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- 2021-06-15 发布
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第4课时 平面与平面的位置关系（对应学生用书（文）114 117页、（理）116 119页）
了解平面与平面的位置关系，在判定和证明平面与平面位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义，注意线线关系、线面关系以及面面关系的转化.
理解面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理，进一步掌握线线、线面、面面平行及垂直的相互转化.
1. （必修2P45练习1改编）已知平面α∥平面β，直线m⊂α，则m∥β一定成立，理由为 Ｗ.
答案：两个平面平行，则两平面没有公共点，因此其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，因此线面平行
2. （必修2P45练习2改编）可以作为平面α∥平面β的条件的是 Ｗ.（填序号）
① 存在一条直线a，a∥α，a∥β；
② 存在一条直线a，a⊂α，a∥β；
③ 存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；
④ 存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.
答案：④
解析：a∥β，则平面β中存在a′∥a，b∥α，则平面α内存在b′，使b∥b′，且a′与b相交，a与b′相交，∴ α∥β.故选④.
3. （必修2P45练习5改编）已知正方体ABCDA′B′C′D′中，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是 Ｗ.
答案：平行
解析：由平面与平面平行的性质定理可知，EF∥E′F′.
4. （必修2P49练习4改编）已知平面α，β，γ，则下列命题正确的是 Ｗ.（填序号）
① α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；
② α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；
③ α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，则a⊥b；
④ α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α.
答案：②
解析：以墙角为例知①错.②中，知β⊥γ，由β内有直线b⊥γ，而α∥β，则α内有a∥b，则a⊥γ，α⊥γ.故②正确.可通过举反例，说明③④是错误的.
5. 对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是 .（填序号）
① m⊥n，m∥α，n∥β；② m⊥n，α∩β＝m，n⊂α；
③ m∥n，n⊥β，m⊂α；④ m∥n，m⊥α，n⊥β.
答案：③
解析：①不正确，如图①；②不正确，如图②；④不正确，如图③.对于③，∵ m∥n，n⊥β，∴ m⊥β.又m⊂α，∴ α⊥β，故③正确.
1. 两平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么我们就说这两个平面互相平行Ｗ.
2. 两个平面的位置关系
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有一条公共直线
符号表示
α∥β
α∩β＝a
图形表示
3. 平面与平面平行
判定定理
性质定理
文字
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行
符号
图形
作用
线面平行⇒面面平行
面面平行⇒线线平行
4. 两平行平面间的距离
（1） 公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段.
（2） 两个平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段的长度就叫做两个平行平面间的距离Ｗ.
5. 平面与平面垂直
判定定理
性质定理
文字
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
符号
续表
图形
作用
线面垂直⇒面面垂直
面面垂直⇒线面垂直
[备课札记]
, 1 两平面的平行)
, 1) 如图，在三棱锥PABC中，△PAB和△CAB都是以AB为底边的等腰三角形，点D，E，F分别是PC，AC，BC的中点.
（1） 求证：平面DEF∥平面PAB；
（2） 求证：AB⊥PC.
证明：（1） ∵ 点E，F分别是AC，BC的中点，
∴ EF∥AB.
∵ AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
∴ EF∥平面PAB.
同理DF∥平面PAB.
∵ EF∩DF＝F且 EF⊂平面DEF，
DF⊂平面DEF，
∴ 平面DEF∥平面PAB.
（2） 取AB的中点G，连结PG，CG，
∵ △PAB和△CAB都是以AB为底边的等腰三角形，
∴ PG⊥AB，CG⊥AB.
∵ PG∩CG＝G，且PG⊂平面PCG，CG⊂平面PCG，
∴ AB⊥平面PCG.
∵ PC⊂平面PCG，
∴ AB⊥PC.
变式训练
如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点.求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：如图所示，连结SB，SD.
∵ F，G分别是DC，SC的中点，
∴ FG∥SD.
又SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
∴ FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1.
∵ EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴ 平面EFG∥平面BDD1B1.
在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，点P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件 时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案：Q为CC1的中点
解析：假设Q为CC1的中点.
因为点P为DD1的中点，所以QB∥PA.
又QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，所以QB∥平面PAO.
连结DB，因为点P，O分别是DD1，DB的中点，
所以D1B∥PO.又D1B⊄平面PAO，OP⊂平面PAO，
所以D1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，D1B⊂平面D1BQ， QB⊂平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
, 2 两平面的垂直关系)
●典型示例
, 2) 如图，在四棱锥PABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，点E和F分别是CD和PC的中点.求证：
（1） PA⊥平面ABCD；
（2） 平面BEF⊥平面PCD.
【思维导图】
【规范解答】 证明：（1） ∵ 平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，
∴ PA⊥平面ABCD.
（2） ∵ AB∥CD，CD＝2AB，点E为CD的中点，∴ AB綊ED，∴ 四边形ABED为平行四边形.
