2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：选修4－4　第2讲　参数方程 15页

第 2 讲　参数方程 一、知识梳理 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数， 从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求 出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么{x＝f（t）， y＝g（t） 就是曲线的参数方程，在参数方程与 普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名称 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝k(x－x0) {x＝x0＋tcos α y＝y0＋tsin α (t 为参数) 圆 (x－x0)2＋(y－y0)2＝R2 {x＝x0＋Rcos θ y＝y0＋Rsin θ (θ 为参数且 0≤θ<2π) 椭圆 x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0) {x＝acos t y＝bsin t (t 为参数且 0≤t<2π) 抛物线 y2＝2px(p>0) {x＝2pt2 y＝2pt (t 为参数) 常用结论 1．直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用： 已知直线 l 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α，点 M(x，y)为 l 上任意一点，则直线 l 的参 数方程为{x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (t 为参数)． ①若 M1，M2 是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t1，t2，则|M0M1→ | |M0M2→ |＝|t1t2|，|M1M2→ |＝|t2－t1|＝ （t2＋t1）2－4t1t2； ②若线段 M1M2 的中点为 M3，点 M1，M2，M3 对应的参数分别为 t1，t2，t3，则 t3＝ t1＋t2 2 ； ③若直线 l 上的线段 M1M2 的中点为 M0(x0，y0)，则 t1＋t2＝0，t1t2<0. (2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该 直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义． 2．掌握圆的参数方程的两种应用 (1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为 点与圆、直线与圆的位置关系． (2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题． 二、教材衍化 1．曲线{x＝－1＋cos θ， y＝2＋sin θ (θ 为参数)的对称中心(　　) A．在直线 y＝2x 上　　　 B．在直线 y＝－2x 上 C．在直线 y＝x－1 上 D．在直线 y＝x＋1 上 解析：选 B.由{x＝－1＋cos θ， y＝2＋sin θ， 得{cos θ＝x＋1， sin θ＝y－2. 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1 为半径的圆，所以对称中心为(－ 1，2)，在直线 y＝－2x 上． 2．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：{x＝t， y＝t－a(t 为参数)过椭圆 C：{x＝3cos φ， y＝2sin φ (φ 为参数)的右顶点，则常数 a 的值为________． 解析：直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0， 椭圆 C 的普通方程为x2 9＋y2 4＝1， 所以椭圆 C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线 l 过点(3，0)， 则 3－a＝0， 所以 a＝3. 答案：3 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)参数方程{x＝f（t）， y＝g（t） 中的 x，y 都是参数 t 的函数．(　　) (2)过 M0(x0，y0)，倾斜角为 α (α ≠ π 2)的直线 l 的参数方程为{x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (t 为参 数)．参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线 段 M0M 的数量．(　　) (3)方程{x＝2cos θ， y＝1＋2sin θ(θ 为参数)表示以点(0，1)为圆心，以 2 为半径的圆．(　　) (4)已知椭圆的参数方程{x＝2cos t， y＝4sin t (t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t＝π 3，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ (1)不注意互化的等价性致误； (2)直线参数方程中参数 t 的几何意义不清致误； (3)交点坐标计算出错致错． 1．若曲线 C 的参数方程为{x＝1＋cos 2θ， y＝sin2θ (θ 为参数)，则曲线 C 上的点的轨迹是 (　　) A．直线 x＋2y－2＝0 B．以(2，0)为端点的射线 C．圆(x－1)2＋y2＝1 D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段 解析：选 D.将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 x＋2y－2＝0(0≤x≤2，0≤y≤1)．故 选 D. 2．已知直线{x＝x0＋at， y＝y0＋bt (t 为参数)上两点 A，B 对应的参数值是 t1，t2，则|AB|＝(　　) A．|t1＋t2| B．|t1－t2| C. a2＋b2|t1－t2| D．|t1－t2| a2＋b2 解 析 ： 选 C. 依 题 意 ， A(x0 ＋ at1 ， y0 ＋ bt1) ， B(x0 ＋ at2 ， y0 ＋ bt2) ， 则 |AB| ＝ [x0＋at1－（x0＋at2）]2＋[y0＋bt1－（y0＋bt2）]2＝ a2＋b2|t1－t2|.故选 C. 3．