【数学】四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（理） 13页

四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年 高二下学期期中考试（理）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知全集则 A． B． C． D．‎ ‎2．复数（是虚数单位）的共轭复数的虚部为 ‎ A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎3．已知等差数列满足:，则 ‎ A．2 B．1 C．0 D．‎ ‎4．椭圆的焦距为，则的值等于 ‎ A． B． C．或 D．‎ ‎5．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是 ‎ A．和s2 B．3和9s2 C．3＋2和9s2 D．3＋2和12s2＋4‎ ‎6．一试验田某种作物一株生长果个数服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量，且服从二项分布，则的方差为 ‎ A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21‎ ‎7．实数a，b，“”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实 数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大 于的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．执行如图所示的框图，若输入，则输出的等于 ‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎10．已知椭圆与抛物线有相同的焦点为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知A、B分别为椭圆C：1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FB⊥AB，则该椭圆的离心率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 ‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．给出命题“若xy=0，则x=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是_______.‎ ‎14．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中，常数项等于______.（用数字作答）‎ ‎15．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种．‎ ‎16．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若函数有4个零点，则实数的取值范围是__________．‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17．(12分)已知函数（，为自然对数的底数），且曲线 在点处的切线平行于轴.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的极值.‎ ‎18．(12分)学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．‎ ‎（1）分别计算这10名同学中，男女生测试的平均成绩；‎ ‎（2）若这10名同学中，男生和女生的国学素养测试成绩的标准差分别为S1，S2，试比较S1与S2的大小（不必计算，只需直接写出结果）；‎ ‎（3）规定成绩大于等于75分为优良，从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．‎ ‎19．(12分)如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ 20． ‎(12分)在平面直角坐标系中，已知椭圆E：（）‎ 过点，其心率等于.‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足，且椭圆E于点P.‎ ‎①求证：为定值：‎ ‎②设与以为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线经过定点.‎ ‎21．(12分)设，函数，其导数为 ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）函数是否存在零点？说明理由；‎ ‎（3）设在处取得最小值，求的最大值 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切； ‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）记的最小值为，若正实数，满足，求的最小值．‎ 参考答案 ‎1．A 2．A 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C ‎ ‎9．C 10．A 11．B 12．D ‎13．2 14．135 15．20 16．‎ ‎17．(Ⅰ)由,得. ‎ 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. ‎ ‎(Ⅱ), ‎ ‎①当时,,为上的增函数,所以函数无极值. ‎ ‎②当时,令,得,. ‎ ‎,;,. ‎ 所以在上单调递减,在上单调递增, ‎ 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. ‎ 综上,当时,函数无极值; ‎ 当,在处取得极小值,无极大值. ‎ 点睛：求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.‎ ‎18．（1）由茎叶图得男生测试的平均成绩为：=（64+76+77+78）=73.75，‎ 女生测试的平均成绩为：=（56+79+76+70+88+87）=76．‎ ‎（2）由茎叶图观察得S1＜S2．‎ ‎（3）设“两名学生的成绩均这优良”为事件A，‎ 男生按成绩由低到高依次为64，76，77，78，‎ 女生按成绩由低到高依次为56，70，76，79，87，88，‎ 则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种方取法：‎ ‎{64，56}，{64，70}，{64，76}，{64，79}，{64，87}，{64，88}，‎ ‎{76，56}，{76，70}，{76，76}，{76，79}，{76，87}，{76，88}，‎ ‎{77，56}，{77，70}，{77，76}，{77，79}，{77，87}，{77，88}，‎ ‎{78，56}，{78，70}，{78，76}，{78，79}，{78，87}，{78，88}，‎ 成绩大于等于75分为优良，‎ ‎∴其中两名均为优良的取法有12种取法，分别为：‎ ‎{76，76}，{76，79}，{76，87}，{76，88}，{77，76}，{77，79}，‎ ‎{77，87}，{77，88}，{78，76}，{78，79}，{78，87}，{78，88}，‎ 则这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率 ‎19．建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 ‎（1）证明：‎ ‎，所以.‎ ‎（2），设平面的一个法向量为，‎ 由，得，即，解得，可取 设侧面的一个法向量为，由，及 可取.设二面角的大小为，于是由为锐角可得 所以.即所求二面角的大小为.‎ ‎20．（1）设椭圆焦距为，所以且解得 所以椭圆E的方程为；‎ ‎（2）设，，①易得直线的方程为：， ‎ 代入椭圆得，，‎ 由得，，从而，‎ 所以.‎ ‎②依题意，，由得，，‎ 则的方程为：，即，所以直线过定点.‎ ‎21．（1）当时，，由于，且时，；时，，所以在的单调递减，在单调递增 ‎（2），令，所以 因为，所以，所以在单调递增 因为，又 所以当时，，此时必有零点，且唯一；‎ 当时，，而 故时，存在唯一零点 ‎（3）由（2）可知存在唯一零点，设零点为 当时，；当时，，‎ 故在的单调递减，在单调递增 所以当时，取得最小值，由条件可得，的最小值为 由于，所以 所以 设 则 令，得；令，得 故在的单调递增，在单调递减，所以 故的最大值是 ‎22．（1）∵直线l的极坐标方程为，‎ ‎∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y2，‎ 曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r2，‎ ‎∵曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），‎ ‎∴曲线C的普通方程为（x）2+（y﹣1）2＝4，‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，即．‎ ‎（2）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），‎ ‎ ‎ ‎4sin（）sin（）＝2sinθcosθ+2 ‎ ‎＝sin2θ2sin（2），‎ 当时，，故所以△MON面积的最大值为2．‎ ‎23．（1），‎ 当时，，解得，‎ 当时，，故；‎ 当时，，故；‎ 综上：所求不等式的解集为．‎ ‎（2），故，‎ 故 当且仅当时等号成立，故的最小值为．‎