江苏省淮安市涟水县第一中学2020届高三10月月考数学（文）试题 12页

涟水一中2019-2020学年度第一学期10月份检测 高三文科数学试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.集合,,全集,则集合 ‎ ‎2.命题“若，则”的逆否命题是_____________________‎ ‎3.命题“时，满足不等式”是假命题，则m的取值 范围 ‎ ‎4. 函数的定义域为 ‎ ‎5.下列函数中，值域为[0,3]的函数是________．(填序号) ‎ ‎①；　　 ②；　　　‎ ‎③；　 　　④.‎ ‎6. 计算的结果为 ‎ ‎7. 已知偶函数在[0，＋∞)上单调递增．若，则的取值范围是________‎ ‎8. 已知，则 ‎ ‎9. 设定义在区间上的函数的图象与图象的交点横坐标 为，则的值为 ‎ ‎10. 已知是上的单调减函数，‎ 那么实数的取值范围是________‎ ‎11. 函数满足，且在区间上，‎ 则的值为 ‎ ‎12. 若函数，是的导函数，‎ 则函数的最大值是 ‎ ‎13. 在中，,,若,‎ 则实数的值为 ‎ ‎14． 等比数列的首项为2，公比为3，前n项和为,若， ‎ 则的最小值是 ‎ 二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．(本小题满分14 分) ‎ ‎ 己知为钝角，且.‎ ‎(1)求的值：‎ ‎(2)求的值.‎ ‎16．(本小题满分14 分) ‎ 在中，a,b,c 分别为角 A, B, C 所对边的长，.‎ ‎(1)求角C的值；‎ ‎(2)设函数，求的取值范围.‎ ‎17．(本小题满分14分) ‎ 已知. ‎ ‎(1)求与的夹角；‎ ‎(2)求；‎ ‎(3)若,求实数的值.‎ ‎18．(本小题满分16分) ‎ 已知，.‎ ‎(1) 若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处的切线平行，求函数g(x)的图象在 点(1，g(1))处的切线方程；‎ ‎(2) 若当时，恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎19．(本小题满分16分) ‎ 如图，某城市有一块半径为‎40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB为直径)，‎ 现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝‎80 m，在半圆上选定一 点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积 为S m2．设∠AOC＝x rad．‎ ‎(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；‎ ‎(2)试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．‎ A B O C D ‎（第19题）‎ ‎20．(本小题满分16 分) ‎ 在数列中，已知，().‎ ‎(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎(2)若(为非零常数)，问是否存在整数，使得对任意都有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 涟水一中2019-2020学年度第一学期10月份检测 高三文科数学试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.集合,,全集,则集合 ‎ ‎2. 命题“若，则”的逆否命题是_____________________‎ 若或，则 ‎ ‎3. 命题“时，满足不等式”是假命题，则m的取值 范围 或 ‎4. 函数的定义域为 ‎ ‎5.下列函数中，值域为[0,3]的函数是________．(填序号) ③‎ ‎①；　　 ②；　　　‎ ‎③；　 　　④.‎ ‎6. 计算的结果为 ‎ ‎7. 已知偶函数在[0，＋∞)上单调递增．若，则的取值范围是________‎ ‎8. 已知，则 ‎ ‎9. 设定义在区间上的函数的图象与图象的交点横坐标 为，则的值为 ．‎ ‎10. 已知是上的单调减函数，‎ 那么实数的取值范围是________．(0,2]‎ ‎11. 函数满足，且在区间上，‎ 则的值为 ‎ ‎12. 若函数，是的导函数，‎ 则函数的最大值是 ‎ ‎13. 在中，,,若,‎ 则实数的值为 ‎ ‎14． 等比数列的首项为2，公比为3，前n项和为,若， ‎ 则的最小值是 ‎ 二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．(本小题满分14 分) ‎ ‎ 己知为钝角，且.‎ ‎(1)求的值：‎ ‎(2)求的值.‎ 解（1）因为cos2β＝－，cos2β＝2cos2β－1，‎ 所以 2cos2β－1＝－，解得cos2β＝． …………………… 2分 因为β为钝角，所以cosβ＝－．‎ 从而sinβ＝＝＝． …………………… 5分 所以tanβ＝＝＝－2． …………………… 7分 ‎（2）因为α为钝角，sinα＝，‎ 所以cosα＝－＝－＝－． …………………… 10分 从而cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ ＝． …… 14分 ‎16．(本小题满分14 分) ‎ 在中，a,b,c 分别为角 A, B, C 所对边的长，.‎ ‎(1)求角C的值；‎ ‎(2)设函数，求的取值范围.