2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第五章第一讲　数列的概念与简单表示法 9页

第五章　数　列 第一讲　数列的概念与简单表示法 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1.下列说法中,正确的是(　　)‎ A.一个数列中的数是不可以重复的 B.所有数列的前n项和都能用公式表达 C.任何一个数列不是递增数列,就是递减数列 D.如果数列{an}的前n项和为Sn,则∀n∈N*,都有an+1=Sn+1 - Sn ‎2.[改编题]给出下面四个结论:‎ ‎①数列{n+1‎n}的第k项为1+‎1‎k;‎ ‎②数列的项数是无限的;‎ ‎③数列的通项公式的表达式是唯一的;‎ ‎④数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}.‎ 其中说法正确的有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.①②④ B.①‎ C.②③④ D.①②③‎ ‎3.[2020十堰模拟]图5 - 1 - 1是希尔宾斯基(SieRpinski)三角形,在所给的四个三角形图案中,阴影小三角形的个数构成数列{an}的前4项,则{an}的通项公式可以是(　　)‎ 图5-1-1‎ A.an=3n – 1 B.an=2n – 1 C.an=3n D.an=2n - 1‎ ‎4.[2019武汉市武昌区高三调考]已知数列{an}的前n项和Sn=n2 - 1,则a1+a3+a5+a7+a9=(　　)‎ A.40 B.44 C.45 D.49‎ ‎5.[2019陕西榆林一中模拟]在数列{an}中,a1=1,an=1+‎(-1‎‎)‎nan-1‎(n≥2),则a5等于(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎5‎‎3‎ C.‎8‎‎5‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎6.已知数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1 - an,则a2 019等于(　　)‎ A.6 B. - 6 C.3 D. – 3‎ ‎7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=‎3‎‎2‎,2Sn+Sn-1=3(n≥2,n∈N*),则Sn的最大值与最小值之和为(　　)‎ A.2 B.3 C.‎5‎‎2‎ D.‎‎9‎‎4‎ ‎8.[2016浙江高考]设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　　,S5=　　　　. ‎ 考法1 利用an与Sn的关系求通项公式 ‎1 [2020山东菏泽模拟]设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.则数列{an}的通项公式为　　　　. ‎ 用n - 1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用公式an=S‎1‎‎,n=1,‎Sn‎-Sn-1‎,n≥2‎求出an.‎ 由2Sn=3n+3可得a1=S1=‎1‎‎2‎×(3+3)=3,(求首项)‎ 当n≥2时,2Sn - 1=3n - 1+3,‎ 结合2Sn=3n+3可得an=Sn - Sn - 1=‎1‎‎2‎(3n+3) - ‎1‎‎2‎(3n - 1+3)=3n - 1.(求通项)‎ 而a1=3≠31 - 1,不满足上式,(检验首项a1)‎ 所以an=‎‎3,n=1,‎‎3‎n-1‎‎,n≥2.