2021高考数学一轮复习课后限时集训12函数与方程文北师大版 5页

课后限时集训12‎ 函数与方程 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)‎ A．(0,1)　　　　 B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ B　[∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，‎ ‎∴f(1)·f(2)＜0，‎ ‎∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图像是连续的，且为增函数，‎ ‎∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．]‎ ‎2．函数f(x)＝的零点个数为(　　)‎ A．3 B．2‎ C．7 D．0‎ B　[法一：(直接法)由f(x)＝0得 或 解得x＝－2或x＝e.‎ 因此函数f(x)共有2个零点．‎ 法二：(图像法)函数f(x)的图像如图所示，由图像知函数f(x)共有2个零点．]‎ ‎3．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足(　　)‎ A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0‎ C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定 C　[f(x)在(0，＋∞)上是增函数，若0＜x0＜a，‎ 则f(x0)＜f(a)＝0.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝x－(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)‎ A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3‎ C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2‎ C　[作出y＝x与y1＝，y2＝－ex，y3＝－ln x的图像如图所示，可知选C.‎ - 5 -‎ ‎]‎ ‎5．(2019·长沙模拟)已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是(　　)‎ A．(1,2) B．(－∞，－2]‎ C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)‎ D　[当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x＞0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．‎ 　[∵函数f(x)的图像为直线，‎ 由题意可得f(－1)f(1)＜0，‎ ‎∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，‎ ‎∴实数a的取值范围是.]‎ ‎7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．‎ 　[∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.‎ ‎∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，‎ 由根与系数的关系知 ‎∴ ‎∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，‎ 即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0，‎ 解集为.]‎ ‎8．(2019·漳州模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．‎ ‎(－，0]　[作出函数f(x)的图像如图所示．‎ - 5 -‎ 当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝－≥－，若函数f(x)与y＝m的图像有三个不同的交点，则－＜m≤0，即实数m的取值范围是(－，0].]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点．‎ ‎(1)求m的值．‎ ‎(2)求函数的零点．‎ ‎[解](1)因为f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．‎ 设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.‎ 当Δ＝0时，即m2－4＝0，‎ 所以m＝±2，‎ 当m＝－2时，t＝1；‎ 当m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)．‎ 所以2x＝1，x＝0符合题意．‎ 当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2，‎ t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，‎ 即f(x)有两个零点或没有零点．‎ 所以这种情况不符合题意．‎ 综上可知：当m＝－2时，f(x)有唯一零点．‎ ‎(2)由(1)可知，该函数的零点为0.‎ ‎10．设函数f(x)＝(x＞0)．‎ ‎(1)作出函数f(x)的图像；‎ ‎(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；‎ ‎(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．‎ ‎[解](1)如图所示．‎ ‎(2)因为f(x)＝＝ 故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．‎ 由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，‎ 且－1＝1－，所以＋＝2.‎ ‎(3)由函数f(x)的图像可知，当0＜m＜1时，函数f(x)的图像与直线y＝m - 5 -‎ 有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不相等的正根．‎ ‎1．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于(　　)‎ A．1 B．2　　　　‎ C．3　　　　 D．4‎ B　[f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，‎ 故x0∈(2,3)，∴g(x0)＝[x0]＝2.故选B.]‎ ‎2．(2019·湖南娄底二模)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于(　　)‎ A．1 B．－1 ‎ C．e D. A　[考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝的图像的交点A，B的横坐标，而A，‎ B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.故选A.]‎ ‎3．设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是________．‎ ‎(0,1]　[令g(x)＝f(x)－b＝0，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)＜0得ex(x＋2)＜0，即x＜－2，此时f(x)为减函数，由f′(x)＞0得ex(x＋2)＞0，即－2＜x＜0，此时f(x)为增函数，即当x＝－2时，f(x)取得极小值f(－2)＝－，作出f(x)的图像如图：要使f(x)＝b有三个根，则0＜b≤1.‎ ‎]‎ ‎4．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ ‎(1)求g(f(1))的值；‎ ‎(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．‎ - 5 -‎ ‎[解](1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.‎ ‎(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，‎ 则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图像有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图像(图略)，由图像可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是[1，).‎ ‎1．已知f(x)＝若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.∪[1,2) B.∪[1,2)‎ C．(1,2) D．[1,2)‎ B　[关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同实根等价于y＝a、y＝f(x)的图像有两个不同的交点，画出y＝a、y＝f(x)的图像，如图，由图可知，当a∈∪[1,2)时，y＝a、y＝f(x)的图像有两个不同的交点，此时，关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同实根，所以实数a的取值范围是∪[1,2)．故选B.‎ ‎]‎ ‎2．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．‎ ‎[解]　由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，‎ 所以函数图像关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，则满足 解得＜a＜，故a的取值范围是(，)．‎ - 5 -‎