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  • 2021-06-15 发布

数学理卷·2018届福建省福州市八县一中(福清一中、长乐一中等)高二下学期期中联考(2017-04)

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密 封 装 订 线 学校: 高二年 班 号 姓名: 准考证号: ‎ ‎2016—2017学年度第二学期八县(市)一中期中联考 ‎ 高中二年数学科(理科)试卷 第Ⅰ卷 一、选择题(每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1、设为虚数单位,复数则复数的共轭复数对应的点位于( )。‎ A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 ‎2、下列值等于1的是( )。‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎3、在平面上,如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形,若两个相似三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4。类似地,在空间中,如果面数相同的多面体的对应面相似,有相同的相似比且对应多面角相等,那么这两个多面体叫相似多面体;若两个相似四面体的棱长比为1:2,则它们的体积比为( )。‎ A、1:2 B、1:4 C、1:6 D、1:8‎ ‎4、函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极大值点个数为(  )。‎ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 ‎5、已知和式,当时,S无限趋近于一个常数A,则A可用定积分表示为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6、用数学归纳法证明不等式,在验证( 为起始值)时,不等式左边为(  )。‎ A、1 B、 C、 D.‎ ‎7、一物体在力 (单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=3处 ‎(单位:m),则力F(x)所作的功为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎8、若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9、已知函数的图像为曲线C,若曲线C存在与直线垂直的切线,‎ 则实数m的取值范围( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎10、函数f(x)在定义域R内可导,若任意的x∈R,都有,且当时,有,设, ,,则a、b、c的大小关系为( )。‎ A、a<b<c B、c<a<b C、c<b<a D、b<c<a ‎11、若函数在上有最大值,则实数α的取值范围是(  )。‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎12、设函数、的定义域分别为,,且,若对于任意,都有,‎ 则称函数为在上的一个延拓函数.设,为在上的一个延拓函数,且是奇函数.给出以下命题:‎ ‎①当时,; ②函数有3个零点;‎ ‎③的解集为; ④,都有。‎ 其中正确命题的个数是( )。‎ A、1 B、2 C、3 D、4 ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13、若复数(为虚数单位),则||= .‎ ‎14、的值等于 .‎ ‎15、某小朋友按如下规则练习数数,1大拇指,2食指,3中指,4‎ 无名指,5小指,6无名指,7中指,8食指,9大拇指,10‎ 食指,,一直数到2017时,对应的指头是 ‎ ‎16、已知函数的图象与直线的交点为,函数的图象与直线的交点为N,恰好是点到函数图象上任意一点的线段长的最小值,则实数的值是 ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17、(10分)已知复数, 为虚数单位,‎ ‎(1)当复数为纯虚数时,求m的取值 ‎(2)当实数时,复数,求复数z的实部最值。‎ ‎18、(10分)已知函数 ‎ (1)利用定义法求函数的导函数 ‎(2)求曲线过的切线方程 ‎(3)求(2)的切线与曲线及直线x=2所围成的曲边图形的面积。‎ ‎19、(12分) 设曲线:,表示导函数.已知函数在 ‎ 处有极值 ‎(1)求的解析式.‎ 高二数学试卷 第 3 页 共4页 高二数学试卷 第 4 页 共4页 ‎(2)数列满足, .求,用不完全归纳法猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明。‎ ‎(3)在(2)的基础上用反证法证明:数列中不存在任何不同三项成等差数列;‎ ‎20、(12分)已知f(x)=( x∈R)在区间[1,2]上是增函数.