‎ ‎2[改编题]设Sn是数列{an}的前n项和,且a1= - 1,an+1=‎1‎‎2‎Sn+1Sn,则数列{an}的通项公式为　　　　. ‎ 利用an+1=Sn+1 - Sn及an+1=‎1‎‎2‎Sn+1Sn消去an+1,得到Sn+1与Sn的关系式,求出Sn,再由公式an=S‎1‎‎,n=1,‎Sn‎-Sn-1‎,n≥2‎求出an.‎ 因为an+1=‎1‎‎2‎Sn+1Sn,an+1=Sn+1 - Sn,所以Sn+1 - Sn=‎1‎‎2‎Sn+1Sn,‎ 两边同时除以Sn+1·Sn,得‎1‎Sn+1‎‎-‎‎1‎Sn= - ‎1‎‎2‎,又a1=S1= - 1,所以{‎1‎Sn}是以 - 1为首项, - ‎1‎‎2‎为公差的等差数列. ‎ 所以‎1‎Sn= - 1 - ‎1‎‎2‎(n - 1)= - ‎1‎‎2‎n - ‎1‎‎2‎,故Sn= - ‎2‎n+1‎.‎ 当n≥2时,an=Sn - Sn - 1= - ‎2‎n+1‎ - ( - ‎2‎n)=‎2‎n(n+1)‎.‎ 当n=1时,a1= - 1≠‎2‎‎1×(1+1)‎=1,不满足上式,‎ 所以an=‎‎-1(n=1),‎‎2‎n(n+1)‎‎(n≥2).‎ ‎1.[2018全国卷Ⅰ]记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=　　　　. ‎ 考法2 数列的性质及其应用 ‎3(1)已知数列{an}的通项公式为an=‎3n+k‎2‎n,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(3,+∞) B.(2,+∞)‎ C.(1,+∞) D.(0,+∞)‎ ‎(2)已知数列{an}的通项公式为an=‎9‎n‎(n+1)‎‎1‎‎0‎n,则数列中的最大项为　　　　. ‎ ‎(1)递减数列→an+1 - an<0→转化为含参数的不等式求解 ‎(2)‎ ‎(1)因为an+1 - an=‎3n+3+k‎2‎n+1‎‎-‎3n+k‎2‎n=‎‎3-3n-k‎2‎n+1‎,由数列{an}为递减数列知,对任意n∈N*,an+1 - an=‎3-3n-k‎2‎n+1‎<0,‎ 所以k>3 - 3n对任意n∈N*恒成立,所以k∈(0,+∞).故选D.‎ ‎(2)解法一　an+1 - an=‎9‎n+1‎‎(n+2)‎‎1‎‎0‎n+1‎‎-‎9‎n‎(n+1)‎‎1‎‎0‎n=‎‎9‎n‎1‎‎0‎n·‎8-n‎10‎,‎ 当n<8时,an+1 - an>0,即an+1>an;‎ 当n=8时,an+1 - an=0,即an+1=an;‎ 当n>8时,an+1 - an<0,即an+1a10>a11>…,故数列{an}中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9=‎9‎‎8‎‎×9‎‎1‎‎0‎‎8‎‎=‎‎9‎‎9‎‎1‎‎0‎‎8‎.‎ 解法二　设数列{an}中的第n项最大,则an‎≥an-1‎,‎an‎≥an+1‎,‎ ‎ 即‎9‎n‎(n+1)‎‎1‎‎0‎n‎≥‎9‎n-1‎n‎1‎‎0‎n-1‎,‎‎9‎n‎(n+1)‎‎1‎‎0‎n‎≥‎9‎n+1‎‎(n+2)‎‎1‎‎0‎n+1‎,‎解得8≤n≤9.又n∈N*,则n=8或n=9.故数列{an}中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9=‎9‎‎9‎‎1‎‎0‎‎8‎.‎ ‎4[2020武汉市部分学校质量监测]在数列{an}中,a1= - ‎1‎‎4‎,an=1 - ‎1‎an-1‎(n≥2,n∈N*),则a2 019的值为 A. - ‎1‎‎4‎ B.5 C.‎4‎‎5‎ D.