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲 线 C1 的极坐标方程为 ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线 C2 的参数方程为{x＝t2， y＝2 2t(t 为参数)， 则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________． 解析：由 ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得 x＋y＝－2　①. 又{x＝t2， y＝2 2t，消去 t，得 y2＝8x　②. 联立①②得{x＝2， y＝－4，即交点坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4) 　　　　　　参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1．将下列参数方程化为普通方程． (1){x＝1 t， y＝1 t t2－1 (t 为参数)； (2){x＝2＋sin2θ， y＝－1＋cos 2θ(θ 为参数)． 解：(1)由 t2－1≥0⇒t≥1 或 t≤－1 ⇒00，t2>0，所以|PA|＋|PB|＝t1＋t2＝7. 2．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{x＝3cos θ， y＝sin θ (θ 为参数)，直线 l 的参 数方程为{x＝a＋4t， y＝1－t (t 为参数)． (1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a. 解：(1)曲线 C 的普通方程为x2 9＋y2＝1. 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0. 由{x＋4y－3＝0， x2 9 ＋y2＝1， 解得{x＝3， y＝0 或{x＝－21 25， y＝24 25. 从而 C 与 l 的交点坐标为(3，0)，(－21 25， 24 25). (2)直线 l 的普通方程为 x＋4y－a－4＝0，故 C 上的点(3cos θ，sin θ)到 l 的距离为 d＝ |3cos θ＋4sin θ－a－4| 17 ＝|5sin（θ＋φ）－a－4| 17 ，φ 满足 tan φ＝3 4. 当－a－4≤0，即 a≥－4 时，d 的最大值为a＋9 17 . 由题设得a＋9 17 ＝ 17，所以 a＝8； 当－a－4>0，即 a<－4 时，d 的最大值为 －a＋1 17 ， 由题设得 －a＋1 17 ＝ 17，所以 a＝－16. 综上，a＝8 或 a＝－16. 　　　　　　参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研) (2020·淄博模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 {x＝ 3＋tcos α， y＝2＋tsin α (α 为参数)．在以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立的极坐 标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 2 1＋3cos2θ，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A， B. (1)若 α＝π 6，求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)若|OP|为|PA|与|PB|的等比中项，其中 P( 3，2)，求直线 l 的斜率． 【解】　(1)因为 α＝π 6，所以直线 l 的参数方程为{x＝ 3＋ 3 2 t， y＝2＋1 2t (t 为参数)． 消 t 可得直线 l 的普通方程为 x－ 3y＋ 3＝0. 因为曲线 C 的极坐标方程 ρ＝ 2 1＋3cos2θ可化为 ρ2(1＋3cos2θ)＝4， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 4x2＋y2＝4. (2)设直线 l 上两点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 将{x＝ 3＋tcos α， y＝2＋tsin α 代入曲线 C 的直角坐标方程 4x2＋y2＝4 可得 4( 3＋tcos α)2＋(2 ＋tsin α)2＝4， 化简得(4cos2α＋sin2α)t2＋(8 3cos α＋4sin α)t＋12＝0， 因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝ 12 4cos2α＋sin2α，|OP|2＝7， 所以 12 4cos2α＋sin2α＝7，解得 tan2α＝16 5 . 因为 Δ＝(8 3cos α＋4sin α)2－48(4cos2α＋sin2α)>0 即 2sin α(2 3cos α－sin α)>0，可知 tan α>0， 解得 tan α＝4 5 5 ， 所以直线 l 的斜率为4 5 5 . (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角 坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． (2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何 意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．　 1．(2020·河南省第五次测评)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：{x＝ 5cos α， y＝2＋ 5sin α(α 为参 数)．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2：ρ2＝4ρcos θ－3. (1)求 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2)若曲线 C1 与 C2 交于 A，B 两点，A，B 的中点为 M，点 P(0，－1)，求|PM|·|AB|的 值． 解：(1)曲线 C1 的普通方程为 x2＋(y－2)2＝5. 由 ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，得曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－4x＋3＝0. (2)将两圆的方程 x2＋(y－2)2＝5 与 x2＋y2－4x＋3＝0 作差得直线 AB 的方程为 x－y－1 ＝0. 