‎【点睛】‎ 分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到步骤完整﹣﹣完成了所有步骤，恰好完成任务．‎ ‎10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，⊥平面, ，, 三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面积为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解底图形角ABC为直角，底面外接圆的圆心是斜边AC的中点，PA⊥平面ABC，球心在过底面圆心并且和PA平行的直线上，球心到圆心的距离为1，利用圆心与球心构造直角三角形求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=2，因为平面ABC，和平面PBC都是是直角三角形，则角ABC为直角，此时满足BC垂直于PA，BC垂直于AB进而得到BC垂直于PB，此时满足面PBC为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边AC的中点，球心在过底面圆心并且和PA平行的直线上，并且球心到圆心的距离为1，‎ 直角三角形外接圆的半径为r=．‎ ‎∴R2=r2+1，‎ 即R=．‎ ‎∴球O的表面积S=4πR2=12π．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.‎ ‎11．已知椭圆 的左右焦点分别为，，以为圆心，为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直线的斜率为故得到∠POF2=60°，‎ ‎∴|PF2|=c，由三角形三边关系得到|PF1|=，‎ 又|PF1|+|PF2|=2a=c+，‎ ‎∴.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的几何性质及其应用，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).‎ ‎12．已知函数（），若有且仅有两个整数 ，使得，则的取值范围为 A． [） B． [） C． [） D． [）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，对g（x）求导，将问题转化为存在2个整数xi使得g（xi）在直线h（x）=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）＜0，g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，求得a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 设g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，‎ 则g′（x）=ex（3x+2），‎ ‎∴x∈（﹣∞，﹣），g′（x）＜0，g（x）单调递减，‎ x∈（﹣，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，‎ ‎∴x=﹣，取最小值，‎ ‎∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），‎ g（1）﹣h（1）=2e＞0，‎ 直线h（x）=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，‎ ‎∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e﹣1+2a＜0，‎ ‎∴a＜，‎ g（﹣2）=﹣，h（﹣2）=﹣3a，‎ 由g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，解得：a≥，‎ 故答案为：[）.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，属于中档题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎ 二、填空题 ‎13．在区间[]上随机取一个实数，则事件“”发生的概率为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 由，得﹣2≤x≤0，由此利用几何概型概率计算公式能求出事件“”发生的概率．‎ ‎∵，∴﹣2≤x≤0，‎ ‎∵在区间[﹣3，5]上随机取一个实数x，‎ ‎∴由几何概型概率计算公式得：‎ 事件“”发生的概率为p==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．‎ ‎14．已知，且，则的最小值是______．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接将代数式4x+y与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．‎ ‎【详解】‎ 由基本不等式可得，当且仅当，等号成立，因此的最小值为9，‎ 故答案为：9．‎ ‎【点睛】‎ 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎15．若实数满足条件，则的最大值为_________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出平面区域，则表示过（0，1）和平面区域内一点的直线斜率．求解最大值即可．‎ ‎【详解】‎ 作出实数x，y满足条件的平面区域如图所示：‎ 由平面区域可知当直线过A点时，斜率最大．‎ 解方程组 得A（1，2）．‎ ‎∴z的最大值为=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】‎ 点睛：利用线性规划求最值的步骤：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域．‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．‎ ‎(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.‎ ‎16．函数，函数 ，若对所有的总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得f（x）、g（x）在[0，]上的值域，结合题意可得它们的值域间的包含关系，从而求得实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），‎ 当x∈[0，]，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[1，2]，∴f（x）∈[1，2]．‎ 对于g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），2x﹣∈[﹣，]，mcos（2x﹣）∈[，m]，‎ ‎∴g（x）∈[﹣+3，3﹣m]．‎ 由于对所有的x2∈[0，]总存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，‎ 可得[﹣+3，3﹣m]⊆[1，2]，‎ 故有 3﹣m≤2，﹣+3≥1，解得实数m的取值范围是[1，]．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“对所有的x2∈[0，]总存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立”的含义，转化为f（x）的值域是g（x）的子集．‎ 三、解答题 ‎17．在中，角，，的对边分别为，，，且 ‎．‎ ‎（1）求． ‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理得到，再由余弦定理得到，根据特殊角的三角函数值得到结果；（2）根据余弦定理可知：，根据重要不等式和a=4得到，即，再由面积，最终得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据正弦定理可知：，‎ 整理得，‎ 由余弦定理的推论得， ‎ ‎ ，‎ ‎ ． ‎ ‎（2）根据余弦定理可知：，‎ ‎ 且，‎ ‎ ，即.