‎‎5‎‎4‎ ‎ 因为在数列{an}中,a1= - ‎1‎‎4‎,an=1 - ‎1‎an-1‎(n≥2,n∈N*),所以a2=1 - ‎1‎‎--‎‎1‎‎4‎=5,a3=1 - ‎1‎‎5‎‎=‎‎4‎‎5‎,a4=1 - ‎1‎‎4‎‎5‎= - ‎1‎‎4‎,所以{an}是以3为周期的周期数列,所以a2 019=a673×3=a3=‎4‎‎5‎.‎ C ‎2.[2019浙江杭州模拟]已知数列{an}满足an=‎(‎1‎‎3‎-a)n+2,n>8,‎an-7‎‎,n≤8,‎若对任意的n∈N*,都有an>an+1,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(0,‎1‎‎3‎) B.(0,‎1‎‎2‎) C.[‎1‎‎2‎,1) D.(‎1‎‎3‎,‎1‎‎2‎)‎ 考法3 已知递推关系求数列的通项公式 ‎5已知数列{an}满足a1=2,an - an - 1=n(n≥2,n∈N*),则an=　　　　. ‎ 利用递推公式an - an - 1=n(n≥2),写出n - 1个式子并相加,再利用等差数列的前n - 1项和的公式,即可求出an.‎ ‎(累加法)由题意可知,a2 - a1=2,a3 - a2=3,…,an - an - 1=n(n≥2),‎ 以上式子累加,得an - a1=2+3+…+n.(累加时注意开始的一项与最后一项)‎ 因为a1=2,‎ 所以an=2+(2+3+…+n)(用公式求2+3+…+n时,注意项数为n - 1)‎ ‎=2+‎‎(n-1)(2+n)‎‎2‎ ‎=n‎2‎‎+n+2‎‎2‎(n≥2).‎ 因为a1=2满足上式,所以an=n‎2‎‎+n+2‎‎2‎.‎ ‎6已知在数列{an}中,an+1=nn+2‎an(n∈N*),且a1=4,则数列{an}的通项公式an=　　　　. ‎ 利用递推公式an+1=nn+2‎an,得an+1‎an‎=‎nn+2‎,写出(n - 1)个式子并相乘,即可求出an.‎ ‎(累乘法)由an+1=nn+2‎an,得an+1‎an = nn+2‎,‎ 故a‎2‎a‎1‎‎=‎‎1‎‎3‎,a‎3‎a‎2‎‎=‎‎2‎‎4‎,…,anan-1‎‎=‎n-1‎‎ n+1‎(n≥2),‎ 以上式子累乘得, ana‎1‎‎=‎‎1‎‎3‎·‎2‎‎4‎·…·n-3‎n-1‎·n-2‎n·n-1‎n+1‎‎= ‎‎2‎n(n+1)‎.(累乘时注意开始的一项与最后一项)‎ 因为a1=4,所以an=‎8‎n(n+1)‎(n≥2).‎ 因为a1=4满足上式,所以an = ‎8‎‎ n(n+1)‎.‎ ‎7已知在数列{an}中, a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x - y+1=0上,则数列{an}的通项公式为　　　　. ‎ 把点Pn(an,an+1)的坐标代入直线方程4x - y+1=0,得出数列{an}的递推公式,再利用构造法构造出等比数列,即可利用等比数列的通项公式求得结果.‎ ‎ (利用待定系数法构造)因为点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x - y+1=0上,‎ 所以4an - an+1+1=0.(将点的坐标代入直线方程得递推公式)‎ 所以an+1+‎1‎‎3‎=4(an+‎1‎‎3‎).(令an+1+λ=4(an+λ),与4an - an+1+1=0对比得λ)‎ 因为a1=3,所以a1+‎1‎‎3‎‎=‎‎10‎‎3‎.‎ 故数列{an+‎1‎‎3‎}是首项为‎10‎‎3‎,公比为4的等比数列.(注意数列{an+‎1‎‎3‎}的首项不是a1,而是a1+‎1‎‎3‎)‎ 所以an+‎1‎‎3‎ = ‎10‎‎3‎×4n - 1,故数列{an}的通项公式为an= ‎10‎‎3‎×4n - 1 - ‎1‎‎3‎.