‎ 解：（1）在△ABC中， 因为，‎ 由正弦定理，‎ 所以． …… 3分 即，‎ 由余弦定理，得． …… 5分 又因为，所以． …… 7分 （2） 因为=‎ ‎= …… 10分 ‎ ‎ 由（1）可知，且在△ABC中，‎ 所以，即 …… 12分 所以，即 所以的取值范围为 …… 14分 ‎17．(本小题满分14分) ‎ 已知. ‎ ‎(1)求与的夹角；‎ ‎(2)求；‎ ‎(3)若,求实数的值.‎ 解：由题意得 ‎18．(本小题满分16分) ‎ 已知，.‎ ‎(1) 若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处的切线平行，求函数g(x)的图象在 点(1，g(1))处的切线方程；‎ ‎(2) 若当时，恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解: (1) f′(x)＝－2x，g′(x)＝2lnx＋2－a. …………………2分 因为函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处的切线平行，‎ 所以f′(1)＝g′(1)，解得a＝4. …………………4分 所以g(1)＝－4，g′(1)＝－2，………6分 所以函数g(x)的图象在(1，g(1))处的切线方程为2x＋y＋2＝0. ………8分 ‎(2) 当x∈(0，＋∞)时，由g(x)－f(x)≥0恒成立得，‎ ‎2xlnx－ax＋x2＋3≥0恒成立， ‎ 即a≤2lnx＋x＋恒成立．…………………10分 设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，‎ 则h′(x)＝＝.‎ 当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；‎ 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．‎ 所以h(x)min＝h(1)＝4，…………………15分 所以a的取值范围为(－∞，4]．…………………16分 ‎19．(本小题满分16分) ‎ 如图，某城市有一块半径为‎40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB为直径)，‎ 现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝‎80 m，在半圆上选定一 点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积 为S m2．设∠AOC＝x rad．‎ ‎(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；‎ ‎(2)试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．‎ A B O C D ‎（第19题）‎ 解：(1)因为扇形 AOC的半径为 ‎40 m，∠AOC＝x rad，‎ 所以 扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π． …………… 3分 在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，‎ 所以△COD 的面积 S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．…………… 6分 从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． ………………8分 ‎(2)由(1)知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．‎ ‎ S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)． ……………………………10分 由 S′(x)＝0，解得x＝．‎ 从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时， S′(x)＜0 ．‎ 因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减．… 14分 所以 当x＝，S(x)取得最大值．‎ 答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大．…………… 16分 ‎20．(本小题满分16 分) ‎ 在数列中，已知，().‎ ‎(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎(2)若(为非零常数)，问是否存在整数，使得对任意都有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 解:(1)由()①‎ 得（）②…………………………………………2分 ‎①﹣②得，即（）‎ ‎（）……………………………………4分 由得 ，‎ 所以，，所以成立，‎ 所以（）………………………………6分 又，所以，‎ ‎∴‎ ‎∴数列是首项为2，公比为2的等比数列 。………………8分 ‎∴，∴数列的通项公式是 . ………10分 ‎(2)由(1)可得,‎ 要使恒成立，只需恒成立，‎ 即恒成立, ………………12分 当为奇数时，恒成立, 而的最小值为1,∴‎ 当为偶数时，,恒成立 而最大值为,‎ ‎∴,…………………………………………………………14分 综上所述，的取值范围是，又为整数．‎ ‎∴存在，使得对任意都有．……………………………16分