2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期期中数学试题（理科）（解析版） 26页

‎2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知等比数列{an}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则an=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①对于实数a，b，c，若a＞b，则ac2＞bc2；‎ ‎②命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：“若x＜﹣1，则x2﹣3x+2≤0”‎ ‎③“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件；‎ ‎④命题“∃x0∈R，x02+1≥3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．（5分）已知m∈R，命题p：方程=l表示椭圆，命题q：m2﹣7m+10＜0，则命题p是命题q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）设{an}是等差数列，公差为d，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（　　）‎ A．d＜0 B．a7=0‎ C．S9＞S5 D．S6和S7均为Sn的最大值 ‎5．（5分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题p且q为真，则a取值范围为（　　）‎ A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2a≤a≤1‎ ‎6．（5分）两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（2n+7）Sn=（5n+‎ ‎3）Tn，则的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x2+（y﹣1）2的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）设离心率为e的双曲线C：的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是（　　）‎ A．k2﹣e2＞1 B．k2﹣e2＜1 C．e2﹣k2＞1 D．e2﹣k2＜1‎ ‎9．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦距为2，过M（1，1）斜率为﹣直线l交曲线C于A，B且M是线段AB的中点，则椭圆C的标准方程为（　　）‎ A．=1 B．=1‎ C．=1 D．=‎ ‎10．（5分）如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（　　）‎ A．（6，10） B．（8，12） C．[6，8] D．[8，12]‎ ‎11．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2﹣2 D．‎ ‎12．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A．（，0） B．（0，） C．（0，） D．（，1）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．‎ ‎13．（5分）若P是双曲线C1：和圆C2：x2+y2=a2+b2的一个交点，且∠PF2F1=2∠PF1F2，其中F1、F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率的为　 　．‎ ‎14．（5分）下列命题：‎ ‎①数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=An2+Bn是数列{an}为等差数列的必要不充分条件；‎ ‎②∀x＞0，不等式2x+≥4成立的充要条件a≥2；‎ ‎③“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的充分不必要条件； ‎ ‎④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则 是P=Q的既不充分也不必要条件．‎ 则其中所有真命题的序号是　 　．‎ ‎15．（5分）设x，y满足约束条件，若z=的最小值为，则a的值　 　．‎ ‎16．（5分）在等差数列{an}中，a2=5，a6=21，记数列的前n项和为Sn，若对n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知数列an满足a1+2a2+…+2n﹣1an=（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项；‎ ‎（Ⅱ）若bn=（3﹣n）an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）直线l：x=2与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，证明：|DE|•|DE|恒为定值．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n•an+1，其中a1=1‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=+，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2n+．‎ ‎21．（12分）已知轨迹E上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹E的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F（0，1），作轨迹E的两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N，试判断直线MN是否过定点？并说明理由．‎ ‎22．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点，D，E分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且S=，离心率e=‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设经过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的最小值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知等比数列{an}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则an=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可得 （a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，由此可得首项和公比，从而得到通项公式．