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- 2021-06-15 发布
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课时分层训练(十三)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．不等式－2x2＋x＋1>0的解集为__________．
[－2x2＋x＋1>0，即2x2－x－1<0，(2x＋1)(x－1)<0，解得－0的解集为.]
2．若集合A＝＝∅，则实数a的值的集合是________.
【导学号：62172076】
{a|0≤a≤4} [由题意知a＝0时，满足条件，
a≠0时，由
得00)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________.
[由x2－2ax－8a2<0，
得(x＋2a)(x－4a)<0，因a>0，
所以不等式的解集为(－2a,4a)，
即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，
得4a－(－2a)＝15，解得a＝.]
5．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
[－1,4] [令f(x)＝x2－2x＋5，则f(x)＝(x－1)2＋4≥4，
由a2－3a≤4得－1≤a≤4.]
6．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________．
[0,1) [①当m＝0时，1>0显然成立；
②当m≠0时，由条件知得02或log2x<0，
∴x>4或00的解集为________．
{x|x<－ln 3} [设－1和是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，
∴a＝－＝，
b＝－1×＝－.
∵一元二次不等式f(x)<0的解集为，
∴f(x)＝－＝－x2－x＋，
∴f(x)>0的解集为x∈.
不等式f(ex)>0可化为－10的解集为{x|x<－ln 3}．]
10．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．
b<－1或b>2 [由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，
则有＝1，故a＝2.
由f(x)的图象可知f(x)在[－1,1]上为增函数．
∵x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.]
二、解答题
11．已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.
【导学号：62172078】
[解] (1)由题意可知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当a＝0时，符合题意，
②当a≠0时，只需
即02－a，即a>1时，N＝{x|2－a.
②当a<2－a，即a<1时，N＝{x|a.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－2) [不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)0的解集为{x|x>2或x<1}，求a和b的值；
(2)若b＝2a＋1，对任意a∈，f(x)>0恒成立，求x的取值范围．
[解] (1)因为不等式f(x)>0的解集为{x|x>2或x<1}，所以与之对应的二次方程ax2－bx＋2＝0的两个根为1和2，由韦达定理，得a＝1，b＝3.
(2)令g(a)＝a－x＋2，则
解得x>2或x<1.
故实数x的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
[解] (1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可，
所以
即
解得a≥，
则a的取值范围为.
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