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- 2021-06-15 发布
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【题型综述】
不等式恒成立的转化策略一般有以下几种:
①分离参数+函数最值;
②直接化为最值+分类讨论;
③缩小范围+证明不等式;
④分离函数+数形结合。
通过讨论函数的单调性及最值,直接化为最值的优点是函数结构简单,是不等式恒成立的通性通法,高考参考答案一般都是以这种解法给出,缺点是一般需要分类讨论,解题过程较长,解题层级数较多,不易掌握分类标准。
【典例指引】
例1.设是在点处的切线.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)设,其中.若对恒成立,求的取值范围.
【思路引导】
(Ⅰ)由导数值得切线斜率,进而得切线方程,即可求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)令,求导证得;
(Ⅲ),① 当时,由(Ⅰ)得 ,可得,进而得在区间上单调递增, 恒成立,② 当时,可得在区间上单调递增,存在,使得, ,此时不会恒成立,进而得的取值范围.
当时, ,故单调递减;
当时, ,故单调递增.
所以, ).*
所以.
点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:
(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;
(2)若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为 ,若恒成立;
(3)若 恒成立,可转化为(需在同一处取得最值) .
例2.函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若且满足:对,,都有,试比较与的大小,并证明.
【思路引导】
(1)求出, 讨论两种情况分别令可得增区间, 可得得减区间;
(2)由(Ⅰ)知在上单调递减,在上单调递增,所以对,,都有等价于,可得,令,研究其单调性,可得,进而可得结果.
(Ⅱ)当时,由得.
由(Ⅰ)知在上单调递减,在上单调递增,所以对,,都有
等价于
即解得;*
令,,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
又,所以.
即,所以.*
例3.已知函数(,为自然对数的底数)在点处的切线经过点.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【思路引导】
(Ⅰ)求出,由过点的直线的斜率为可得,讨论两种情况,分别由得增区间, 得减区间;(Ⅱ)原不等式等价于不等式恒成立,利用导数研究的单调性,求其最小值,令其最小值不小于零即可得结果.
(Ⅱ)不等式恒成立,即不等式恒成立,设,
若,则,函数单调递增且不存在最小值,不满足题意;当时,由得,*
当时, 单调递减;
当时, 单调递增,
所以,要使得恒成立,只需恒成立,由于,所以有,解得,即当时, 恒成立,即恒成立,也即不等式恒成立,所以实数的取值范围为.