【数学】2018届一轮复习北师大版 集合及其运算 学案 10页

知识点 考纲下载 集 合 ‎1.集合的含义与表示 ‎(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．‎ ‎(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．‎ ‎2．集合间的基本关系 ‎(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．‎ ‎(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．‎ ‎3．集合的基本运算 ‎(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．‎ ‎(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．‎ ‎(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．‎ 简单不等式的解法 ‎1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．‎ ‎2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．‎ ‎3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．‎ 命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎1.理解命题的概念．‎ ‎2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．‎ ‎3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．‎ 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．‎ ‎2．理解全称量词和存在量词的意义．‎ ‎3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．‎ 第1讲　集合及其运算 ‎1．集合与元素 ‎(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．‎ ‎(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋)‎ Z Q R ‎2.集合间的基本关系 表示 关系 　‎ 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A AB或BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，B⊆A A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 ‎∀x，x∉∅，∅⊆A ‎∅‎ ‎3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}‎ A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．‎ ‎(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．‎ ‎(3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．‎ ‎2．活用几组结论 ‎(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.‎ ‎(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.‎ ‎(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.‎ ‎(4)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.‎ ‎(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.‎ ‎(6)若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.‎ ‎1. 已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则(　　)‎ A．A⊆B　　　　　　　　　 B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D ‎[答案] B ‎2．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎　C　[解析] 集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2.‎ ‎3. 已知集合A＝{1，2}，集合B满足A∪B＝{1，2}，则满足条件的集合B的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎　D　[解析] 因为A＝{1，2}，B∪A＝{1，2}，‎ 所以B⊆A，故满足条件的集合B的个数为22＝4个．‎ ‎4. 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB＝________．‎ ‎[解析] 由题意得∁UB＝{2，5，8}，所以A∩∁UB＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}．‎ ‎[答案] {2，5}‎ ‎5. 已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|22}．‎ ‎[答案] {x|x≤1或x>2} ‎ ‎　集合的含义[学生用书P2]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．3‎ C．6 D．9‎ ‎(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．‎ ‎(3)已知P＝{x|25}，如何求解？‎ ‎[解] 因为B⊆A，‎ 所以①当B＝∅时，‎ 即2m－14.‎ 综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．‎ ‎　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．设P＝{y |y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(　　)‎ A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP ‎　C　[解析] 因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，选C.‎ ‎2．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________．‎ ‎[解析] 由log2x≤2，得04，即c＝4.‎ ‎[答案] 4‎ ‎　集合的基本运算(高频考点)[学生用书P4]‎ 集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．‎ 高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)求集合间的交、并、补运算；‎ ‎(2)已知集合的运算结果求集合；‎ ‎(3)已知集合的运算结果求参数的值(范围)．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2016·高考全国卷甲)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝(　　)‎ A．{－2，－1，0，1，2，3}　　　 B．{－2，－1，0，1，2}‎ C．{1，2，3} D．{1，2}‎ ‎(2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ ‎(3)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q＝(　　)‎ A．{1} B．{3，5}‎ C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}‎ ‎【解析】　(1)易知B＝{x|－3＜x＜3}，又A＝{1，2，3}，所以A∩B＝{1，2}．‎ ‎(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.‎ ‎(3)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，‎ 所以∁UP＝{2，4，6}，‎ 因为Q＝{1，2，4}，‎ 所以(∁UP)∪Q＝{1，2，4，6}．‎ ‎【答案】　(1)D　(2)D　(3)C 集合运算问题的常见类型及解题策略 ‎(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；‎ ‎(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解；‎ ‎(3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn图求解；‎ ‎(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　求集合间的交、并、补运算 ‎1．(2016·高考全国卷丙)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝(　　)‎ A．[2，3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)‎ C．[3，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞)‎ ‎　D　[解析] 集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0，2]∪[3，＋∞)．‎ ‎ 角度二　已知集合的运算结果求集合 ‎2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于(　　)‎ A．M∪N B．M∩N C．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)‎ ‎　D　[解析] 因为M∪N＝{1，2，3，4}，排除A；M∩N＝∅，排除B；(∁UM)∪(∁UN)＝∁U(M∩N)＝{1，2，3，4，5，6}，排除C；(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5，6}，D正确，故选D.‎ ‎ 角度三　已知集合的运算结果求参数的值(范围)‎ ‎3．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁SA＝{2，3}，则m＝________．‎ ‎[解析] 因为S＝{1，2，3，4}，∁SA＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.‎ ‎[答案] 4‎ ‎,　　　　　　 　　[学生用书P4])‎ ‎——集合中的创新问题 与集合有关的创新题是近几年高考命题的一个新趋势，试题通过给出新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成关于集合的相关问题，考查学生的知识迁移能力．题型多为选择题或填空题，属于能力题．‎ ‎　(1)对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．‎ ‎(2)设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．‎ ‎【解析】　(1)依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．‎ ‎(2)在数轴上表示出集合M与N，‎ 可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．‎ 当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|≤x≤}，‎ 长度为－＝；‎ 当n＝且m＝时，M∩N＝{x|≤x≤}，‎ 长度为－＝.‎ 综上，M∩N的长度的最小值为.‎ ‎【答案】　(1)6　(2) 解决集合创新型问题的方法 ‎(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．‎ ‎(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．‎ ‎　1.设U＝{1，2，3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1，3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)为________．‎ ‎[解析] 符合条件的理想配集有①M＝{1，3}，N＝{1，3}；②M＝{1，3}，N＝{1，2，3}；③M＝{1，2，3}，N＝{1，3}．共3个．‎ ‎[答案] 3‎ ‎2．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．‎ ‎[解析] 由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．‎ ‎[答案] {0，6}‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P235(独立成册)])‎ ‎1．设集合P＝{x|x2－x≤0}，m＝30.5，则下列关系正确的是(　　)‎ A．mP　　　　　　　　　 B．m∈P C．m∉P D．m⊆P ‎　C　[解析] 易知P＝{x|0≤x≤}，而m＝30.5＝>，所以m∉P，故选C.‎ ‎2．已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝(　　)‎ A．{－1，0} B．{0，1}‎ C．{－1，0，1} D．{0，1，2}‎ ‎　A　[解析] 由题意知B＝{x|－20，x∈Z}，则A∩(∁ZB)＝(　　)‎ A．{－2} B．{－1}‎ C．[－2，0] D．{－2，－1，0}‎ ‎　D　[解析] 由题可知，集合A＝{x|x≤1，x∈Z}，B＝{x|x>0或x<－2，x∈Z}，故A∩(∁ZB)＝{－2，－1，0}，故选D.‎ ‎7．设集合A＝，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝(　　)‎ A．{2，3} B．{－1，2，5}‎ C．{2，3，5} D．{－1，2，3，5}‎ ‎　D　[解析] 由A∩B＝{2，－1}，可得或当时，此时B＝{2，3，－1}，所以A∪B＝{－1，2，3，5}；当时，此时不符合题意，舍去．‎ ‎8．设全集U＝R，A＝{x|00}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]‎ C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]‎ ‎　B　[解析] 因为集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1a}，因为A⊆B，所以a≤－1.‎ ‎12．(2017·沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为(　　)‎ A．15 B．16‎ C．20 D．21‎ ‎　D　[解析] 由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0，1，2，3}．因为A*B＝{x|x ‎＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1，0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4，2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5，3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1，2，3，4，5，6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.‎ ‎13．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[解析] 因为1∉{x|x2－2x＋a>0}，所以1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，所以a≤1.‎ ‎[答案] (－∞，1]‎ ‎14．设集合I＝{x|－3