点 P(0，－1)在直线 AB 上，设直线 AB 的参数方程为{x＝ 2 2 t， y＝－1＋ 2 2 t (t 为参数)， 代入 x2＋y2－4x＋3＝0 化简得 t2－3 2t＋4＝0，所以 t1＋t2＝3 2，t1t2＝4. 因为点 M 对应的参数为t1＋t2 2 ＝3 2 2 ， 所以|PM|·|AB|＝|t1＋t2 2 |·|t1－t2|＝3 2 2 × （t1＋t2）2－4t1t2＝3 2 2 × 18－4 × 4＝3. 2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{x＝1－t2 1＋t2， y＝ 4t 1＋t2 (t 为参 数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ＋ 3ρsin θ＋11＝0. (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值． 解：(1)因为－1＜1－t2 1＋t2≤1， 且 x2＋(y 2 )2 ＝(1－t2 1＋t2 )2 ＋ 4t2 （1＋t2）2＝1， 所以 C 的直角坐标方程为 x2＋y2 4＝1(x≠－1)． l 的直角坐标方程为 2x＋ 3y＋11＝0. (2)由(1)可设 C 的参数方程为{x＝cos α， y＝2sin α (α 为参数，－π＜α＜π)． C 上的点到 l 的距离为 |2cos α＋2 3sin α＋11| 7 ＝ 4cos(α－π 3)＋11 7 . 当 α＝－2π 3 时，4cos(α－π 3 )＋11 取得最小值 7，故 C 上的点到 l 距离的最小值为 7. [基础题组练] 1．(2020·安徽巢湖模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l： {x＝－1 2t， y＝3＋ 3 2 t (t 为参 数)．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 4sin(θ＋π 3)． (1)求曲线 C 的直角坐标方程． (2)设点 M 的直角坐标为(0，3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|＋|MB|的值． 解：(1)把 ρ＝4sin(θ＋π 3 )，展开得 ρ＝2sin θ＋2 3 cos θ，两边同乘 ρ 得 ρ2＝2ρsin θ＋ 2 3ρcos θ　①. 将 ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入①， 即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3x－2y＝0　②. (2)将{x＝－1 2t， y＝3＋ 3 2 t 代入②式，得 t2＋3 3t＋3＝0， 点 M 的直角坐标为(0，3)． 设这个方程的两个实数根分别为 t1，t2， 则 t1＋t2＝－3 3，t1·t2＝3， 所以 t1<0，t2<0. 则由参数 t 的几何意义即得|MA|＋|MB|＝|t1＋t2|＝3 3. 2．(2020·太原模拟)在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为： {x＝1＋2cos α， y＝ 3＋2sin α (α 为参 数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同． (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若直线 l：{x＝tcos φ， y＝tsin φ (t 为参数)被圆 C 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的倾斜角． 解：(1)圆 C：{x＝1＋2cos α， y＝ 3＋2sin α，消去参数 α 得(x－1)2＋(y－ 3)2＝4， 即 x2＋y2－2x－2 3y＝0， 因为 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ. 所以ρ2－2ρcos θ－2 3ρsin θ＝0，ρ＝4cos(θ－π 3 ). (2)因为直线 l：{x＝tcos φ， y＝tsin φ 的极坐标方程为 θ＝φ， 当 θ＝φ 时 ρ＝4cos(φ－π 3 )＝2 3. 即 cos (φ－π 3 )＝ 3 2 ， 所以 φ－π 3＝π 6或 φ－π 3＝－π 6. 所以 φ＝π 2或 φ＝π 6， 所以直线 l 的倾斜角为π 6或π 2. 3．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{x＝2t－1， y＝－4t－2(t 为参数)，以坐标原 点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝ 2 1－cos θ.　 (1)求曲线 C2 的直角坐标方程； (2)设 M1 是曲线 C1 上的点，M2 是曲线 C2 上的点，求|M1M2|的最小值． 解：(1)因为 ρ＝ 2 1－cos θ， 所以 ρ－ρcos θ＝2， 即 ρ＝ρcos θ＋2. 因为 x＝ρcos θ，ρ2＝x2＋y2， 所以 x2＋y2＝(x＋2)2，化简得 y2－4x－4＝0. 所以曲线 C2 的直角坐标方程为 y2－4x－4＝0. (2)因为{x＝2t－1， y＝－4t－2， 所以 2x＋y＋4＝0. 所以曲线 C1 的普通方程为 2x＋y＋4＝0. 因为 M1 是曲线 C1 上的点，M2 是曲线 C2 上的点， 所以|M1M2|的最小值等于点 M2 到直线 2x＋y＋4＝0 的距离的最小值． 不妨设 M2(r2－1，2r)，点 M2 到直线 2x＋y＋4＝0 的距离为 d， 则 d＝2|r2＋r＋1| 5 ＝ 2[(r＋1 2 )2 ＋3 4] 5 ≥ 3 2 5 ＝3 5 10 ， 当且仅当 r＝－1 2时取等号． 所以|M1M2|的最小值为3 5 10 . 4．在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为{x＝3cos α， y＝2sin α (α 为参数)，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 ρ＝4sin(θ－π 6 ). (1)写出曲线 C 的极坐标方程以及曲线 D 的直角坐标方程； (2)若过点 A(2 2，π 4)(极坐标)且倾斜角为π 3的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，弦 MN 的 中点为 P，求 |AP| |AM|·|AN|的值． 解：(1)由题意可得曲线 C 的普通方程为x2 9＋y2 4＝1， 将{x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 代入曲线 C 的普通方程可得，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ 9 ＋ ρ2sin2θ 4 ＝1. 