‎ ‎【解答】解：∵已知等比数列{an}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则 （a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，‎ 故此等比数列的首项为4，公比为 =，故通项公式为 ，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎①对于实数a，b，c，若a＞b，则ac2＞bc2；‎ ‎②命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：“若x＜﹣1，则x2﹣3x+2≤0”‎ ‎③“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件；‎ ‎④命题“∃x0∈R，x02+1≥3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据题意，对题目中的命题分析、判断真假性即可．‎ ‎【解答】解：对于①，当c=0时，命题“若a＞b，则ac2＞bc2”不成立，①错误；‎ 对于②，命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：‎ ‎“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”，②错误；‎ 对于③，x=5时，x2﹣4x﹣5=0，充分性成立，‎ x2﹣4x﹣5=0时，x=5或x=﹣1，必要性不成立，‎ 是充分不必要条件，③正确；‎ 对于④，命题“∃x0∈R，x02+1≥3x0”的否定是 ‎“∀x∈R，x2+1＜3x”，∴④错误．‎ 综上，正确的命题是③，有1个．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了命题真假性判断问题，也考查了简易逻辑的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知m∈R，命题p：方程=l表示椭圆，命题q：m2﹣7m+10＜0，则命题p是命题q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据条件求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若方程=l表示椭圆，‎ 则，得，即2＜m＜6且m≠4，‎ 由m2﹣7m+10＜0，得2＜m＜5，‎ 则命题p是命题q成立的既不充分也不必要条件，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设{an}是等差数列，公差为d，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（　　）‎ A．d＜0 B．a7=0‎ C．S9＞S5 D．S6和S7均为Sn的最大值 ‎【分析】S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为Sn的最大值．作差S9﹣S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．‎ ‎【解答】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，‎ 可得d＜0．S6和S7均为Sn的最大值．‎ S9==9a5，S5==5a3．‎ S9﹣S5=9（a1+4d）﹣5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．‎ 因此C错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题p且q为真，则a取值范围为（　　）‎ A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2a≤a≤1‎ ‎【分析】由p且q为真可知p和q为均真，p为不等式恒成立问题，转化为求函数的最小值问题，‎ q中为二次方程有解问题，△≥0．‎ ‎【解答】解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，只要（x2﹣a）min≥0，x∈[1，2]，‎ 又y=x2﹣a，x∈[1，2]的最小值为1﹣a，所以1﹣a≥0，a≤1．‎ q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，所以△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，a≤﹣2或a≥1，‎ 由p且q为真可知p和q为均真，所以a≤﹣2或a=1，‎ 故选A ‎【点评】本题以复合命题真假问题考查二次不等式恒成立问题、二次方程有解问题．‎ 不等式恒成立问题经常转化为求函数的最值问题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（2n+7）Sn=（5n+3）Tn，则的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可得=，而由等差数列的性质可得=，代入可求．‎ ‎【解答】解：由题意可得=，‎ 而==‎ ‎===，‎ 故选D ‎【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，化=是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x2+（y﹣1）2的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A ‎∩B，可以画出其可行域，目标函数z=x2+（y﹣1）2表示可行域中的点到圆心（0，1）距离的平方，从而进而求解；‎ ‎【解答】解：集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，‎ B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，可以若x＞0，﹣x≤y≤x；若x＜0可得，x≤y≤﹣x M=A∩B，‎ 可以画出可行域M：‎ 目标函数z=x2+（y﹣1）2表示可行域中的点到圆心（0，1）距离的平方，‎ 由上图可知：z在点A或C可以取得最小值，即圆心（0，1）到直线y=x的距离的平方，‎ zmin=d2=（）2=，‎ z在点B或D处取得最大值，zmax=|0B|2=（）2+（）2=，‎ ‎∴≤z≤，‎ 故选A；‎ ‎【点评】此题主要考查线性规划的应用，解决此题的关键是画出可行域，考查的知识点比较全面，是一道基础题；‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设离心率为e的双曲线C：‎ 的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是（　　）‎ A．