2017-2018学年湖南师范大学附属中学高二下学期期末考试数学（文）试题（Word版） 15页

‎2017-2018学年湖南师范大学附属中学高二下学期期末考试 数　学(文科)‎ 得分：______________‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集U＝R，集合M＝{x≤x－1≤4}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A．2个 B．3个 C．1个 D．无穷多个 ‎2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．设i为虚数单位，m∈R，“复数z＝(m2－1)＋(m－1)i是纯虚数”是“m＝±‎1”‎的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为 A．2y±x＝0 B．2x±y＝0‎ C．8x±y＝0 D．x±8y＝0‎ ‎5．下列函数的最小正周期为π的是 A．y＝cos2x B．y＝|sin|‎ C．y＝sin x D．y＝tan ‎6．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为 A. 　　　B. C. 　　　D. ‎7．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2 (a>0，a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝‎ A．2 B. C. D．a2‎ ‎8．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝‎ A．－4 B．－‎3 C．－2 D．－1‎ ‎9．已知某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y的值恰好是，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是 A．y＝x3 B．y＝x C．y＝3x D．y＝3－x ‎10．设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为 A．4 B. C. D. ‎11．过点P作圆C：＋＝1的切线，切点分别为A、B，则·的最小值为 A. B. C. D．2－3‎ ‎12．已知函数f＝(b∈R)．若存在x∈，使得f(x)＞－x·f′(x)，则实数b的取值范围是 A. B. C. D. 选择题答题卡 题　号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 得　分 答　案 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是________．‎ ‎14．在△ABC中，若∠B＝60°，sin A＝，BC＝2，则AC＝________．‎ ‎15．已知函数f＝，其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f＝b有三个不同的零点，则m的取值范围是________．‎ ‎16．给出如下定理：“若Rt△ABC斜边AB上的高为h，则有＝＋”．在空间四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，类比上述定理，得到的正确结论是________________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝2coscos(2π－x)．‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(Ⅱ)当x∈时，求函数y＝f(x)＋cos2x的最大值和最小值．‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 若数列{an}是递增的等差数列，其中的a3＝5，且a1、a2、a5成等比数列．‎ ‎(Ⅰ)设bn＝，求数列{bn}的前n项的和Tn.‎ ‎(Ⅱ)是否存在自然数m，使得0，b>0，可知当直线z＝ax＋by经过点P(4，6)时，z取得最大值，由已知得‎4a＋6b＝12，即‎2a＋3b＝6，所以＋＝＋＝＋＋‎ eq f(a,b)≥，当且仅当＝，即a＝b＝时取得等号，故＋的最小值为，故选D.‎ ‎11．C　【解析】·＝()2cos∠APB＝(PC2－1)×(2cos2∠APC－1)＝(PC2－1)(1－)＝PC2＋－3，∵PC2＝(t＋1)2＋(3－t)2＝2t2－4t＋10≥8，∴PC2＋－3≥8＋－3＝.故选C.‎ ‎12．C　【解析】f＋xf′>0′>0，设g＝xf＝ln x＋，若存在x∈，使得f＋xf′>0，则函数g在区间上存在子区间使得g′>0成立，g′＝＋2＝，设h＝2x2－2bx＋1，则h>0或h>0，即8－4b＋1>0或－b＋1>0，得b<，故选C.‎ 二、填空题 ‎13. ‎14．3　【解析】由正弦定理得，＝，即＝，所以AC＝6×＝3.‎ ‎15．(3，＋∞)　【解析】函数y＝为偶函数，且左减右增．函数y＝x2－2mx＋‎4m的对称轴为x＝m，且向右单调递增．故当x≤m时函数f先减后增，当时函数f单调递增，要f＝b有三个不同的零点则必须满足m>m2－‎2m2‎＋‎4m，解得m>3.‎ ‎16.＝＋＋ ‎【解析】如图，连接CO，延长交AB于点D，连PD，‎ 由已知可得，PC⊥PD，PO⊥CD，PA⊥PB，PD⊥AB，‎ 由定理，得＝＋＝＋＋.‎ 三、解答题 ‎17．【解析】(Ⅰ)因为f(x)＝2coscos(2π－x)＝2sin xcos x＝sin 2x.(4分)‎ 所以函数f(x)的最小正周期为π.(6分)‎ ‎(Ⅱ)因为y＝f(x)＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)．(8分)‎ 由0≤x≤≤2x＋≤，从而－≤sin(2x＋)≤1.(10分)‎ 所以当x∈时，f(x)的最大值为，最小值为－1.(12分)‎ ‎18．【解析】(Ⅰ)在等差数列中，设公差为d≠0，‎ 由题意(2分)‎ ‎∴∴an＝2n－1(3分)‎ 则bn＝＝＝(－)(4分)‎ 所以Tn＝(－)＋(－)＋…(－)＝(1－)＝(6分)‎ ‎(Ⅱ)Tn＋1－Tn＝>0，∴{Tn}单调递增．(7分)‎ ‎∴Tn≥T1＝.(8分)‎ Tn＝(1－)＝－<(9分)‎ 要使得－在[0，＋∞)上恒成立．‎ 即x2＋2(1－m)x＋4>0在[0，＋∞)上恒成立．‎ 记h(x)＝x2＋2(1－m)x＋4.‎ ‎(ⅰ)由Δ<0，即[2(1－m)]2－4×4<0，解得－1－在[0，＋∞)上恒成立．‎ ‎(ⅰ)当x＝0时，g(0)＝>－成立；‎ ‎(ⅱ)当x>0时，2(m－1)<＝x＋在x∈(0，＋∞)上恒成立，‎ 又当x>0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取得最小值)‎ 所以2(m－1)<4，解得m∈(－∞，3)．(12分)‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．‎ ‎22．【解析】(Ⅰ)C1：3x2＋y2＝3，l：x＋y＝4.(4分)‎ ‎(Ⅱ)法1：设Q(cos θ，sin θ)，则点Q到直线l的距离 d＝＝＝≥＝当且仅当θ＋＝2kπ＋，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时，Q点到直线l距离的最小值为.(10分)‎ 法2：设Q(x，y)，直线l：x＋y＝c与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切求出c，则Q点到直线l距离的最小值为两平行直线间的距离．‎ ‎23．【解析】(Ⅰ)当a＝0时，g(x)＝－|x－2|(x>0)，‎ g(x)≤|x－1|＋b－b≤|x－1|＋|x－2|(1分)‎ ‎|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1，当且仅当1≤x≤2时等号成立，(4分)‎ 实数b的取值范围是[－1，＋∞)．(5分)‎ ‎(Ⅱ)当a＝1时，g(x)＝，(7分)‎ 当02－2＝0；(8分)‎ 当x≥1时，g(x)≥0，当且仅当x＝1等号成立；(9分)‎ 故当x＝1时，函数y＝g(x)取得最小值0.(10分)‎