‎ ‎ 面积，当且仅当时等号成立．‎ 故面积的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ ‎1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题;2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等;3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.‎ ‎18．已知某厂生产的电子产品的使用寿命（单位：小时）服从正态分布，且，．‎ ‎（1）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在的概率；‎ ‎（2）现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在的件数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）X～正态分布N（1000，σ2），且P（X＜800）=0.1，P（X≥1300）=0.02．可得P（1200≤X＜1300）+P（X≥1300）=P（X≥1200）=P（X＜800）．即可得出P（1200≤X＜1300）;（2）P（800≤X＜1200）=1﹣2P（X＜800）=．可得Y～B(3, )．P（Y=k）=，（k=0，1，2，3）．即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ～正态分布，，．‎ ‎∴．‎ ‎ ‎ ‎ 即从该厂随机抽取一件产品，其使用寿命在的概率为．‎ ‎（2） ．‎ ‎ ～．‎ 故，．‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 则分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.‎ ‎19．如图，底面是边长为的正方形，⊥平面，∥，，与平面所成的角为．‎ ‎（1）求证：平面⊥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）DE⊥平面ABCD，可得到DE⊥AC，又因为底面为正方形所以得到AC⊥BD，进而得到线面垂直;(2)建立坐标系得到面BEF和面BDE的法向量，根据法向量的夹角的求法得到夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD．‎ DE⊥AC．‎ 又底面ABCD是正方形，‎ AC⊥BD，又BD∩DE=D，‎ AC⊥平面BDE，‎ 又AC⊂平面ACE，‎ 平面ACE⊥平面BDE． ‎ ‎（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ BE与平面ABCD所成的角为45°，‎ 即∠EBD=45°，‎ DE=BD=AD=，CF=DE=．‎ A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，），F（0，3，），‎ ‎ =（﹣3，0，）， =（0，3，）， ‎ 设平面BEF的一个法向量为 =（，，），‎ 则，即，令=，‎ 则 =（2，4，）．‎ 又AC⊥平面BDE，‎ ‎=（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量． ‎ cos＜＞= = = ．‎ ‎∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点（点均在第一象限），且直线的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值.‎ ‎【答案】(1) ;(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于的方程组，解得后可得椭圆的方程．（2）由题意设直线的方程为 ‎，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系可得直线的斜率，再根据题意可得，根据此式可求得，为定值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可得，解得．‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，‎ 由，消去整理得，‎ ‎∵直线与椭圆交于两点，‎ ‎∴．‎ 设点的坐标分别为，‎ 则，‎ ‎∴．‎ ‎∵直线的斜率成等比数列，‎ ‎∴，‎ 整理得，‎ ‎∴，‎ 又，所以，‎ 结合图象可知，故直线的斜率为定值．‎ 点睛：‎ ‎（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．‎ ‎（2）解决定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设，若不等式对任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；(2) 设 ,即h(x)>0恒成立，对函数求导，分，，三种情况得到函数单调性，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，，切点为，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 曲线在点处的切线方程为，‎ 即. ‎ ‎（2）设 ，‎ ‎ ， ‎ 不等式对任意恒成立，‎ 即函数在上的最小值大于零.‎ ‎①当，即时，在上单调递减，‎ ‎ 的最小值为，‎ 由可得，‎ ‎ ，‎ ‎ . ‎ ‎②当，即时，在上单调递增，‎ ‎ 最小值为，‎ 由可得，即. ‎ ‎③当，即时，可得最小值为，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 故.即， ‎ ‎ 综上可得，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .‎ ‎22．在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为：（为参数）．‎ ‎（1）求圆和直线l的极坐标方程；‎ ‎（2）点的极坐标为，直线l与圆相交于A，B，求的值．‎ ‎【答案】（1）圆的极坐标方程为， 的极坐标方程为；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入圆C得圆C的极坐标方程；直线l的参数方程转化成普通方程，进而求得直线l的极坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，求得关于t的一元二次方程，令A，B对应参数分别为t1，t2，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆的直角坐标方程为：，‎ 把代入圆得：‎ 化简得圆的极坐标方程为：‎ 由 （为参数），得，‎ ‎ 的极坐标方程为：. ‎ ‎（2）由点的极坐标为得点的直角坐标为，‎ ‎∴直线的参数方程可写成：（为参数）．‎ 代入圆得：化简得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的极坐标方程与普通方程的转换，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.‎ ‎23．已知．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据绝对值三角不等式得到 ;(2)，则，故，分情况去掉绝对值解出不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明： ． ‎ ‎（2）解：若，则， ‎ 故 ‎∴或 ，‎ 解得：．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.‎