k2﹣e2＞1 B．k2﹣e2＜1 C．e2﹣k2＞1 D．e2﹣k2＜1‎ ‎【分析】设直线方程为：y=k（x﹣c）代入双曲线方程得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2k2c2﹣a2b2=0，方程有两根，x1•x2=（﹣a2k2c2﹣a2b2）÷（b2﹣a2k2）＜0，因﹣a2k2c2﹣a2b2必定小于0，故只需：b2﹣a2k2＞0即可，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：由题意可设直线方程为：y=k（x﹣c）代入双曲线方程得：‎ ‎（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2k2c2﹣a2b2=0，方程有两根，可设为x1＞0，x2＜0：‎ x1•x2=（﹣a2k2c2﹣a2b2）÷（b2﹣a2k2）＜0，‎ 因﹣a2k2c2﹣a2b2必定小于0，故只需：b2﹣a2k2＞0即可，‎ b2﹣a2k2=c2﹣a2﹣a2k2=a2e2﹣a2﹣a2k2=a2（e2﹣1﹣k2）＞0‎ e2﹣1﹣k2＞0，‎ e2﹣k2＞1．‎ 故选c．‎ ‎【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦距为2，过M（1，1）斜率为﹣直线l交曲线C于A，B且M是线段AB的中点，则椭圆C的标准方程为（　　）‎ A．=1 B．=1‎ C．=1 D．=‎ ‎【分析】根据题意，由椭圆的焦距为2，分析可得c=1，进而可得a2﹣b2‎ ‎=1；设A（x1，y1），B（x2，y2）；将其代入椭圆的方程即可得+=1，①，+=1，②，利用点差法分析可得=，解可得a2=4，b2=3，将其值代入椭圆的方程即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆=1（a＞b＞0）的焦距为2，即c=1，‎ 则有a2﹣b2=1；‎ 过M（1，1）斜率为﹣直线l交曲线C于A、B，设A（x1，y1），B（x2，y2）；‎ 则有+=1，①，+=1，②，‎ ‎①﹣②可得：=﹣，变形可得：=﹣，‎ 又由M（1，1）为AB的中点，则x1+x2=2，y1+y2=2，‎ 直线l的斜率为﹣，则有=﹣，‎ 分析可得=，‎ 又由a2﹣b2=1；‎ 则a2=4，b2=3，‎ 椭圆的标准方程为：+=1；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系以及点差法的运用，涉及椭圆的几何性质，注意椭圆的焦距为2c．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（　　）‎ A．（6，10） B．（8，12） C．[6，8] D．[8，12]‎ ‎【分析】由抛物线定义可得|AF|=xA+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+（xB﹣xA）+4=6+xB，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），‎ 由抛物线定义可得|AF|=xA+2，‎ 圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，‎ ‎∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+（xB﹣xA）+4=6+xB，‎ 由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，‎ ‎∴xB∈（2，6）‎ ‎∴6+xB∈（8，12）‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2﹣2 D．‎ ‎【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．‎ ‎【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，‎ ‎∴（1+2d）2=1+12d．‎ 得d=2或d=0（舍去），‎ ‎∴an =2n﹣1，‎ ‎∴Sn==n2，‎ ‎∴=．‎ 令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4‎ 当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ A．（，0） B．（0，） C．（0，） D．（，1）‎ ‎【分析】根据题意得出∠B1PA2是向量与的夹角，设出椭圆的方程，利用坐标表示出、；再由数量积•＜0，求出椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎∠B1PA2是与的夹角；‎ 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，‎ 则=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b）；‎ ‎∵向量的夹角为钝角时，•＜0，‎ ‎∴﹣ac+b2＜0，‎ 又b2=a2﹣c2，‎ ‎∴a2﹣ac﹣c2＜0；‎ 两边除以a2得1﹣e﹣e2＜0，‎ 即e2+e﹣1＞0；‎ 解得e＜，或e＞；‎ 又∵0＜e＜1，∴＜e＜1；‎ ‎∴椭圆离心率e的取值范围是（，1）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，解题时利用向量的数量积小于0，建立不等式，求出正确的结论，是中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．‎ ‎13．（5分）若P是双曲线C1：和圆C2：x2+y2=a2+b2的一个交点，且∠PF2F1=2∠PF1F2，其中F1、F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率的为　　．‎ ‎【分析】a2+b2=c2，知圆C2必过双曲线C1的两个焦点，，2∠PF1F2=∠PF2F1=，则|PF2|=c，c，由此能求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵a2+b2=c2，‎ ‎∴圆C2必过双曲线C1的两个焦点，，‎ ‎2∠PF1F2=∠PF2F1=，则|PF2|=c，c，‎ 故双曲线的离心率为 ．