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  • 2021-06-15 发布

【数学】2020届一轮复习人教B版已知不等恒成立,讨论单调或最值学案

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‎【题型综述】‎ 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种:‎ ‎①分离参数+函数最值;‎ ‎②直接化为最值+分类讨论;‎ ‎③缩小范围+证明不等式;‎ ‎④分离函数+数形结合。‎ 通过讨论函数的单调性及最值,直接化为最值的优点是函数结构简单,是不等式恒成立的通性通法,高考参考答案一般都是以这种解法给出,缺点是一般需要分类讨论,解题过程较长,解题层级数较多,不易掌握分类标准。‎ ‎【典例指引】‎ 例1.设是在点处的切线.‎ ‎(Ⅰ)求的解析式;‎ ‎(Ⅱ)求证: ;‎ ‎(Ⅲ)设,其中.若对恒成立,求的取值范围.‎ ‎【思路引导】‎ ‎(Ⅰ)由导数值得切线斜率,进而得切线方程,即可求函数f(x)的解析式;‎ ‎(Ⅱ)令,求导证得;‎ ‎(Ⅲ),① 当时,由(Ⅰ)得 ,可得,进而得在区间上单调递增, 恒成立,② 当时,可得在区间上单调递增,存在,使得, ,此时不会恒成立,进而得的取值范围.‎ 当时, ,故单调递减;‎ 当时, ,故单调递增. ‎ 所以, ).*‎ 所以. ‎ 点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:‎ ‎(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;‎ ‎(2)若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为 ,若恒成立;‎ ‎(3)若 恒成立,可转化为(需在同一处取得最值) .‎ 例2.函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若且满足:对,,都有,试比较与的大小,并证明.‎ ‎【思路引导】‎ ‎(1)求出, 讨论两种情况分别令可得增区间, 可得得减区间;‎ ‎(2)由(Ⅰ)知在上单调递减,在上单调递增,所以对,,都有等价于,可得,令,研究其单调性,可得,进而可得结果.‎ ‎(Ⅱ)当时,由得.‎ 由(Ⅰ)知在上单调递减,在上单调递增,所以对,,都有 等价于 即解得;*‎ 令,,‎ 当时,,单调递减;‎ 当时,,单调递增;‎ 又,所以.‎ 即,所以.*‎ 例3.已知函数(,为自然对数的底数)在点处的切线经过点.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【思路引导】‎ ‎ (Ⅰ)求出,由过点的直线的斜率为可得,讨论两种情况,分别由得增区间, 得减区间;(Ⅱ)原不等式等价于不等式恒成立,利用导数研究的单调性,求其最小值,令其最小值不小于零即可得结果.‎ ‎(Ⅱ)不等式恒成立,即不等式恒成立,设,‎ 若,则,函数单调递增且不存在最小值,不满足题意;当时,由得,*‎ 当时, 单调递减;‎ 当时, 单调递增,‎ 所以,要使得恒成立,只需恒成立,由于,所以有,解得,即当时, 恒成立,即恒成立,也即不等式恒成立,所以实数的取值范围为.‎

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