2019-2020学年安徽省太和中学高二（实验班）上学期第四次月考数学（文）试题 解析版 14页

安徽省太和中学2019-2020学年高二（实验班）上学期第四次月考数学试题（文）‎ 测试时间：120分钟 分值：150分 一、 选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1、若命题p：，，命题q：，.则下列命题中是真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设，是非零向量，“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.根据最小二乘法由一组样本点(xi，yi)(其中i＝l，2，…，300)，求得的回归方程是，则下列说法正确的是（ ）‎ A.至少有一个样本点落在回归直线上 B.若所有样本点都在回归直线上，则两变量之间为函数关系 C.对所有的解释变量xi(i＝1，2，…，300)，的值一定与yi有误差 D.若回归直线的斜率>0，则变量x与y正相关 ‎5.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为( )‎ ‎ ‎ A．134 B．‎67 ‎C．182 D．108‎ ‎6.设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足 ‎∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7.已知P为椭圆上的一个点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )‎ A．7 B．‎11 C．13 D．15‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9.如图所示，已知椭圆方程为，A为椭圆的左顶点，B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，分别是，的中点，，则球的体积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 12. 已知椭圆的焦点坐标为，，过的直线与交于，两点，若 ‎，，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、 填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）‎ ‎13.过年时小明的舅舅在家庭微信群里发了一个10元的红包，红包被随机分配为2.51元，3.32元，1.24元，0.26元，2.67元，共五份.现已知小明与爸爸都各自抢到了一个红包，则两人抢到红包的金额总和不小于4元的概率为__________.‎ ‎14、若△ABC顶点B, C的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC, AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为__________. ‎ ‎15.已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为的正方形，且四棱锥S-ABCD的顶点都在半径为2的球面上，则四棱锥S-ABCD体积的最大值为__________.‎ ‎16.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则椭圆的离心率的取值范围为______．‎ 三、 解答题（写出必要的文字说明和步骤。共70分）‎ ‎17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+‎3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ 18. ‎（12分）‎ 随着人民生活水平的日益提高,某小区居民拥有私家车的数量与日俱增.由于该小区建成时间较早,没有配套建造地下停车场,小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵.该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值,如124表示2016年小区登记在册的所有车辆数,其余意义相同),得到如下数据:‎ 编号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 数量y（单位：辆）‎ ‎34‎ ‎95‎ ‎124‎ ‎181‎ ‎216‎ ‎（1）若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系,求y关于x的线性回归方程,并预测2020年该小区的私家车数量；‎ ‎(2)小区于2018年底完成了基础设施改造,划设了120个停车位,为解决小区车辆乱停乱放的问题,加强小区管理,物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区,由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租,租期一年,竞拍方案如下：‎ ‎①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；‎ ‎②每车至多申请一个车位,由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；‎ ‎③根据物价部门的规定,竞价不得超过1200元；‎ ‎④申请阶段截止后,将所有申请的业主报价自高到低排列,排在前120位的业主以其报价成交；‎ ‎⑤若最后出现并列的报价,则以提出申请的时间在前的业主成交,为预测本:次竞拍的成交最低价,物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调查,统计了他们的拟报竞价,得到如下频率分布直方图：‎ ‎（ⅰ）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；‎ ‎（ⅱ ‎）如果所有符合条件的车主均参与竞拍,利用样木估计总体的思想,请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功?