因为曲线 D 的极坐标方程为 ρ＝4sin(θ－π 6 )， 所以 ρ2＝4ρsin(θ－π 6 )＝4ρ( 3 2 sin θ－1 2cos θ)， 又 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以 x2＋y2＝2 3y－2x， 所以曲线 C 的极坐标方程为ρ2cos2θ 9 ＋ρ2sin2θ 4 ＝1；曲线 D 的直角坐标方程为 x2＋y2 ＋2x－2 3y＝0. (2)点 A(2 2，π 4)，则{x＝2 2cosπ 4＝2， y＝2 2sinπ 4＝2， 所以 A(2，2)． 因为直线 l 过点 A(2，2)且倾斜角为π 3，所以直线 l 的参数方程为{x＝2＋tcos π 3， y＝2＋tsin π 3 (t 为 参数)，代入x2 9＋y2 4＝1 中可得，31 4 t2＋(8＋18 3)t＋16＝0， 设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2， 由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝－32＋72 3 31 ，t1t2＝64 31， 所以 |AP| |AM|·|AN|＝ |t1＋t2 2 | |t1t2|＝4＋9 3 16 . [综合题组练] 1．(2020·广州模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：{x＝2＋ 7cos α， y＝ 7sin α (α 为参数)．以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线 l 的极坐标方程为 θ＝π 3(ρ∈R)． (1)求曲线 C1 的极坐标方程与直线 l 的直角坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C1，C2 在第一象限分别交于 A，B 两点，P 为曲线 C2 上的动点，求 △PAB 面积的最大值． 解：(1)依题意得，曲线 C1 的普通方程为(x－2)2＋y2＝7，曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2－ 4ρcos θ－3＝0. 直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. (2)曲线 C2 的直角坐标方程为(x－4)2＋y2＝16， 设 A(ρ1，π 3)，B(ρ2，π 3)， 则 ρ21－4ρ1cos π 3－3＝0，即 ρ21－2ρ1－3＝0， 得 ρ1＝3 或 ρ1＝－1(舍)， 又ρ2＝8cos π 3＝4，则|AB|＝|ρ2－ρ1|＝1. C2(4，0)到 l 的距离 d＝|4 3| 4 ＝2 3，以 AB 为底边的△PAB 的高的最大值为 4＋2 3， 则△PAB 的面积的最大值为1 2×1×(4＋2 3)＝2＋ 3. 2．(2020·南昌模拟)在直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系．已知直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ－ρsin θ＝2，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝ 2Pcos θ(P>0)． (1)求直线 l 过点(－2，－4)的参数方程； (2)已知直线 l 与曲线 C 交于 N，Q 两点，M(－2，－4)，且|NQ|2＝|MN|·|MQ|，求实数 P 的值． 解：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直线 l 的极坐标方程，得直线 l 的直角坐标方程 为 x－y－2＝0. 所以直线 l 过点(－2，－4)的参数方程为{x＝－2＋ 2 2 t， y＝－4＋ 2 2 t (t 为参数)． (2)由 ρsin2θ＝2Pcos θ(P>0)， 得(ρsin θ)2＝2Pρcos θ(P>0)， 将 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入，得 y2＝2Px(P>0)． 将直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程联立，得 t2－2 2(4＋P)t＋8(4＋P)＝0，(*) Δ＝8P(4＋P)>0. 设点 N，Q 分别对应参数 t1，t2，恰好为上述方程的根， 则|MN|＝t1，|MQ|＝t2，|NQ|＝|t1－t2|. 由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|. 由(*)得 t1＋t2＝2 2(4＋P)，t1t2＝8(4＋P)>0， 则有(4＋P)2－5(4＋P)＝0， 得 P＝1 或 P＝－4.因为 P>0，所以 P＝1. 3．(2020·栖霞模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{x＝acos t， y＝2sin t (t 为 参数，a>0)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐 标方程为 ρcos(θ＋π 4 )＝－4 2. (1)设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 a＝2 3时，求点 P 到直线 l 的距离的最小值； (2)若曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方，求实数 a 的取值范围． 解：(1)由 ρcos(θ＋π 4 )＝－4 2，得到 ρ(cos θ－sin θ)＝－8， 因为 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， 所以直线 l 的普通方程为 x－y＋8＝0. 设 P(2 3cos t，2sin t)，则点 P 到直线 l 的距离 d＝|2 3cos t－2sin t＋8| 2 ＝ |4sin(t－π 3 )－8| 2 ＝2 2|sin(t－π 3 )－2|， 当 sin(t－π 3 )＝1 时，dmin＝2 2， 所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 2 2. (2)设曲线 C 上任意点 P(acos t，2sin t)，由于曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方， 所以 acos t－2sin t＋8>0 对任意 t∈R 恒成立． a2＋4sin(t－φ)<8，其中 cos φ＝ 2 a2＋4 ， sin φ＝ a a2＋4. 从而 a2＋4<8. 由于 a>0，解得 0