贵州省铜仁市第一中学2020届高三上学期模拟考试数学试题（理科） 20页

铜仁一中2019-2020学年度高三第二次模拟考试 数学试卷（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两个部分，共150分，考试时间120分钟。‎ ‎2．请将答案正确填写在答题卡上，否则无效。‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考查集合的基本运算，由条件可计算出A、B两集合，然后计算即可.‎ ‎【详解】由题可得：；‎ ‎，故选择D.‎ ‎【点睛】考查集合的基本运算.属于简单题.‎ ‎2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考查复数基本概念，由可计算出，即可得出选项 ‎【详解】由，选择C.‎ ‎【点睛】考查复数的基本概念，属于基础题.‎ ‎3.学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示： ‎ 将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B. 该校只有50名学生不喜欢阅读 C. 该校只有50名学生喜欢阅读 D. 抽样表明，该校有50名学生为阅读霸 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果.‎ ‎【详解】根据频率分布直方图可列下表：‎ 阅读时间（分）‎ 抽样人数（名）‎ ‎10‎ ‎18‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎5‎ 抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.‎ ‎4.已知为等边三角形，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两向量夹角容易出错，是，而不是 ‎【详解】‎ 由图发现的夹角不是而是其补角，‎ ‎【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.‎ ‎5.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）‎ A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的最小正周期，可以求出，从而可以简单的判断出其相关性质 详解】，所以，即，‎ 令关于对称，可判断A正确，B错误；‎ 关于对称，可判断C、D错误.‎ ‎【点睛】根据三角函数的性质求参数，确定表达式后，再次研究其相关性质（对称性、奇偶性、单调性、周期性等），属于中档题.‎ ‎6.已知等差数列的前13项之和为，则等于（ ）‎ A. B. C. —1 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前13项之和 ,求得,则,运算求得结果.‎ ‎【详解】由题意可得, 则, 故选C.‎ 本题考查等差数列的定义和性质,前n项和公式的应用,求出,是解题的关键.‎ ‎7.函数的部分图像是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 函数偶函数，排除AD。且 ‎ 当 排除B。选A。‎ 故答案为A。‎ 点睛：这个题目考查的是由函数的解析式画函数的图像；一般这种题目是排除法来做的；先找函数的定义域，值域，看是否和解析式相符；再看函数的对称性，奇偶性，看两者是否相符；还有可以判断函数的极限值。‎ ‎8.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（ ）‎ A. 13.25立方丈 B. 26.5立方丈 C. 53立方丈 D. 106立方丈 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目给出的体积计算方法，将几何体已知数据代入计算，求得几何体体积 ‎【详解】由题，刍童的体积为立方丈 ‎【点睛】本题考查几何体体积的计算，正确利用题目条件，弄清楚问题本质是关键。‎ ‎9.设D为椭圆上任意一点，A（0，－2），B（0，2），延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为（ ）‎ A. x2＋（y－2）2＝20 B. x2＋（y－2）2＝5‎ C. x2＋（y＋2）2＝20 D. x2＋（y＋2）2＝5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，从而得到点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，进而可得其轨迹方程．‎ ‎【详解】由题意得，‎ 又点为椭圆上任意一点，且为椭圆的两个焦点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴点的轨迹是以点A为圆心，半径为的圆，‎ ‎∴点的轨迹方程为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．‎ ‎10.已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数性质可以知道，其最大值与最小值互为相反数，本题中可以将转化为，其中为奇函数.‎ ‎【详解】，令，即 而是在R上的奇函数，设其最大值为,最小值为，由奇函数性质可得，所以，故选择C ‎【点睛】求函数最大值最小值问题，我们时常会考虑函数是否有奇偶性，值得注意奇函数最大值与最小值的和为0，本题中构造奇函数加常数型的函数，难度较大.‎ ‎11.已知函数，给定以下命题：‎ ‎①为偶函数；②为周期函数，且最小正周期为；③若，则恒成立。‎ 正确的命题个数为（ ）个。‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的定义判断①；根据周期性的定义判断②；利用判断③.‎ ‎【详解】定义域为R，‎ 因为,所以①正确.‎ ‎,所以②正确；又所以③错误.故选C.‎ ‎【点睛】与三角函数为载体，考查函数奇偶性、周期性及恒成立问题，奇偶性、周期性更多直接借助定义来判断，判断恒成立问题，我们可以借助某些特殊值不符合，从而判断其为假命题，本题难度较大.‎ ‎12.已知函数，若方程有4个不同的实根，且，则( )‎ A. 12 B. 16 C. 18 D. 20‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象的翻折，做出图象，寻找出相对应的关系 ‎【详解】‎ 可以画出如上图的图象，由性质可知：‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选择D.‎ ‎【点睛】本题是一道函数及其图象的综合性考题，难度很大，该类型考题首先考查利用函数的平移、伸缩、翻折得出复杂函数的图象，并根据跟的分布得出对应交点横坐标的关系，而不是蛮干.‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).‎ ‎13.等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于________.‎ ‎【答案】－24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．‎ ‎【详解】由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=-3， 故此等比数列的前三项分别为-3，-6，-12，故此等比数列的公比为2，故第四项为-24， 故答案为-24.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．‎ ‎14.函数,若，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式得到a的范围，进而得到，解出参数a=1,代入表达式得到.‎ ‎【详解】由时是减函数可知，若，则，∴，由得，解得，则.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】这个题目考查了分段函数的应用，解决分段函数求值问题的策略 ‎(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。‎ ‎(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。‎ ‎(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。