∵ AB⊥AD，∴ BE⊥CD，AD⊥CD.由（1）知PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴ CD⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，∴ CD⊥PD.
∵ 点E和F分别是CD和PC的中点，∴ PD∥EF，∴ CD⊥EF.
又BE，EF⊂平面BEF，BE∩EF＝E，∴ CD⊥平面BEF.
又CD⊂平面PCD，∴ 平面BEF⊥平面PCD.
【精要点评】 （1） 直接利用两个平面垂直的性质定理是关键；（2）线面垂直是证明面面垂直的前提，证明线面垂直是关键.
●总结归纳
（1） 判定两个平面垂直的方法：① 利用定义：证明二面角是直二面角；②利用判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
（2） 面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平面解析几何条件.
●题组练透
1. 设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是 Ｗ.（填序号）
① 若a⊥b，a⊥α，则b∥α；② 若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③ 若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④ 若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
答案：④
解析：①中，b可能在α内；②中，a可能在β内，也可能与β平行或相交（不垂直）；③中，a可能在α内；④中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β.
2. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列四个命题：
① 若β∥γ，α∥γ，则α∥β；② 若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
③ 若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④ 若m∥n，n⊂α，则m∥α.
其中正确的命题是 Ｗ.（填序号）
答案：①③
解析：由平面平行的“传递性”可知①正确；②可能有m⊂β，m∥β，m与β相交等情况，故不正确；③正确；④可以有m∥α或m⊂α，故不正确.
3. 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且点E，F分别是AB，BD的中点.求证：
（1） EF∥平面ACD；
（2） 平面EFC⊥平面BCD.
证明：（1） ∵ 点E，F分别是AB，BD的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，∴ EF∥AD.
∵ EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴ EF∥平面ACD.
（2） ∵ AD⊥BD，EF∥AD，∴ EF⊥BD.
∵ CB＝CD，点F是BD的中点，∴ CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，EF，CF⊂平面EFC，∴ BD⊥平面EFC.
∵ BD⊂平面BCD，∴ 平面EFC⊥平面BCD.
4. 如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，AB＝，BC＝1，点E是AB的中点，DE⊥PA.求证：平面PAC⊥平面PDE.
证明：设AC∩DE＝H，由△AEH∽△CDH及点E为AB的中点得＝＝.
∵ AB＝，BC＝1，四边形ABCD为矩形，
∴ AC＝，AH＝AC＝，∴ ＝＝.
又∠BAC为公共角，
∴ △HAE∽△BAC，∴ ∠AHE＝∠ABC＝90°，∴ DE⊥AC.
又DE⊥PA，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴ DE⊥平面PAC.
又DE⊂平面PDE，∴ 平面PAC⊥平面PDE.
, 3 平行与垂直的综合问题)
, 3) 如图，过四棱柱形木块ABCDA1B1C1D1上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开，得到截面BDFE.
（1） 请在木块的上表面作出过P的锯线EF，并说明理由；
（2） 若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，求证：平面BDFE⊥平面A1C1CA.
（1） 解：在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1，A1B1于F，E两点，则EF即为所作的锯线.
在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱B1B∥D1D且B1B＝D1D，
∴ 四边形BB1D1D是平行四边形，∴ B1D1∥BD.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面BDFE∩平面ABCD＝BD，平面BDFE∩平面A1B1C1D1＝EF，∴ EF∥BD，从而EF∥B1D1.
（2） 证明：∵ 四边形BB1D1D是矩形，∴ BD⊥B1B.
又A1A∥B1B，∴ BD⊥A1A.
又四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，
∴ BD⊥AC.
∵ AC∩A1A＝A，AC⊂平面A1C1CA，A1A⊂平面A1C1CA，
∴ BD⊥平面A1C1CA.
∵ BD⊂平面BDFE，
∴ 平面BDFE⊥平面A1C1CA.
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，点M，N分别为棱PD，PC的中点.求证：
（1） MN∥平面PAB；
（2） 平面AMN⊥平面PCD.
证明：（1） 因为M，N分别为棱PD，PC的中点，
所以MN∥DC.
因为底面ABCD是矩形，
所以AB∥DC，
所以MN∥AB.
又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
（2） 因为AP＝AD，点M为PD的中点，
所以AM⊥PD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD＝ AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD.
又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.
因为CD，PD⊂平面PCD，CD∩PD＝D，
所以AM⊥平面PCD.
因为AM⊂平面AMN，所以平面AMN⊥平面PCD.
1. 已知平面α，β，直线m，n.给出下列命题：
① 若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；
② 若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；
③ 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④ 若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.
其中，真命题是 Ｗ.（填序号）
答案：③④
解析：对于①②，平行的传递性仅限于相同的元素（点、线、面），因此均不对.
2. 如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.求证：
（1） 直线PA∥平面BDE；
（2） 平面BDE⊥平面PCD.
证明：（1） 连结OE，因为O为平行四边形对角线的交点，所以点O为BD的中点.
