高中数学第五章 2_2 复数的乘法与除法 课件 19页

第五章 数系的扩充与复数的引入 2.2 复数的乘法与除法 复数的加法： 设 z 1 ＝ a ＋ bi ， z 2 ＝ c ＋ di(a,b,c,d∈R) 是任意两个复数， 则它们和为 z 1 ＋ z 2 ＝ (a ＋ bi) ＋ (c ＋ di) ＝ (a ＋ c) ＋ (b ＋ d)i 复数的和仍然为一个复数，其实部为 z 1 、 z 2 的实部和， 虚部为 z 1 、 z 2 的虚部和。 复数加法满足 (1) 交换律： z 1 ＋ z 2 ＝ z 2 ＋ z 1 ； (2) 结合律 (z 1 ＋ z 2 ) ＋ z 3 ＝ z 1 ＋ (z 2 ＋ z 3 ) 复习回顾 复数的减法： ( 加法的逆运算 ) 复数 a ＋ bi 减去复数 c ＋ di 的差 是指满足 (c ＋ di) ＋ (x ＋ yi) ＝ a ＋ bi 的复数 x ＋ yi ， 记作 (a ＋ bi) － (c ＋ di) 根据复数相等的定义： (a ＋ bi) － (c ＋ di) ＝ (a － c) ＋ (b － d)i 复数的差仍然是一个复数， 其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。 显然，减法不满足交换律和结合律。 复习回顾 1 、复数的乘法法则： 设 ， 是任意两个复数，那么它们的积 任何 ， 交换律 结合律 分配律 新课－复数的乘法 2 、复数的乘方： 对任何 及 ，有 特殊的有： 一般地，如果 ，有 新课－复数的乘法 例 1 . 计算 解 : 新课－例题剖析 复数的乘法与多项式的乘法是类似的 , 但必须在所得的结果中把 i 2 换成 -1 , 并且把实部合并 . 两个复数的积仍然是一个复数 . 概念： 共轭复数 ：实部相等，虚部互为相反数的两个复数。 共轭虚数 ：虚部不为 0 的共轭复数。 特别地 ，实数的共轭复数是实数本身。 新课－共轭复数 : a - bi 在复平面内 , 如果点 Z 表示复数 z , 点 表示复数 , 那么点 Z 和 关于实轴对称 . 复平面内与一对共轭复数对应的点 Z 和 关于实轴对称 . x y o x y o Z : a + bi b -b : a - bi Z : a + bi b -b 新课－共轭复数 例 2 已知复数 是 的共轭复数，求 x 的值． 解：因为 的共轭复数是 ， 根据复数相等的定义，可得 解得 所以 ． 新课－例题剖析 把满足 ( c + di )( x + yi ) = a + bi ( c + di ≠0) 的复数 x + yi 叫做复数 a + bi 除以复数 c + di 的 商 , 3 、复数的除法法则 新课－复数的除法 3 、复数的除法法则 设 ， 是任意两个复数，那么它们的商 先把除式写成分式的形式 , 再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 , 化简后写成代数形式 ( 分母实数化 ). 新课－复数的除法 例 3 . 计算 解 : 新课－例题剖析 例 4 设 ，求证： （ 1 ） ；（ 2 ） 证明：（ 1 ） 新课－例题剖析 （ 2 ） 练习 3. 1 新课－练习 新课－练习 - i 练习 6. 计算 : (1+ i ) 2 = ___ ; (1- i ) 2 = ___ ; 2 i -2 i i -i 1 新课－练习 小结 1 、复数的乘法法则 2 、复数的乘法运算律 3 、 复数的除法法则 4 、 复数的一个重要性质 两个共轭复数 z,z 的积是一个实数 , 这个实数等于每一个复数的模的平方 , 即 z z=|z| 2 =|z| 2 . ① 如果 n ∈ N* 有 :i 4n =1;i 4n+1 =i,i 4n+2 =-1;i 4n+3 =-i.( 事实上 可以把它推广到 n ∈ Z. ② 设 , 则有 : 事实上 , 与 统称为 1 的立方虚根 , 而且对于 , 也有类似于上面的三个等式 . ③ 5 、 一些常用的计算结果 小结