(精确到整数)‎ 参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，‎ ‎19（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M（4,1），N（2，2）.‎ （1） 求椭圆C的方程；‎ （2） 若斜率为1的直线L与椭圆C交于不同的两点，且点M到直线L的距离为，‎ 求直线L的方程.‎ ‎20（12分）如图,在三棱锥中,,,,,D为线段AC的中点,  E为线段PC上一点． （1）求证：平面平面PAC； （2）当平面BDE时,求三棱锥的体积． ‎ ‎21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中，底面的边长是的正方形，，，为上的点，且平面.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎22. （本小题满分12分）已知椭圆为其左右焦点，为其上下顶点，四边形的面积为2.点为椭圆上任意一点，以为圆心的圆（记为圆）总经过坐标原点.‎ （1） 求椭圆的长轴的最小值，并确定此时椭圆的方程；‎ （2） 对于（1）中确定的椭圆，若给定圆:，则圆和圆的公共弦的长是否为定值？如果是，求的值；如果不是，请说明理由.‎ 高二实验班第四次月考文数解析 ‎1.C 【分析】‎ 先判断命题p和q的真假，再判断选项得解.‎ ‎【详解】对于命题p,,所以命题p是假命题，所以是真命题；‎ 对于命题q, ，,是真命题.‎ 所以是真命题.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 ‎2.D【分析】‎ 先化简得到椭圆的标准方程，再列出关于k的不等式，解不等式即得k的取值范围.‎ ‎【详解】由题得，‎ 因为方程表示焦点在轴上的椭圆，‎ 所以.‎ 故选：D ‎3.A ，由已知得，即，．‎ 而当时，还可能是，此时，‎ 故“”是“”的充分而不必要条件，故选A．‎ ‎4.D ‎2.‎ ‎5.B设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，，‎ 则小正方形的边长为，小正方形的面积，‎ 则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为 ‎．‎ ‎6.A当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A．‎ 点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件转化为，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．‎ ‎7试题分析：由椭圆可得a=5，b=4，c=3，因此焦点分别为：（-3，0），（3，0）．‎ ‎,圆(x＋3)2＋y2＝1的圆心与半径分别为：（-3，0），；‎ 圆(x－3)2＋y2＝4的圆心与半径分别为：（3，0），．∵|PM|+≥，|PN|+≥．‎ ‎∴|PM|+|PN|≥+-1-2=7‎ 考点：椭圆的简单性质 ‎8.B模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，‎ 可得 ‎9.C知的方程为，与联立，解得，‎ 可得，那么，‎ 则，则，那么．‎ ‎10.详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.‎ ‎11.答案：D 解答：‎ 设，则 ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴,即，解得，‎ ‎∴‎ 又 易知两两相互垂直，‎ 故三棱锥的外接球的半径为，‎ ‎∴三棱锥的外接球的体积为，故选 ‎12 答案B 由，，设，则，，根据椭圆的定义，所以，因此点即为椭圆的下顶点，因为，所以点坐标为，将坐标代入椭圆方程得，解得 ‎，故答案选B.‎ ‎13.‎ ‎【分析】分别列出两人各抢一个红包可能的情况，及金额总和不小于4的情况，根据古典概型公式，即可求解。‎ ‎【详解】小明与爸爸各抢到一个红包，总的可能情况有（2.51，3.32）、（2.51，1.24）、‎ ‎（2.51，0.26）、（2.51，2.67）、（3.32，1.24）、（3.32，0.26）、（3.32，2.67）、（1.24，0.26）、（1.24，2.67）、（0.26，2.67）共10种。‎ 满足条件，即两人抢到红包的金额总和不小于4元的共有4种：（2.51，3.32）、（2.51，2.67）、（3.32，1.24）、（3.32，2.67）。‎ 所以满足条件的概率为，故答案为。‎ ‎14.试题分析：设AC、AB边上的中线分别为CD、BE，∵BG=BE，CG=CD∴BG+CG=（BE+CD）=20（定值）‎ 因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，‎2a=20，c=4，∴a=10，，可得椭圆的方程为 ‎∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC，∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为 考点：椭圆定义及方程 ‎15.6.【分析】‎ 四棱锥的底面面积已经恒定，只有高不确定，只有当定点的射影为正方形ABCD的中心M时，高最大，从而使得体积最大.则利用球体的性质，求出高的最大值，即可求出最大体积.‎ ‎【详解】因为球心O在平面ABCD的射影为正方形ABCD的中心M，‎ ‎ 正方形边长为，， ‎ 则在中，‎ 所以四棱锥的高的最大值为=3，‎ 此时四棱锥体积的为 ‎【点睛】主要考查了空间几何体体积最值问题，属于中档题.这类型题主要有两个方向的解决思路，一方面可以从几何体的性质出发，寻找最值的先决条件，从而求出最值；另一方面运用函数的思想，通过建立关于体积的函数，求出其最值，即可得到体积的最值.‎ ‎16.依题意及正弦定理，‎ 得＝(注意到P不与F‎1F2共线)，‎ 即＝，‎ ‎∴－1＝，∴＝＋1>，‎ 即e＋1>，∴(e＋1)2>2.‎ 又0