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）下列命题：‎ ‎①数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=An2+Bn是数列{an}为等差数列的必要不充分条件；‎ ‎②∀x＞0，不等式2x+≥4成立的充要条件a≥2；‎ ‎③“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的充分不必要条件； ‎ ‎④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则是P=Q的既不充分也不必要条件．‎ 则其中所有真命题的序号是　②③④　．‎ ‎【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析、判断真假性即可．‎ ‎【解答】解：对于①，由Sn=An2+Bn得a1=A+B，‎ n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2An﹣A+B，显然n=1时适合该式，‎ 因此数列{an}是等差数列，满足充分性，∴①是假命题；‎ 对于②，∀x＞0，不等式2x+≥2=2≥4⇔a≥2，‎ ‎∴②是真命题；‎ 对于③，“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的逆否命题为：若x=1且y=﹣1，则x+y=0，‎ 则x=1且y=﹣1，是x+y=0成立的充分不必要条件，‎ ‎∴“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的充分不必要条件，③正确； ‎ 对于④，不等式x2+x+5＞0与x2+x+2＞0的解集都是R，但=≠，必要性不成立；‎ 同理，充分性也不成立，是既不充分也不必要条件，④正确．‎ 综上，所有真命题的序号是②③④．‎ 故答案为：②③④．‎ ‎【点评】本题考查了数列与不等式，以及充分与必要条件的应用问题，是综合题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设x，y满足约束条件，若z=的最小值为 ‎，则a的值　1　．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=中的表示过点（x，y）与（﹣1．﹣1）连线的斜率，只需求出可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率即可．‎ ‎【解答】解：∵，‎ 而表示过点（x，y）与（﹣1．﹣1）连线的斜率，‎ 易知a＞0，所以可作出可行域，‎ 知的最小值是，‎ 即．‎ 故填：1．‎ ‎【点评】涉及到线性规划的题目，每年必考；就此题而言，式子 的处理应当成为解决本题的关键，一般来说，高考题中的分式结构在处理方式上一般是分离变形，这样其几何意义就表现来了．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在等差数列{an}中，a2=5，a6=21，记数列的前n项和为Sn，若对n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为　5　．‎ ‎【分析】由题干中的等式变形得出数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，得出{}的通项公式，证明数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）是递减数列，得出数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）的最大项，再由S2n+1﹣Sn≤，求出正整数得m的最小值．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，∵a2=5，a6=21，‎ ‎∴，‎ 解得a1=1，d=4，‎ ‎∴==，‎ ‎∵（S2n+1﹣Sn）﹣（S2n+3﹣Sn+1）‎ ‎=（++…+）﹣（++…+）‎ ‎=﹣﹣‎ ‎=﹣﹣‎ ‎=（﹣）+（﹣）＞0，‎ ‎∴数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）是递减数列，‎ 数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）的最大项为S3﹣S1=+=，‎ ‎∵≤，∴m≥，‎ 又∵m是正整数，‎ ‎∴m的最小值为5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】‎ 本题考查数列与不等式的结合问题，难度之一为结合已知和要求的式子，观察出数列是等差或等比数列；难度之二求数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）的最大值，证数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）是递减数列，证明方法：（S2n+1﹣Sn）﹣（S2n+3﹣Sn+1）＞0．是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）把a=1代入命题p，可得x的取值范围是{x|1＜x＜3}，命题q：分别利用因式分解解出不等式并取交集，可得x范围是{x|2＜x≤3}，p∧q为真即p真且q真；‎ ‎（2）¬p是¬q的充分不必要条件，可转化为q是p的充分不必要条件，进而转化为两个集合间的真子集关系，列出不等式即可．‎ ‎【解答】（1）当a＞0时，{x|x2﹣4ax+3a2＜0}={x|（x﹣3a）（x﹣a）＜0}={x|a＜x＜3a}，如果a=1时，则x的取值范围是{x|1＜x＜3}，而{x|x2﹣x﹣6≤0，且x2+2x﹣8＞0}={x|2＜x≤3}，‎ 因为p∧q为真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}．故实数x的取值范围是{x|2＜x＜3}．‎ ‎（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件．由（1）知，{x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}（a＞0）的真子集，易知a≤2且3＜3a，解得{a|1＜a≤2}．‎ 故实数a的取值范围是{a|1＜a≤2}．‎ ‎【点评】本题考查了二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知数列an满足a1+2a2+…+2n﹣1an=（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项；‎ ‎（Ⅱ）若bn=（3﹣n）an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）根据数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）数列an满足a12+2a+…+2n﹣1an=（n∈N*）（1）‎ 当n≥2时，=（2）‎ ‎（1）﹣（2）得：，‎ 整理得：，‎ 当n=1时，也满足上式 所以：．