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- 2021-06-15 发布
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密 封 装 订 线
学校: 高二年 班 号 姓名: 准考证号:
2016—2017学年度第二学期八县(市)一中期中联考
高中二年数学科(理科)试卷
第Ⅰ卷
一、选择题(每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、设为虚数单位,复数则复数的共轭复数对应的点位于( )。
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
2、下列值等于1的是( )。
A、 B、 C、 D、
3、在平面上,如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形,若两个相似三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4。类似地,在空间中,如果面数相同的多面体的对应面相似,有相同的相似比且对应多面角相等,那么这两个多面体叫相似多面体;若两个相似四面体的棱长比为1:2,则它们的体积比为( )。
A、1:2 B、1:4 C、1:6 D、1:8
4、函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极大值点个数为( )。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5、已知和式,当时,S无限趋近于一个常数A,则A可用定积分表示为( )
A、 B、 C、 D、
6、用数学归纳法证明不等式,在验证( 为起始值)时,不等式左边为( )。
A、1 B、 C、 D.
7、一物体在力 (单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=3处
(单位:m),则力F(x)所作的功为( )。
A、 B、 C、 D、
8、若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
9、已知函数的图像为曲线C,若曲线C存在与直线垂直的切线,
则实数m的取值范围( )。
A、 B、 C、 D、
10、函数f(x)在定义域R内可导,若任意的x∈R,都有,且当时,有,设, ,,则a、b、c的大小关系为( )。
A、a<b<c B、c<a<b C、c<b<a D、b<c<a
11、若函数在上有最大值,则实数α的取值范围是( )。
A、 B、 C、 D、
12、设函数、的定义域分别为,,且,若对于任意,都有,
则称函数为在上的一个延拓函数.设,为在上的一个延拓函数,且是奇函数.给出以下命题:
①当时,; ②函数有3个零点;
③的解集为; ④,都有。
其中正确命题的个数是( )。
A、1 B、2 C、3 D、4
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13、若复数(为虚数单位),则||= .
14、的值等于 .
15、某小朋友按如下规则练习数数,1大拇指,2食指,3中指,4
无名指,5小指,6无名指,7中指,8食指,9大拇指,10
食指,,一直数到2017时,对应的指头是
16、已知函数的图象与直线的交点为,函数的图象与直线的交点为N,恰好是点到函数图象上任意一点的线段长的最小值,则实数的值是
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17、(10分)已知复数, 为虚数单位,
(1)当复数为纯虚数时,求m的取值
(2)当实数时,复数,求复数z的实部最值。
18、(10分)已知函数
(1)利用定义法求函数的导函数
(2)求曲线过的切线方程
(3)求(2)的切线与曲线及直线x=2所围成的曲边图形的面积。
19、(12分) 设曲线:,表示导函数.已知函数在
处有极值
(1)求的解析式.
高二数学试卷 第 3 页 共4页 高二数学试卷 第 4 页 共4页
(2)数列满足, .求,用不完全归纳法猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明。
(3)在(2)的基础上用反证法证明:数列中不存在任何不同三项成等差数列;
20、(12分)已知f(x)=( x∈R)在区间[1,2]上是增函数.
(1)若函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数的值组成的集合A;
(2)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
21、(12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱体,左右两端均为半球形,按照设计要求中间圆柱体部分的容积为16π立方米,且L≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元,半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为y千元.(圆柱体体积公式为,球的体积公式为,圆柱侧面积公式为,球的表面积公式为)
(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
22、(14分)已知函数,x∈R
(1)若k=e,求函数f(x)的极值;
(2)若对于任意恒成立,试求实数k的取值范围;
(3)设函数,求证:()
2016---2017学年度第二学期八县(市)一中期中联考
高中 二 年 数学科(理科)参考答案
一、选择题:1.B 2.C 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9.D 10.A 11.B 12.B
二、填空题:13.1 14. 15. 大拇指 16. 2
三、解答题:
17.解:依题意得:
3分
(2)
4分
设,可得 6分
所以,当时,,所以g(m)在此区间单调递增;
当时,,所以g(m)在此区间单调递减; 8分
所以,实部最大值为,最小值为8. 10分
18.解(1) 1分
2分
3分
(2)设切点,因为 4分
,切线方程
则 5分
所以切线方程 6分
(3) 7分
10分
19. 解:(1)函数定义域为 ---------1
依题意得:
即: -----------3
------------4
(2)由(1)得:
∵
猜想: ---------------5
证明:①当n=1时,成立;
②假设当n=k时,成立 ---------------6
当n=k+1时,
所以,当n=k+1时,结论也成立
综上所述,时成立。 -----------------8
(3)假设存在不同的三项成等差数列,
因为为偶数,为奇数,产生矛盾
所以假设错误,原命题成立。 ----------------------12
20.解:(Ⅰ)f'(x)== , --------------------1
∵f(x)在[1,2]上是增函数,
∴f'(x)≥0对x∈[1,2]恒成立,
即x2-ax-2≤0对x∈[1,2]恒成立. ① ------------------------3
设(x)=x2-ax-2,
方法一:由①得
令则在上为增函数
-------------------------6
方法二:设(x)=x2-ax-2,
由①得,
∵对x∈[1,2],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f'(2)=0
∴A={a|}.
(Ⅱ)由=,得x2-ax-2=0, ∵△=a2+8>0 ----------------------7
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2,
从而|x1-x2|==.
∵a≥1,∴|x1-x2|=≥3. -----------------9
要使不等式m2+tm+1≤|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m2+tm+1≤3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≤0对任意t∈[-1,1]恒成立. --------------10
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
∴ 解得 -1≤m≤1.
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≤|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|-1≤m≤1}. --------------12
21. ----------1
① 当时,即时, ---------------8
--------------9
② 当时,即时,
-
0
+
↘
极小值
↗
----------------11
综上所述,①当,时,取最小值,②当,时,取最小值。---12
22. 解:
(Ⅰ)由k=e得,所以. 1分
令,所以=0,所以x=1。 2分
由得,故的单调递增区间是,
由得,故的单调递减区间是. 3分
所以存在极小值,无极大值。 4分
(Ⅱ)由可知是偶函数.
于是对任意成立,等价于对任意成立. 5分
由得
① 若,则恒成立,所以在为单调递增。
所以,的最小值为。。 6分
② 若,令得.
(i)当时,.
此时在上单调递增.
故,符合题意. 7分
(ii)当时,.
当变化时的变化情况如下表:
单调递减
极小值
单调递增
由此可得,在上,.
依题意,,又. 9分
综上所述,实数的取值范围是. 10分
(Ⅲ)依题意得,
又因为 11分
, 12分
,
由此得,
故。
所以原不等式得证。 14分