‎ ‎8已知数列{an}满足a1=2,an+1=‎2‎an‎2+‎an(n∈N*),则an=　　　　. ‎ ‎(取倒数)因为an+1= ‎2‎an‎2+‎an,所以‎1‎an+1‎‎ -‎1‎an=‎‎1‎‎2‎.(两边同时取倒数,构造出具有等差数列特征的式子)‎ 因为a1=2,即‎1‎a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎, ‎ 所以数列{‎1‎an}是首项为‎1‎‎2‎,公差为‎1‎‎2‎ 的等差数列, (注意数列{‎1‎an}的首项不是a1,而是‎1‎a‎1‎)‎ 所以‎1‎an = ‎1‎‎2‎+(n - 1)×‎1‎‎2‎‎=‎n‎2‎,故an=‎2‎n.‎ ‎3.(1)各项均不为0的数列{an}满足an+1‎‎(an+an+2‎)‎‎2‎=an+2an(n∈N*),且a3=2a8=‎1‎‎5‎,则数列{an}的通项公式为　　　　. ‎ ‎(2)已知数列{an}中,a1=‎5‎‎6‎,an+1=‎1‎‎3‎an+(‎1‎‎2‎)n+1,则an=　　　　. ‎ ‎(3)[2015江苏高考]设数列{an}满足a1=1,且an+1 - an=n+1(n∈N*),则数列{‎1‎an}前10项的和为　　　　. ‎ ‎1.D　对于选项A,数列中的数是可以重复的,故A错误;对于选项B,不是所有的数列都有通项公式,如由质数组成的无穷数列,故B错误;对于选项C,数列还可以是常数列、摇摆数列等,故C错误.易知D正确,选D.‎ ‎2.B　根据数列的表示方法可知,求数列的第k项就是将k代入通项公式,经验证知①正确;数列的项数可能是有限的,也可能是无限的,并且数列的通项公式的表达式不是唯一的,故②③不正确;集合中的元素具有无序性,而数列中每一个数的位置都是确定的,故④不正确.所以只有①正确,选B.‎ ‎3.A　题图中的阴影小三角形的个数构成数列{an}的前4项,分别为a1=1,a2=3,a3=3×3=32,a4=32×3=33,因此{an}的通项公式可以是an=3n - 1.故选A.‎ ‎4.B　解法一　因为Sn=n2 - 1,所以当n≥2时,an=Sn - Sn - 1=n2 - 1 - (n - 1)2+1=2n - 1,又a1=S1=0,所以an=‎0,n=1,‎‎2n-1,n≥2,‎所以a1+a3+a5+a7+a9=0+5+9+13+17=44.故选B.‎ 解法二　因为Sn=n2 - 1,所以当n≥2时,an=Sn - Sn - 1=n2 - 1 - (n - 1)2+1=2n - 1,又a1=S1=0,所以an=‎ ‎0,n=1,‎‎2n-1,n≥2,‎所以{an}从第二项起是等差数列,且a2=3,公差d=2,所以a1+a3+a5+a7+a9=0+4a6=4×(2×6 - 1)=44,故选B. ‎ ‎5.D　由题可知,a2=1+‎(-1‎‎)‎‎2‎a‎1‎=2,a3=1+‎(-1‎‎)‎‎3‎a‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎,a4=1+‎(-1‎‎)‎‎4‎a‎3‎=3,a5=1+‎(-1‎‎)‎‎5‎a‎4‎‎=‎‎2‎‎3‎.故选D.‎ ‎6.C　依次写出数列的各项:3,6,3, - 3, - 6, - 3,3,6,3, - 3,….所以数列{an}以6为周期循环.又2 019=6×336+3,故a2 019=a3=3.故选C.‎ ‎7.D　因为2Sn+Sn - 1=3(n≥2,n∈N*),所以当n≥3时,2Sn - 1+Sn - 2=3,两式相减得2an+an - 1=0,即an= - ‎1‎‎2‎an - 1(n≥3).当n=2时,2S2+S1=3,即3a1+2a2=3,由a1=‎3‎‎2‎得a2= - ‎3‎‎4‎,则a2= - ‎1‎‎2‎a1,所以数列{an}是以‎3‎‎2‎为首项, - ‎1‎‎2‎为公比的等比数列,所以Sn=‎3‎‎2‎‎[1-(-‎1‎‎2‎‎)‎n]‎‎1-(-‎1‎‎2‎)‎=1 - ( - ‎1‎‎2‎)n.