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- 2021-06-15 发布
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江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期终考试
高二数学
考试时间:120 分钟;试卷分值:150 分
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.圆O1:与圆O2:的位置关系是( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
2.“”是“为2与8的等比中项”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列命题中,不正确的是( )
A.若,,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
4.在等差数列中,首项,公差,前n项和为,且满足,则 的最大项为( )
A. B. C. D.
5.若两个正实数x,y满足,且不等式x+<m2-3m有解,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,4) B.(-∞,-1)∪(4,+∞)
C.(-4,1) D.(-∞,0]∪[3,+∞)
6.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,若这两曲线的一个交点满足轴,则( )
A. B. C. D.
8.已知F是椭圆的左焦点,P为椭圆C上任意一点,点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.在下列函数中,最小值是2的函数有( )
A. B.
C. D.
10.下面命题正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“任意,则”的否定是“ 存在,则”.
C.设,则“且”是“”的必要而不充分条件
D.设,则“”是“”的必要不充分条件
11.如图,在棱长均相等的四棱锥中,为底面正方形的中心,,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有( )
A.∥平面 B.平面∥平面
C.直线与直线所成角的大小为 D.
12.将个数排成行列的一个数阵,如下图:
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列,每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列(其中).已知,,记这
个数的和为.
下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.命题“∃x0∈R, ”为假命题,则实数a的取值范围是________.
14.点P(=,则点P的轨迹为_____________
离心率为________.
15.设双曲线的左右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点M,N.若以MN为直径的圆经过点且,则双曲线的离心率为________
16.,
使得
四、解答题(本题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知集合,集合,.(1)若“”是真命题,求实数取值范围;
(2)若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.
18. (本小题满分12分)已知椭圆的长轴长为,短轴长为.
(1)求椭圆方程;
(2)过作弦且弦被平分,求此弦所在的直线方程及弦长.
19.(本小题满分12分)某企业用180万元购买一套新设备,该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入,为了维护设备的正常运行,第一年需要各种维护费用10万元,且从第二年开始,每年比上一年所需的维护费用要增加10万元
(1)求该设备给企业带来的总利润(万元)与使用年数的函数关系;
(2)试计算这套设备使用多少年,可使年平均利润最大?年平均利润最大为多少万元?
E
20. (本小题满分12分)如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.
21. (本小题满分12分)设数列、都有无穷项,的前项和为=,
是等比数列, =4且=32.
(1)求和的通项公式;
(2)记=,求数列的前项和为,
22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,椭圆
的离心率为直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点的直线与椭圆交于两点(不是椭圆的顶点).点在椭圆上,且,直线与轴、轴分别交于两点.
(ⅰ)设直线的斜率分别为,证明存在常数使得,并求出的值;
(ⅱ)求面积的最大值.
CACCB,CAA,AD ABD ABD ACD
椭圆
17.(1)若“”是真命题,则,得.
(2),
若“”是“”的必要不充分条件,
则是的真子集,
即,即,得,
即实数的取值范围是.
18.(1)由椭圆长轴长为,短轴长为,
得,所以,
所以椭圆方程为.
(2)设以点为中点的弦与椭圆交于,则.
在椭圆上,所以,,
两式相减可得,
所以的斜率为,
∴点为中点的弦所在直线方程为.
由,得,所以或,
所以.
19.解:(1)由题意知,年总收入为万元
年维护总费用为万元.
∴总利润,
即,
(2)年平均利润为
∵,∴
当且仅当,即时取“”
∴
答:这套设备使用6年,可使年平均利润最大,最大利润为35万元.
20.解:(1)由已知得,平面,平面,
故.
又,所以平面.
(2)由(1)知.由题设知≌,所以,
故,.
以为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz,
则C(0,1,0),B(1,1,0),(0,1,2),E(1,0,1),,,.
设平面EBC的法向量为n=(x,y,x),则
即
所以可取n=.
设平面的法向量为m=(x,y,z),则
即
所以可取m=(1,1,0).于是.
所以,二面角的正弦值为.
21.解.(1)==4;
当2时,
= ==3+1,
且=4亦满足此关系,故的通项为=3+1().
设的公比为,则==8,故=2,从而=().
(2)由定义,==,
而 = +,
2=8+
两式相减,有=8+3(1+)
=8+3(2)
22.(I)由题意知,可得.
椭圆C的方程可化简为.
将代入可得,
因此,可得.
因此,
所以椭圆C的方程为.
(Ⅱ)(ⅰ)设,则,
因为直线AB的斜率,
又,所以直线AD的斜率,
设直线AD的方程为,
由题意知,
由,可得.
所以,
因此,
由题意知,,所以,
所以直线BD的方程为,
令,得,即.可得.
所以,即.
因此存在常数使得结论成立.
(ⅱ)直线BD的方程,
令,得,即,
由(ⅰ)知,
可得的面积,
因为,当且仅当时等号成立,
此时S取得最大值,所以的面积的最大值为.