2019届二轮复习（文）第十章计数原理、概率第3节课件（31张）（全国通用） 31页

第 3 节　二项式定理 最新考纲　 1. 了解二项式定理； 2. 理解二项式系数的性质 . 1. 二项式定理 知 识 梳 理 r ＋ 1 2. 二项式系数的性质 递增 递减 3. 各二项式系数和 2 n 2 n － 1 [ 常用结论与微点提醒 ] 诊 断 自 测 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 答案 　 D 答案 　 B 4.(1 ＋ x ) n 的二项展开式中，仅第 6 项的系数最大，则 n ＝ ________. 答案 　 10 答案 　 40 考点一　求展开式中的特定项或特定项的系数 规律方法 　 (1) 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件 ( 特定项 ) 和通项公式，建立方程来确定指数 ( 求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n ， r 均为非负整数，且 n ≥ r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等 ) ；第二步是根据所求的指数，再求所求的项 . (2) 求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解 . 答案 　 (1)C 　 (2)C 　 (3)10 考点二　二项式系数的和与各项的系数和问题 【例 2 】 在 (2 x － 3 y ) 10 的展开式中，求： ( 1) 二项式系数的和； ( 2) 各项系数的和； ( 3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； ( 4) 奇数项系数和与偶数项系数和； ( 5) x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和 . 解　 设 (2 x － 3 y ) 10 ＝ a 0 x 10 ＋ a 1 x 9 y ＋ a 2 x 8 y 2 ＋ … ＋ a 10 y 10 ， (*) 各项系数和为 a 0 ＋ a 1 ＋ … ＋ a 10 ，奇数项系数和为 a 0 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ，偶数项系数和为 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ … ＋ a 9 ， x 的奇次项系数和为 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ … ＋ a 9 ， x 的偶次项系数和为 a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 10 . 由于 (*) 是恒等式，故可用 “ 赋值法 ” 求出相关的系数和 . 规律方法 　 (1) “ 赋值法 ” 普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如 ( ax ＋ b ) n 、 ( ax 2 ＋ bx ＋ c ) m ( a ， b ∈ R ) 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x ＝ 1 即可；对形如 ( ax ＋ by ) n ( a ， b ∈ R ) 的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x ＝ y ＝ 1 即可 . 答案 　 (1)A 　 (2)6 　 240 考点三　二项式定理的应用 【例 3 】 (1) 求证： 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 5 n － 1 ( n ∈ N * ) 能被 31 整除； ( 2) 用二项式定理证明 2 n >2 n ＋ 1( n ≥ 3 ， n ∈ N * ). 证明 　 (1) ∵ 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 5 n － 1 ＝ 2 5 n － 1 ＝ 32 n － 1 ＝ (31 ＋ 1) n － 1 ∴ 原式能被 31 整除 . 规律方法 　 (1) 整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项 . 而求近似值则应关注展开式的前几项 . (2) 二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式 . (3) 由于 ( a ＋ b ) n 的展开式共有 n ＋ 1 项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的 . ∴ S 被 9 除的余数为 7.