当n为奇数时,Sn=1+(‎1‎‎2‎)n,Sn随n的增大而减小,则1an+1,所以数列{an}为递减数列,‎ 由当n≤8时an=an - 7及指数函数的性质,可知08时,an=(‎1‎‎3‎ - a)n+2单调递减,且当n≤8时,an=an - 7单调递减,‎ 所以(‎1‎‎3‎ - a)×9+2≤a8 - 7,解得a≥‎1‎‎2‎,所以‎1‎‎2‎≤a<1.‎ ‎②若08时,an=(‎1‎‎3‎ - a)n+2单调递增,不符合题意,舍去.‎ 综上可知,实数a的取值范围是[‎1‎‎2‎,1),故选C.‎ ‎3.(1)an=‎1‎n+2‎　因为an+1‎‎(an+an+2‎)‎‎2‎=an+2an,所以an+1an+an+1an+2=2an+2an.‎ 因为anan+1an+2≠0,所以 ‎1‎an+2‎‎+‎1‎an=‎‎2‎an+1‎,所以数列{‎1‎an}为等差数列.‎ 设数列{‎1‎an}的公差为d,则‎1‎a‎8‎‎=‎‎1‎a‎3‎+(8 - 3)d.‎ 因为a3=2a8=‎1‎‎5‎,所以d=1,‎ 又‎1‎a‎1‎‎=‎‎1‎a‎3‎ - 2d=3,所以数列{‎1‎an}是以3为首项,1为公差的等差数列.‎ 所以‎1‎an=3+(n - 1)×1=n+2,故数列{an}的通项公式为an=‎1‎n+2‎.‎ ‎(2)‎3‎‎2‎n‎ - ‎‎2‎‎3‎n　解法一　将an+1=‎1‎‎3‎an+(‎1‎‎2‎)n+1两边同时乘以2n+1,得2n+1·an+1=‎2‎‎3‎(2n·an)+1.‎ 令bn=2n·an,则bn+1=‎2‎‎3‎bn+1,‎ 将上式变形,得bn+1 - 3=‎2‎‎3‎(bn - 3).‎ 所以数列{bn - 3}是首项为b1 - 3=2‎×‎‎5‎‎6‎ - 3= - ‎4‎‎3‎,公比为‎2‎‎3‎的等比数列.‎ 所以bn - 3= - ‎4‎‎3‎·(‎2‎‎3‎)n - 1,即bn=3 - 2·(‎2‎‎3‎)n.‎ 于是an=bn‎2‎n‎=‎3‎‎2‎n - ‎‎2‎‎3‎n.‎ 解法二　将an+1=‎1‎‎3‎an+(‎1‎‎2‎)n+1两边同时乘以3n+1,得 ‎3n+1an+1=3nan+(‎3‎‎2‎)n+1.‎ 令bn=3n·an,则bn+1=bn+(‎3‎‎2‎)n+1,‎ 所以bn - bn - 1=(‎3‎‎2‎)n,bn - 1 - bn - 2=(‎3‎‎2‎)n - 1,…,b2 - b1=(‎3‎‎2‎)2.‎ 将以上各式累加,得bn - b1=(‎3‎‎2‎)2+…+(‎3‎‎2‎)n - 1+(‎3‎‎2‎)n.‎ 又b1=3a1=3‎×‎5‎‎6‎=‎‎5‎‎2‎=1+‎3‎‎2‎,所以bn=1+‎3‎‎2‎+(‎3‎‎2‎)2+…+(‎3‎‎2‎)n - 1+(‎3‎‎2‎)n=‎1·[1-(‎3‎‎2‎‎)‎n+1‎]‎‎1-‎‎3‎‎2‎=2·(‎3‎‎2‎)n+1 - 2,‎ 即bn=2·(‎3‎‎2‎)n+1 - 2.故an=bn‎3‎n‎=‎3‎‎2‎n - ‎‎2‎‎3‎n.‎ ‎(3)‎20‎‎11‎　由a1=1,且an+1 - an=n+1(n∈N*)得,an=a1+(a2 - a1)+(a3 - a2)+…+(an - an - 1)=1+2+3+…+n=n(n+1)‎‎2‎,则‎1‎an‎=‎‎2‎n(n+1)‎=2(‎1‎n‎ - ‎‎1‎n+1‎),‎ 故数列{‎1‎an}前10项的和S10=2×(1 - ‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎ - ‎‎1‎‎3‎+…+‎1‎‎10‎‎ - ‎‎1‎‎11‎)=2×(1 - ‎1‎‎11‎)=‎20‎‎11‎.‎