‎ ‎15.在△ABC中，若cosA＝，cosB＝，则cosC＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，cosA＝＞0，cosB＝＞0，得0＜A＜，0＜B＜，从而sinA＝，sinB＝，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝×－×＝‎ ‎16.已知函数．若存在，使得，则实数取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解答：‎ ‎∵f(x)=ex(x−b)，‎ ‎∴f′(x)=ex(x−b+1)，‎ 若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0，‎ 则若存x∈[,2],使得ex(x−b)+xex(x−b+1)>0，‎ 即存在x∈[,2],使得b< 成立，‎ 令 ，‎ 则 ，‎ g(x)在 递增，‎ ‎∴g(x)最大值=g(2)= ，‎ 则实数的取值范围是 点睛： (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．‎ ‎(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．‎ 三、解答题(本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).‎ ‎17.已知，函数 ‎ (1)求的最小正周期；‎ ‎(2)当时，求函数的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量数量积的坐标表示公式，写出函数的表达式，利用正弦的二倍角公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式化简函数的解析式，最后利用最小正周期公式求出最小正周期；‎ ‎（2）根据的取取值范围，求出的取取值范围，利用正弦函数的图象性质，求出函数的值域.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ ‎，所以的最小正周期为；‎ ‎（2）‎ 的值域为.‎ ‎【点睛】本题考查了求正弦型函数的周期和闭区间上的值域问题，利用二倍角的正弦、余弦公式、辅助角公式是解题的关键.‎ ‎18.已知公差不为0的等差数的前3项和＝9，且成等比数列 ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前n项和，求证 .‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 考查等差数列通项公式的计算，我们可以直接设，通过方程算出 ‎（2） 考查裂项相消法，在计算中要注意提取相应倍数 ‎【详解】（1）由＝9得：①；‎ 成等比数列得：②；‎ 联立①②得； 故 ‎（2）∵ ‎ ‎ ∴‎ ‎【点睛】以等差数列为载体，考查等差数列通项公式的计算，裂项相消法求新数列的前n相和，并且考查了分离参数方法判断值小于，属于常规题，难度不大.‎ ‎19.在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知外接圆半径,求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）3+3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周长．‎ ‎【详解】（1） ‎ ‎ ，‎ 即 ‎ 又 ‎ ‎（2） , ‎ ‎∵，‎ ‎∴由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bccosA， ‎ ‎∴， ‎ ‎∵c＞0，所以得c=2, ‎ ‎∴周长a+b+c=3+3．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．‎ ‎20.设函数，其中.‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若，求函数的极值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）具体函数求在某点处切线问题，对函数求导确定直线斜率求出切线方程 ‎（2）求极值步骤：求根，比较根大小（如果根大小关系不确定）进行讨论，依据不同情况列表，根据表格得出结论 ‎【详解】（1）当时，‎ ‎ 且，∴切线方程为 ‎ （2），令 ‎ ①若，列表如下 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 因此，函数的极小值为，函数的极大值为.‎ ‎ ②若，列表如下 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 因此，函数的极小值为，函数的极大值为.‎ ‎【点睛】（1）求切线方程要区分“过某点”与“在某点处”的切线方程 ‎（2）求极值并不只是考虑，还需要考虑根两侧导函数值是否编号；当根大小不能确定，我们还需要有效的讨论.‎ ‎21.已知函数，且.‎ ‎（1）判断函数的单调性；‎ ‎（2）若方程有两个根为，，且，求证：.‎ ‎【答案】（1）在上是单调递减，在上是单调递增；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）定积分为载体，可求解的值，从而不含有参数，求其单调性，变为常规题.‎ ‎（2）可以通过比值代换法，经过代数变形，将所证的双变量的不等式化为单变量的函数不等式，再次构造关于的函数，研究最值从而得证.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域：.‎ ‎ ，∴，∴，‎ 令，解得，故在上是单调递减；‎ 令，解得，故在上是单调递增． ‎ ‎（2）由，为函数的两个零点，得，，‎ 两式相减，可得，即，，‎ 因此，，令，‎ 由，得．则， ‎ 构造函数， 则，‎ ‎∴函数在上单调递增，故，‎ 即，可知．故命题得证．‎ ‎【点睛】不含参函数单调性研究，属于简单题 该类型考题在前几年高考中出现过——极值点偏移问题；本题中运用做差法去除参数m的干扰，搭建起关于双变量的等量关系（并且还是其次），可以通过比值代换法将双变量变为单变量函数，从双变量到单变量，达到划归的思想.从而得证.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线和曲线交于两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为,直线的直角坐标方程为;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）考察参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化，常规化考题 ‎（2）该类型考题多注意恰好在直线上，从而将直线直角坐标方程化为过P的参数方程，利用参数方程及参数几何意义就可以完成本题。‎ ‎【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以曲线C的普通方程为.‎ 因为，所以.‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题得点在直线l上，直线的参数方程为，‎ 代入椭圆的方程得，所以，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】属于常规考题，考察了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化。属于简单题，多注重直线的参数方程及其几何意义的运用，常见的问题有求，， ‎ 等值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（I）求不等式；‎ ‎（II）若不等式的解集包含，求实数的取值范围..‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（Ⅰ）利用零点分类讨论法解不等式；（Ⅱ）即在恒成立，‎ 即，即，再化为在恒成立解答即可.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）.‎ 当时，，即，解得；‎ 当时，，即，解得；‎ 当时，，即，解得.‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）对，恒成立，‎ 即在恒成立，‎ 即，‎ ‎，‎ 在恒成立，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ ‎ ‎