2017-2018学年甘肃省武威第十八中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 12页

‎2017-2018学年甘肃省武威第十八中学高二下学期期中考试数学试题（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若是虚数单位，则复数的虚部是 （ ）‎ ‎ A．0 B． C．1 D．‎ ‎2. 已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3. 已知为三次函数的导函数，则它们的图象可能 是（ ）‎ ‎4． 曲线与围成的封闭区域的面积是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎5． 在用数学归纳法证明的过程中，假设时不等式成立，则需要证明成立时，比增加的值为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6． 在复平面内，复数对应的点位于( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎7． 函数在区间上的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若点P在曲线上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8．=( )‎ A． B． 2 C． D． ‎ ‎9. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，‎ 则＝( )‎ A. B. C. D. ‎10. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )‎ A．11或18 B．11 C．18 D．17或18‎ ‎11．已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为，当x∈(－∞，0]时，恒有，令F(x)＝xf(x)，则满足F(3)>F(2x－1)的实数x的取值范围是（ ）‎ A．(－2,1) B． C． D．(－1,2)‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 观察下列不等式：‎ ‎①；②；③；…则第个不等式为 ．‎ ‎14. 若复数满足，则的虚部为 ‎ ‎15. 已知函数，其导函数记为，‎ 则 .‎ ‎16. 若函数f(x)=2x2-lnx在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围 是 ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本题满分10分)‎ 数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．‎ ‎(1)计算a1，a2，a3，a4 ；(2) 猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．‎ ‎18. (本题满分12分)‎ 点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最短距离．‎ ‎19. (本题满分12分)‎ 设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－对称，‎ 且f′(1)＝0.‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值．‎ ‎20. (本题满分12分)‎ 已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.‎ ‎(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；‎ ‎(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．‎ ‎21. (本题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)当时，讨论f(x)的单调性．‎ ‎22. (本题满分12分)‎ 定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝·e2x－2＋x2－2f(0)·x， g(x)＝f－x2＋(1－a)x＋a.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数g(x)的单调区间；‎ ‎(3)如果s、t、r满足|s－r|≤|t－r|，那么称s比t更靠近r.当a≥2且x≥1时，试比较 和 ex－1＋a哪个更靠近ln x，并说明理由．‎ 高二期中数学试题（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若是虚数单位，则复数的虚部是 （ B ）‎ ‎ A．0 B． C．1 D．‎ ‎2. 已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为(　A　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3. 已知为三次函数的导函数，则它们的图象可能是（ D ）‎ ‎4． 曲线与围成的封闭区域的面积是（　C　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎5． 在用数学归纳法证明的过程中，假设时不等式成立，则需要证明成立时，比增加的值为（ B ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6． 在复平面内，复数对应的点位于( D )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎7． 函数在区间上的最小值为（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．=( D )‎ A． B． 2 C． D． ‎ ‎9. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝( D　)‎ A. B. C. D. ‎10. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　C 　)‎ A．11或18 B．11 C．18 D．17或18‎ ‎11．已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是 （　B　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为，当x∈(－∞，0]时，恒有，令F(x)＝xf(x)，则满足F(3)>F(2x－1)的实数x的取值范围是（ D ）‎ A．(－2,1) B． C． D．(－1,2)‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 观察下列不等式：‎ ‎①；②；③；…则第个不等式为 ．‎ ‎14. 若复数满足，则的虚部为 1‎ ‎15. 已知函数，其导函数记为，‎ 则 .2‎ ‎16. 若函数f(x)=2x2-lnx在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围 是 ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本题满分10分)‎ 数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．‎ ‎(1)计算a1，a2，a3，a4 ；(2) 猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．‎ 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.‎ 当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，‎ ‎∴a2＝.‎ 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，‎ ‎∴a3＝.‎ 当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，‎ ‎∴a4＝.‎ 由此猜想an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，左边＝a1＝1，‎ 右边＝＝1，‎ 左边＝右边，结论成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，‎ 即ak＝，那么n＝k＋1时，‎ ak＋1＝Sk＋1－Sk ‎＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak ‎＝2＋ak－ak＋1，‎ ‎∴2ak＋1＝2＋ak，‎ ‎∴ak＋1＝＝＝，‎ 这表明n＝k＋1时，结论成立，‎ 由①②知猜想an＝(n∈N*)成立．‎ ‎18. (本题满分12分)‎ 点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最短距离．‎ 解析　y＝x2－2ln＝x2－lnx(x>0)，y′＝2x－，令y′＝1，即2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为y＝x，其到直线y＝x－2的距离即为所求．‎ ‎19. (本题满分12分)‎ 设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值．‎ 解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，‎ 故f′(x)＝6x2＋2ax＋b，‎ 从而f′(x)＝62＋b－，‎ 即y＝f′(x)关于直线x＝－对称．‎ 从而由题设条件知－＝－，即a＝3.‎ 又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，‎ 得b＝－12.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，‎ 所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，‎ 令f′(x)＝0，‎ 即6(x－1)(x＋2)＝0，‎ 解得x＝－2或x＝1，‎ 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，‎ 即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；‎ 当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，‎ 即f(x)在(－2,1)上单调递减；‎ 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 即f(x)在(1，＋∞)上单调递增．‎ 从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21，‎ 在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.‎ ‎20. (本题满分12分)‎ 已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.‎ ‎(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；‎ ‎(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．‎ 解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；‎ 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时g(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．‎ ‎②当a≠0时，由f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－1.‎ 当a<0时，由于－1<0，由f′(x)<0，得00，函数f(x)在R上单调递增；②当a>0时，由g′(x)＝ex－a＝0得x＝ln a，‎ ‎∴x∈(－∞，ln a)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；‎ x∈(ln a，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．‎ 综上，当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，函数g(x)的单调递增区间为(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln a)．‎ ‎(3)设p(x)＝－ln x，q(x)＝ex－1＋a－ln x，‎ ‎∵p′(x)＝－－<0，∴p(x)在x∈[1，＋∞)上为减函数，又p(e)＝0，‎ ‎∴当1≤x≤e时，p(x)≥0，当x>e时，p(x)<0.‎ ‎∵q′(x)＝ex－1－，q″(x)＝ex－1＋>0，‎ ‎∴q′(x)在x∈[1，＋∞)上为增函数，又q′(1)＝0，‎ ‎∴x∈[1，＋∞)时，q′(x)≥0，∴q(x)在x∈[1，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴q(x)≥q(1)＝a＋1>0.‎ ‎①当1≤x≤e时，|p(x)|－|q(x)|＝p(x)－q(x)＝－ex－1－a，‎ 设m(x)＝－ex－1－a，则m′(x)＝－－ex－1<0，‎ ‎∴m(x)在x∈[1，＋∞)上为减函数，‎ ‎∴m(x)≤m(1)＝e－1－a，‎ ‎∵a≥2，∴m(x)<0，‎ ‎∴|p(x)|<|q(x)|，‎ ‎∴比ex－1＋a更靠近ln x.‎ ‎②当x>e时，‎ ‎|p(x)|－|q(x)|＝－p(x)－q(x)＝－＋2ln x－ex－1－a<2ln x－ex－1－a，‎ 设n(x)＝2ln x－ex－1－a，则n′(x)＝－ex－1，‎ n″(x)＝－－ex－1<0，‎ ‎∴n′(x)在x>e时为减函数，‎ ‎∴n′(x)e时为减函数，‎ ‎∴n(x)