因为点E为PC的中点，所以OE∥PA.
因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以直线PA∥平面BDE.
（2） 因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD.
因为OP＝OC，点E为PC的中点，所以OE⊥PC.
因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，所以OE⊥平面PCD.
因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.
3. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形.
（1） 求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；
（2） 如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1.
证明：（1） ∵ 三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，∴ B1C⊥BC1.
又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，
∴ B1C⊥平面ABC1.
∵ B1C⊂平面BCC1B1，
∴ 平面ABC1⊥平面BCC1B1.
（2） 取AA1的中点F，连结DF，FE.
∵ 点D，F分别为A1C1，AA1的中点，∴ DF∥AC1.
∵ DF⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，∴ DF∥平面ABC1.
同理，EF∥平面ABC1.
∵ DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，
∴ 平面DEF∥平面ABC1.
∵ DE⊂平面DEF，∴ DE∥平面ABC1.
4. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F.
（1） 求证：AB∥EF；
（2） 若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF.
证明：（1） 因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.
因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，
所以AB∥平面PDC.
因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC＝EF，
所以AB∥EF.
（2） 因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.
又AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF.
由（1）知AB∥EF，所以AF⊥EF.
5. 如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O是侧面ACC1A1的中心，∠ACB＝，点M是棱BC的中点.求证：平面ABC1⊥平面A1BC.
证明：∵ ABCA1B1C1是直三棱柱，
∴ CC1⊥底面ABC，∴ CC1⊥BC.
又∠ACB＝，即BC⊥AC，而CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，
∴ BC⊥平面ACC1A1.
∵ AC1⊂平面ACC1A1，∴ BC⊥AC1.
又四边形ACC1A1是正方形，∴ A1C⊥AC1.
∵ BC，A1C⊂平面A1BC，且BC∩A1C＝C，
∴ AC1⊥平面A1BC.
又AC1⊂平面ABC1，∴ 平面ABC1⊥平面A1BC.
1. 如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，点M是AE的中点.若点N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC.
证明：因为平面PAC⊥平面ABC，AC为两平面的交线，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面PAC.
因为点M，N分别为AE，AP的中点，所以MN∥PE.
又PE∥CB，所以MN∥BC，即MN⊥平面PAC.
又MN⊂平面CMN，所以平面CMN⊥平面PAC.
2. 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，点E，F分别为PC，AB的中点.求证：
（1） 平面PAD⊥平面ABCD；
（2） EF∥平面PAD.
证明：（1） 因为AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AP⊥CD.
因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD.
因为AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，
因为CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
（2） 连结AC，BD交于点O，连结OE，OF.
因为四边形ABCD为矩形，所以点O为AC中点.
因为点E为PC中点，所以OE∥PA，
因为OE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以OE∥平面PAD.
同理可得OF∥平面PAD.
因为OE∩OF＝O，OE，OF⊂平面OEF，所以平面OEF∥平面PAD.
因为EF⊂平面OEF，所以EF∥平面PAD.
3. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，CD∥AB，AB＝2CD， AC交BD于点O，锐角三角形PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，点Q在侧棱PC上，且PQ＝2QC.求证：
（1） PA∥平面QBD；
（2） BD ⊥ AD.
证明：（1） 如图，连结OQ，
因为AB∥CD，AB＝2CD，
所以＝，即AO＝2OC.
又PQ＝2QC，所以PA∥OQ.
又OQ⊂平面QBD，PA⊄平面QBD，
所以PA∥平面QBD.
（2） 在平面PAD内过P点作PH⊥AD于点H，
因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH⊂平面PAD，
所以PH⊥平面ABCD.
又BD⊂平面ABCD，所以PH⊥BD.又PA⊥BD，
且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAD.
又AD⊂平面PAD，所以BD⊥AD.
4. 如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.求证：
（1） AC⊥平面BCDE；
（2） 平面ABD⊥平面ABC.
证明：（1） 连结BD.
在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，
得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，
得AB2＝AC 2＋BC 2，即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，BC为两平面的交线，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCDE.
（2） 在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝，DC＝2，
得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，BC为两平面的交线，BD⊂平面BCDE，
所以BD⊥平面ABC.
又BD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ABC.
1. 判断或证明面面平行的常用方法
（1） 利用两个平面平行的定义；
（2） 利用两个平面平行的判定定理（a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β）.
2. 判定面面垂直的方法
（1） 利用两个平面垂直的定义，两个平面所成的二面角是直二面角；
（2） 利用平面与平面垂直的判定定理（l⊥α，l⊂β⇒α⊥β）.
3. 平面与平面平行、垂直的性质的作用
（1） 两平面平行常常用来作为判定直线与平面平行或直线与直线平行的依据；
（2） 两平面垂直常常用来作为判定直线与平面垂直的一个途径.
4. 证明平行、垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行或垂直关系的相互转化，达到解题目的.
[备课札记]
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