‎ ‎（Ⅱ）bn=（3﹣n）an=，‎ 则：①，‎ 所以：②，‎ ‎①﹣②得：，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ 所以：．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）直线l：x=2与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，证明：|DE|•|DE|恒为定值．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的端点，△A1BA2的面积为2，建立方程组，可求椭圆方程．‎ ‎（2）A1（﹣2，0），A2（2，0）．设P（x0，y0），直线A1P的方程为y=（x+2），令x=2，得|DE|=，同理|DF|=，由此能求出|DE|•|DF|为定值3．‎ ‎【解答】（1）解：由已知，可得，‎ 解得a=2，b=． ‎ 故所求椭圆方程为． ‎ ‎（2）由题意可得：A1（﹣2，0），A2（2，0）．设P（x0，y0），‎ 由题意可得：﹣2＜x0＜2，‎ ‎∴直线A1P的方程为y=（x+2），令x=2，‎ 则y=，即|DE|=，‎ 同理：直线BP的方程为y=（x﹣2），令x=2，‎ 则y=，即|DF|=，‎ 所以|DE|•|DF|=×==，‎ ‎4y02=3（4﹣x02），代入上式，得|DE|•|DF|=3，‎ 故|DE|•|DF|为定值3．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查|DE|•|DE|恒为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n•an+1，其中a1=1‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=+，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2n+．‎ ‎【分析】（1）求出数列的首项，通过，得到数列的递推关系式，利用累加法求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）化简bn=+，为，然后求解数列{bn}的前n项和为Tn，即可证明：Tn＜2n+．‎ ‎【解答】（本题14分）‎ 解：（1）令n=1，得，即，由已知a1=1，得a2=2…（1分）‎ 把式子中的n用n﹣1替代，得到 由可得 即，即 即得：，…（3分）‎ 所以：‎ 即 …（6分）‎ 又∵a2=2，所以∵an=n（n≥2）‎ 又∵a1=1，∴an=n…（8分）‎ ‎（2）由（1）知 又∵…（11分）‎ ‎∴‎ ‎∴…（14分）‎ ‎【点评】本题考查数列与不等式的应用，数列的递推关系式以及数列的求和的方法，通项公式的求法，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知轨迹E上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹E的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F（0，1），作轨迹E的两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N，试判断直线MN是否过定点？并说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义可知：P点轨迹是以点F（0，1）为焦点，y=﹣1为准线的抛物线，即可求得轨迹E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得M坐标，同理求得N点坐标，根据直线的斜率公式及点斜式方程，即可求得直线y=x+3，即可求证直线MN恒过定点．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）为轨迹E上任意一点，‎ 依题意，点P到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，‎ ‎∴P点轨迹是以点F（0，1）为焦点，y=﹣1为准线的抛物线．…2分 所以曲线E的方程为x2=4y；…4分 ‎（Ⅱ）设直线AB：y=kx+1，联立，整理得x2﹣4kx﹣4=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y1），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，‎ 设M（x0，y0），则x0==2k，y0=kx0+1=2k2+1，‎ ‎∴M（2k，2k2+1）…6分 同理N（﹣，+1）…8分 ‎∴kMN===，…10分 ‎∴直线MN：y﹣（2k2+1）=（x﹣2k），‎ 整理得y=x+3，…11分 ‎∴直线MN恒过定点（0，3）…12分．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查直线点斜式方程的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点，D，E分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且S=，离心率e=‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设经过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，三角形的面积，列出方程组，然后求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设出直线方程，联立直线与椭圆方程的方程组，利用韦达定理以及三角形的面积公式，结合函数的单调性求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）‎ 解得，故所求椭圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）‎ ‎（Ⅱ）由（1）知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为x=ty+1，代入椭圆的方程，‎ 整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎∵，|AF2|=，|BF2|=，‎ ‎==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）‎ 当且仅当t=0时上式取等号．∴的最小值为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，函数的单调性的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