‎ ‎(1)若函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数的值组成的集合A;‎ ‎(2)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎21、(12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱体,左右两端均为半球形,按照设计要求中间圆柱体部分的容积为16π立方米,且L≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元,半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为y千元.(圆柱体体积公式为,球的体积公式为,圆柱侧面积公式为,球的表面积公式为)‎ ‎(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;‎ ‎(2)求该容器的建造费用最小时的r.‎ ‎22、(14分)已知函数,x∈R ‎(1)若k=e,求函数f(x)的极值;‎ ‎(2)若对于任意恒成立,试求实数k的取值范围;‎ ‎(3)设函数,求证:()‎ ‎2016---2017学年度第二学期八县(市)一中期中联考 高中 二 年 数学科(理科)参考答案 一、选择题:1.B 2.C 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9.D 10.A 11.B 12.B 二、填空题:13.1 14. 15. 大拇指 16. 2‎ 三、解答题:‎ ‎17.解:依题意得:‎ ‎ ‎ ‎ 3分 ‎(2)‎ ‎ 4分 设,可得 6分 所以,当时,,所以g(m)在此区间单调递增;‎ 当时,,所以g(m)在此区间单调递减; 8分 ‎ ‎ 所以,实部最大值为,最小值为8. 10分 ‎18.解(1) 1分 ‎ 2分 ‎ 3分 ‎(2)设切点,因为 4分 ‎,切线方程 则 5分 所以切线方程 6分 ‎(3) 7分 ‎10分 ‎ ‎ ‎19. 解:(1)函数定义域为 ---------1‎ 依题意得:‎ 即: -----------3‎ ‎ ------------4‎ ‎(2)由(1)得:‎ ‎∵‎ 猜想: ---------------5‎ 证明:①当n=1时,成立;‎ ‎②假设当n=k时,成立 ---------------6‎ 当n=k+1时,‎ 所以,当n=k+1时,结论也成立 综上所述,时成立。 -----------------8‎ ‎(3)假设存在不同的三项成等差数列, ‎ 因为为偶数,为奇数,产生矛盾 所以假设错误,原命题成立。 ----------------------12‎ ‎20.解:(Ⅰ)f'(x)== , --------------------1‎ ‎∵f(x)在[1,2]上是增函数,‎ ‎∴f'(x)≥0对x∈[1,2]恒成立,‎ 即x2-ax-2≤0对x∈[1,2]恒成立. ① ------------------------3‎ 设(x)=x2-ax-2,‎ 方法一:由①得 令则在上为增函数 ‎ -------------------------6‎ 方法二:设(x)=x2-ax-2,‎ 由①得,‎ ‎∵对x∈[1,2],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f'(2)=0‎ ‎∴A={a|}. ‎ ‎(Ⅱ)由=,得x2-ax-2=0, ∵△=a2+8>0 ----------------------7‎ ‎∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2,‎ 从而|x1-x2|==.‎ ‎∵a≥1,∴|x1-x2|=≥3. -----------------9‎ 要使不等式m2+tm+1≤|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,‎ 当且仅当m2+tm+1≤3对任意t∈[-1,1]恒成立,‎ 即m2+tm-2≤0对任意t∈[-1,1]恒成立. --------------10 ‎ 设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),‎ ‎∴ 解得 -1≤m≤1.‎ 所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≤|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|-1≤m≤1}. --------------12 ‎ ‎21. ----------1‎ ① 当时,即时, ---------------8‎ ‎ --------------9‎ ② 当时,即时,‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ----------------11‎ 综上所述,①当,时,取最小值,②当,时,取最小值。---12‎ ‎22. 解:‎ ‎(Ⅰ)由k=e得,所以. 1分 令,所以=0,所以x=1。 2分 由得,故的单调递增区间是, ‎ 由得,故的单调递减区间是. 3分 所以存在极小值,无极大值。 4分 ‎(Ⅱ)由可知是偶函数.‎ 于是对任意成立,等价于对任意成立. 5分 ‎ 由得 ① 若,则恒成立,所以在为单调递增。‎ 所以,的最小值为。。 6分 ② 若,令得.‎ ‎(i)当时,.‎ 此时在上单调递增.‎ 故,符合题意. 7分 ‎(ii)当时,.‎ 当变化时的变化情况如下表:‎ 单调递减 极小值 单调递增 由此可得,在上,.‎ 依题意,,又. 9分 综上所述,实数的取值范围是. 10分 ‎(Ⅲ)依题意得,‎ 又因为 11分 ‎, 12分 ‎,‎ ‎ ‎ 由此得,‎ ‎ ‎ 故。 ‎ 所以原不等式得证。 14分